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Les fils qui acheminent le courant d’une centrale électrique à une sous-station font 7,25 kilomètres de long. Ils sont en cuivre avec une résistivité de 1,7 fois 10 à la puissance moins huit ohm-mètres. Le courant à travers les fils est de 450 milliampères. La puissance dissipée par les fils ne doit pas dépasser 15 watts. Quelle est la section minimale requise pour les fils qui transmettent le courant? Donnez votre réponse en notation scientifique arrondie à une décimale près.
On nous interroge ici sur les fils qui acheminent le courant d’une centrale électrique à une sous-station. Et supposons que cela soit l’un de ces fils. On nous dit que ces fils ont une longueur de 7,25 kilomètres, que nous avons appelée ici 𝑙. On nous donne également la résistivité 𝜌 du cuivre à partir de laquelle ces fils sont fabriqués, soit 1,7 fois 10 puissance moins huit ohm-mètres. On nous dit que le courant 𝐼 dans les fils est égal à 450 milliampères. Ensuite, la dernière information que l’on nous donne est que la puissance dissipée par les fils ne doit pas dépasser 15 watts. Nous avons appelé cette dissipation de puissance maximale 𝑃.
Compte tenu de toutes ces informations, on nous demande de déterminer la section minimale requise pour les fils qui transmettent le courant. Appelons cette aire de section minimale 𝐴. Pour répondre à cette question, nous pouvons rappeler que la résistivité d’un fil est liée à une autre propriété, la résistance du fil, avec une équation qui implique également la longueur du fil et son aire de section transversale. Plus précisément, la résistance 𝑅 d’un fil est égale à sa résistivité multipliée par sa longueur divisée par son aire de section transversale.
Si nous multiplions les deux côtés par 𝐴 sur 𝑅, alors nous pouvons voir que sur la gauche le 𝑅 au numérateur s’annule avec le 𝑅 au dénominateur. Pendant ce temps, à droite, ce sont les A qui s’annulent. Cela nous donne une équation en fonction de 𝐴. Nous avons alors que 𝐴 est égal à la résistivité 𝜌 multipliée par la longueur 𝑙 divisée par la résistance 𝑅. On nous a donné des valeurs pour 𝜌 et 𝑙 du côté droit de cette équation. Mais nous ne connaissons pas la valeur de la résistance 𝑅. On nous donne cependant le courant 𝐼 dans les fils et la dissipation de puissance maximale 𝑃.
Rappelons que la puissance 𝑃 dissipée par un composant de fil ou de circuit est égale au carré du courant 𝐼 dans celui-ci multiplié par sa résistance 𝑅. Nous pouvons écrire l’équation en fonction de 𝑅 en divisant les deux côtés par 𝐼 au carré de sorte que, à droite, le 𝐼 au numérateur s’annule avec le 𝐼 au dénominateur. Puis en échangeant les côtés gauche et droit de l’équation, 𝑅 est égal à 𝑃 divisé par 𝐼 au carré. Si nous utilisons nos valeurs pour le courant 𝐼 dans le fil et la puissance maximale 𝑃 dissipée par ce fil dans cette équation, alors nous calculons la résistance maximale 𝑅 que ce fil peut avoir.
Pour calculer une résistance en ohms, nous aurons besoin d’une puissance en watts et d’un courant en ampères. Pour le moment cependant, notre valeur pour 𝐼 est en milliampères. Pour convertir cela en ampères, nous pouvons rappeler qu’un milliampère est égal à un millième d’ampère. Cela signifie que pour passer de milliampères à ampères, nous divisons par un facteur 1 000, donc le courant 𝐼 est égal à 450 divisé par 1 000 ampères. Cela équivaut à 0,45 ampères.
Nous sommes maintenant prêts à utiliser cette valeur de courant avec notre valeur de la puissance 𝑃 dans cette équation afin de calculer la résistance 𝑅. Lorsque nous faisons cela, nous obtenons que 𝑅, la résistance maximale que ces fils peuvent avoir, est égale à 15 watts divisé par le carré de 0,45 ampères. Le calcul de cette valeur donne une résistance 𝑅 de 74,0740 périodique ohms. Si nous regardons maintenant cette équation pour la section transversale 𝐴, nous pouvons voir que nous avons maintenant des valeurs pour les trois quantités du côté droit. Nous remarquons que nous divisons par cette résistance maximale 𝑅 que les fils peuvent avoir. Autrement dit, pour une plus grande valeur de 𝑅, nous aurons une plus petite valeur de 𝐴. Et donc, dans cette équation, en utilisant notre valeur pour la résistance maximale que les fils peuvent avoir, nous calculons leur aire de section transversale minimale admissible, ce qui est exactement ce que nous cherchons.
Avant d’utiliser nos valeurs, nous devrons faire une autre conversion d’unité. Nous avons une résistivité 𝜌 en ohm-mètres, une résistance 𝑅 en ohms et une longueur 𝑙 en kilomètres. Pour calculer une aire 𝐴 en mètres carrés, nous devons convertir notre valeur 𝑙 de kilomètres en mètres. Pour ce faire, rappelons qu’un kilomètre équivaut à 1 000 mètres. Cela signifie que pour convertir une longueur de kilomètres en mètres, nous multiplions par un facteur de 1 000. Et donc nous avons que 𝑙 est égal à 7,25 fois 1 000 mètres. Cela équivaut à 7 250 mètres.
Nous pouvons maintenant utiliser nos valeurs pour la résistivité 𝜌, la longueur 𝑙 et la résistance 𝑅 dans cette équation afin de calculer la valeur de 𝐴. Lorsque nous faisons cela, nous nous retrouvons avec cette expression ici. En regardant les unités, nous pouvons voir que les ohms s’annulent au numérateur et au dénominateur. Et cela nous laisse avec deux facteurs de mètres au numérateur, ce qui nous donne des unités globales de mètres carrés. Le calcul de l’expression donne une section transversale 𝐴 de 1,663875 fois 10 puissance moins six mètres carrés.
Notez qu’on nous demande de donner notre réponse en notation scientifique à une décimale près. Cette valeur que nous avons calculée est déjà en notation scientifique. Il suffit donc de l’arrondir à une décimale près. Lorsque nous faisons cela, le résultat est arrondi à 1,7 fois 10 puissance moins six mètres carrés. Notre réponse est donc que la section transversale minimale requise pour ces fils est 1,7 fois 10 puissance moins six mètres carrés.
