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Vidéo de la leçon : Résistance et résistivité des conducteurs Physique

Dans cette vidéo, nous allons apprendre les relations entre les dimensions d’un objet, le mouvement des électrons libres à travers cet objet et sa résistance.

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Transcription de vidéo

Dans cette vidéo, nous allons apprendre comment le matériau qui compose un conducteur détermine sa résistivité, principalement en raison de la structure de son réseau atomique. Nous allons également apprendre comment, en plus de la résistivité du matériau, les dimensions physiques du conducteur, comme sa longueur et sa surface de section transversale, affectent aussi sa résistance. Nous allons d’abord dériver une formule qui exprime la résistance en fonction de la résistivité, de la longueur et de la surface de la section transversale, puis expliquerons la physique derrière chacune de ces quantités.

Considérons une définition empirique de la résistance qui sera très utile plus tard lorsque nous envisagerons des électrons se déplaçant à l’intérieur du matériau. Nous commençons avec un bloc de matériau et nous voulons mesurer sa résistance. Nous commençons par connecter les deux extrémités à une source de tension, disons une pile, afin qu’il y ait maintenant une différence de potentiel à travers le bloc. La pile aura une tension fixe. Appelons-la 𝑉. Avec la pile imposant une différence de potentiel à travers notre matériau, nous allons maintenant introduire un ampèremètre pour mesurer le courant. Nous appellerons le courant 𝐼, et c’est une valeur que nous mesurons en fonction de la tension. Nous définissons maintenant la résistance de notre matériau comme étant le rapport entre la tension connue 𝑉 et le courant mesuré 𝐼.

Pour les matériaux uniformes, ce rapport aura une valeur fixe quelle que soit la valeur particulière de la tension. Il s’avère que cette définition sera en fait très utile pour comprendre la physique dans nos discussions ultérieures. Pour l’instant, cependant, elle nous donne un moyen expérimental de mesurer la résistance. Utilisons-la donc pour déterminer quelles propriétés d’un bloc de matériau contribuent à sa résistance. Nous pouvons en fait déterminer tous les facteurs pertinents avec six expériences très similaires. Notre configuration de mesure sera presque identique à ce que nous avions auparavant, mais avec les rôles du courant et de la tension inversés.

Cette fois, nous passerons un courant fixe 𝐼 à travers un bloc de matériau et mesurerons la chute de potentiel à travers le bloc, 𝑉, qui en résulte. La longueur de notre bloc mesurée parallèlement au sens du courant sera 𝑙 minuscule. Et l’aire de la section transversale du bloc, mesurée perpendiculairement au sens du courant, sera 𝑎 minuscule. Nous allons également considérer deux configurations presque identiques, mais où le bloc a des dimensions différentes. Dans une configuration, le bloc a deux fois la longueur mais la même aire de section transversale que la configuration initiale. Et dans l’autre configuration, le bloc a la même longueur mais le double de l’aire de section transversale. Enfin, pour effectuer un total de six expériences, nous effectuerons chacune de ces mesures sur deux matériaux différents, que nous avons appelés matériau un et matériau deux.

Pour la première configuration, que nous pouvons considérer comme notre mesure de base, nous allons mesurer une résistance de 𝑅 un pour le matériau un et de 𝑅 deux pour le matériau deux. Les valeurs précises de ces résistances ne sont pas importantes. Mais ce qui est important, c’est qu’elles soient différentes. Nous reviendrons sur cette différence après avoir collecté les données des deux autres configurations expérimentales. Pour la deuxième configuration où le bloc est deux fois plus long, la résistance mesurée est le double pour les deux matériaux. Par contre, dans la troisième configuration où l’aire de la section transversale est doublée, nous trouvons que la résistance des deux matériaux est réduit de moitié. Puisque doubler l’aire de la section transversale réduit de moitié la résistance quel que soit le matériau, nous savons que la résistance du bloc doit être inversement proportionnelle à l’aire de la section transversale.

De même, puisque le fait de doubler la longueur conduit à doubler la résistance quel que soit le matériau, la résistance du bloc doit être directement proportionnelle à sa longueur. Enfin, comme nous avons pris deux valeurs de référence initiales différentes pour les deux matériaux, mais que nous avons trouvé la même dépendance fonctionnelle par rapport à la longueur et à la surface de section transversale du bloc, la résistance doit également dépendre directement du matériau particulier dont nous nous servons. Nous appellerons cette dépendance la résistivité du matériau, et nous la représenterons par la lettre grecque 𝜌.

Parce que nous avons défini la résistance comme étant directement proportionnelle à la résistivité, les objets avec des résistivités plus grandes ont des résistances plus grandes. Les matériaux à très faible résistivité intrinsèque comme l’or et le cuivre sont des conducteurs, tandis que les matériaux à très forte résistivité intrinsèque comme le verre ou de nombreux plastiques sont des isolants. D’accord, combinons maintenant ces trois dépendances en une seule formule. Nous obtenons que la résistance d’un bloc de matériau est égale à la résistivité du matériau multipliée par la longueur du bloc divisée par la section transversale du bloc. Cette formule nous permet de calculer directement la résistance sans avoir à recourir à une mesure de courant-tension.

Nous allons maintenant examiner cette formule d’un point de vue physique. C’est-à-dire que nous allons essayer de comprendre d’où vient la résistivité et pourquoi des longueurs plus élevées sont associées à des résistances plus grandes et des aires de section transversale plus grandes sont associées à des résistances plus petites. Il est important de souligner que dans la discussion à venir, nous ferons référence presque exclusivement à une description classique des électrons se déplaçant à l’intérieur des solides. Puisqu’une image complète nécessite des connaissances avancées de la mécanique quantique, il y aura des points dans la discussion à venir où nous n’allons pas et ne pouvons pas donner une explication classique entièrement satisfaisante. Quoi qu’il en soit, commençons par la résistivité pour avoir une bonne idée du type d’image classique que nous allons utiliser.

La résistivité est l’opposition intrinsèque d’un matériau au flux de charge, c’est-à-dire au courant. Les unités typiques de résistivité sont les ohm mètres, de sorte que lorsque nous multiplions par une longueur mesurée en mètres et divisons par une aire mesurée en mètres carrés, il nous reste des ohms, qui sont une unité de résistance. Les valeurs de résistivité à température ambiante s’étendent en fait sur plus de 30 ordres de grandeur. Des résistances entre 10 puissance moins huit et 10 puissance six ohm mètres sont caractéristiques de nombreux métaux et autres bons conducteurs, tandis que les résistivités entre 10 puissance 10 et 10 puissance 25 ohms mètres sont typiques chez les bons isolants. Bien sûr, il existe de nombreux matériaux avec une résistivité entre ces deux gammes, tels que de nombreux semi-conducteurs, qui constituent la base de la plupart des technologies informatiques.

Regardons maintenant comment la charge pourrait réellement parcourir un matériau pour comprendre comment le matériau peut s’opposer à ce flux. Nous allons modéliser un solide typique comme un réseau d’atomes, c’est-à-dire un ensemble de noyaux régulièrement espacés entourés d’électrons. Dans cette image, nous avons représenté les noyaux par de grands points rouges et les électrons par de petits points bleus. La plupart des électrons sont en fait liés assez étroitement aux noyaux, mais certains électrons, ceux que nous avons dessinés ici, sont libres de se déplacer au sein du réseau. Dans les conducteurs, il y a généralement beaucoup d’électrons libres, souvent plusieurs par atome, comme nous l’avons dessiné sur notre image. Pour les semi-conducteurs, en particulier autour de la température ambiante, il y a encore des électrons libres, mais beaucoup moins qu’il y a dans un conducteur typique.

Dans les isolants, aux alentours de la température ambiante, il n’y a presque pas d’électrons libres, peut-être un seul pour plusieurs atomes. Pour comprendre pourquoi le nombre d’électrons libres fait une telle différence, rappelez-vous notre définition expérimentale originale de la résistance. La résistance est le rapport constant de la tension appliquée à travers un bloc de matériau au courant mesuré à travers ce matériau. Mais le courant lui-même est simplement la quantité de charge qui circule divisée par le temps nécessaire à cette circulation. Cela signifie qu’une hausse de la quantité de charge circulant dans le même laps de temps correspond à un courant plus important. Mais un courant plus important avec la même tension appliquée signifie une résistance plus petite.

Maintenant, lorsqu’ils sont laissés à eux-mêmes, les électrons libres du réseau se déplacent principalement dans des directions aléatoires. Cependant, lorsque nous connectons une source de tension aux bornes du réseau, le champ électrique qui en résulte fait que les électrons commencent, en moyenne, à se déplacer dans la même direction. Mais ce certain nombre d’électrons, qui se déplacent tous à peu près dans le même sens, est précisément le flux net de charge avec le temps qui définit un courant. Et bien sûr, plus il y a d’électrons libres dans le réseau, plus il y a d’électrons qui se déplacent dans le même sens général. Et donc nous avons plus de charge qui circule dans le même laps de temps, en d’autres mots, un plus grand courant pour la même tension appliquée et donc une plus petite résistance.

Ainsi, la résistivité du matériau dépend inversement de la densité d’électrons libres car les matériaux avec une densité d’électrons libres plus élevée regroupent plus d’électrons libres dans le même volume unitaire, permettant à plus de charge de circuler pour la même tension appliquée. L’autre facteur qui contribue à déterminer le courant pour une tension appliquée est le temps nécessaire pour que la charge circule. Classiquement, le courant est constitué d’électrons qui quittent la borne négative de la pile, parcourent le circuit, c’est-à-dire à travers le réseau, puis rentrent à la borne positive de la pile. Donc, le temps qui nous intéresse pour calculer le courant est le temps qu’il faut à un seul électron pour se déplacer d’un bout à l’autre du réseau.

Pour comprendre comment cela dépend de la structure particulière du réseau atomique, suivons le mouvement d’un électron lorsqu’il se déplace. Nous suivrons le mouvement de cet électron particulier lorsqu’il se déplace à travers le réseau dans le sens général opposé au champ électrique appliqué. Au lieu de traverser le réseau en ligne droite de gauche à droite, l’électron a rebondi plusieurs fois, entrant en collision avec les noyaux du réseau. À cause de ces collisions, l’électron a parcouru une plus longue distance et a donc mis plus de temps à traverser le réseau qu’il ne l’aurait fait s’il s’était déplacé en ligne droite. En fait, plus la fréquence des collisions est élevée, plus il faut de temps aux électrons pour traverser le réseau.

Mais plus il faut de temps aux électrons pour traverser le réseau, plus le 𝑡 est grand dans notre expression du courant. Mais cela signifie que le courant est plus petit pour la même tension appliquée, et donc la résistance est plus grande. Ainsi, la résistivité du matériau dépend directement de la fréquence de collision de ses électrons, car plus la fréquence de collision est élevée, plus le temps nécessaire aux électrons pour traverser le réseau est élevé et donc plus la résistance est grande. Pour mieux comprendre cette idée, considérons deux exemples de réseaux atomiques où nous nous attendrions à une fréquence de collision plus grande que le réseau régulier que nous avons dessiné.

Dans ce réseau, nous avons représenté la présence de plusieurs atomes d’impureté avec des grands points rouges. Ces impuretés pourraient se produire naturellement ou être ajoutées intentionnellement au cours de la fabrication d’un alliage. Dans tous les cas, la présence de ces impuretés perturbe la régularité du réseau, entraînant davantage de collisions d’électrons. Les impuretés ont amené l’électron à prendre un chemin beaucoup plus irrégulier à travers le réseau, ce qui a entraîné un temps beaucoup plus long pour traverser le réseau, donc un courant plus faible et une résistance plus élevée. Le même genre de collisions peut se produire lorsque les noyaux d’un réseau régulier sont considérablement déplacés par rapport à leurs positions habituelles.

Les atomes déplacés agissent alors de manière similaire aux atomes d’impureté lors de la diffusion des électrons. Ces déplacements se produisent parce que les noyaux ont assez d’énergie pour se déplacer de leurs positions habituelles et les noyaux ont plus d’énergie à des températures plus élevées. Donc, à des températures plus élevées, nous nous attendrions à voir plus de ces déplacements. Cela nous amène directement au dernier facteur que nous considérerons lors de la discussion sur la résistivité, c’est-à-dire que la résistivité d’un matériau dépend toujours de sa température. Mais l’effet est inverse pour les conducteurs par rapport aux semi-conducteurs et aux isolants.

En plus d’avoir plus de déplacements, il y a aussi plus d’électrons libres à des températures plus élevées car les électrons ont également plus d’énergie et pourraient donc plus facilement échapper aux noyaux. Cela nous présente deux processus concurrents. Plus de déplacements signifie une fréquence de collision plus élevée, ce qui aurait tendance à augmenter la résistivité d’un matériau. Mais plus d’électrons libres signifie une plus grande densité d’électrons libres, ce qui aurait tendance à diminuer la résistivité du matériau. Alors, qu’en est-il? La résistivité augmente-t-elle ou diminue-t-elle avec la température? Il s’avère que cela dépend de si notre matériau est un conducteur ou un semi-conducteur ou un isolant.

Puisque les conducteurs ont une densité d’électrons libres tellement élevée même à la température du zéro absolu, cette densité n’augmente pas beaucoup lorsque la température augmente. Par conséquent, les déplacements atomiques jouent un rôle beaucoup plus important, et la résistivité des conducteurs a tendance à augmenter lorsque la température augmente. D’autre part, bien que les semi-conducteurs et les isolants aient des densités d’électrons libres différentes à la température ambiante, à la température de zéro absolu, les semi-conducteurs et les isolants n’ont aucun électron libre. Cela signifie que l’effet de l’augmentation de la densité d’électrons libres est de loin supérieur à celui du nombre croissant de déplacements atomiques.

C’est parce que nous passons d’aucun électron libre du tout, c’est-à-dire d’un isolant parfait, à quelque chose avec suffisamment d’électrons libres pour avoir un courant mesurable. Ainsi, la résistivité des semi-conducteurs et des isolants a tendance à diminuer avec l’augmentation de la température. En fait, ces relations opposées sont l’un des moyens de distinguer les conducteurs des semi-conducteurs et des isolants.

Maintenant que nous avons vu comment la résistivité se produit à l’échelle atomique, étendons certaines de ces concepts à la longueur et à la section d’un bloc de matériau. Ici encore, nous avons un réseau atomique régulier relié à une source de tension, ce qui provoque le déplacement des électrons à travers le réseau. Comme nous l’avons vu précédemment, la résistivité du matériau est déterminée par la fréquence de collision et la densité d’électrons du réseau. La densité d’électrons détermine la charge qui traverse le réseau, et la fréquence des collisions détermine le temps nécessaire à cette charge pour circuler. Les deux déterminent à leur tour le courant à la tension donnée et déterminent ainsi la résistance.

Il existe cependant un autre moyen d’augmenter la charge totale circulant à travers le réseau, ainsi qu’un autre moyen d’augmenter le temps total nécessaire pour que la charge se déplace d’une extrémité du réseau à l’autre. Voici deux autres réseaux du même matériau avec la même différence de potentiel entre leurs bornes. Dans ce réseau, nous avons doublé la dimension qui est parallèle au sens du courant. En d’autres termes, nous avons doublé la longueur. D’autre part, dans ce réseau, nous avons doublé la taille de la dimension qui est perpendiculaire à la direction du courant. En d’autres termes, nous avons doublé l’aire de la section transversale.

Voyons maintenant ce qui se passe lorsque les électrons se déplacent à travers ces réseaux. Dans le réseau qui est deux fois plus long, nous nous attendrions à ce que les électrons subissent deux fois plus de collisions. Donc, parce que les électrons devront voyager deux fois plus loin avec la même fréquence de collision, le temps pour traverser le réseau sera environ doublé. Mais comme nous l’avons vu avec la résistivité, doubler le temps signifie doubler la résistance, ce qui confirme physiquement ce que nous savions déjà expérimentalement, c’est-à-dire que la résistance est directement proportionnelle à la longueur du bloc de matériau. Il convient de mentionner que le nombre d’électrons libres disponibles pour effectuer le voyage complet à travers le réseau n’a pas changé, ce qui signifie que la charge totale se déplaçant de bout en bout est la même.

Pour le réseau avec deux fois l’aire de la section, le temps nécessaire à chaque électron pour traverser le réseau sera à peu près le même que pour le réseau d’origine. Cependant, il y a maintenant deux fois plus d’électrons libres disponibles pour effectuer le voyage complet à travers le réseau. Avec deux fois plus d’électrons traversant le réseau en même temps, la charge par unité de temps est doublée, ce qui, comme nous le savons, réduit de moitié la résistance. Cela confirme encore une fois physiquement ce que nous savions déjà expérimentalement, c’est-à-dire que la résistance d’un bloc de matériau est inversement proportionnelle à son aire de section transversale. Maintenant que nous comprenons la base physique d’une formule, utilisons-la réellement pour calculer la résistance d’un morceau de cuivre.

Un fil de cuivre mesure 2,5 mètres de long et a une aire de section transversale de 1,25 fois 10 puissance moins cinq mètre carré. Trouvez la résistance du fil. Utilisez 1,7 fois 10 puissance moins huit ohm mètres pour la résistivité du cuivre.

On nous demande de trouver une résistance, et on nous donne une longueur, une aire de section transversale et une résistivité. Rappelons que nous avons une formule qui relie ces quatre quantités. La résistance d’un objet, c’est-à-dire le rapport d’une tension appliquée au courant traversant l’objet, est égal à la résistivité du matériau constituant l’objet, c’est-à-dire son opposition intrinsèque au flux de charge, multipliée par la longueur de l’objet divisé par la section transversale de l’objet. Comme on nous donne la longueur, la résistivité et l’aire de la section transversale, tout ce que nous devons faire pour trouver la résistance est d’insérer les valeurs.

Nous avons donc que la résistance est de 1,7 fois 10 puissance moins huit ohm mètres fois 2,5 mètres divisé par 1,25 fois 10 puissance moins cinq mètre carré. 1,7 fois 10 puissance moins huit fois 2.5 divisé par 1,25 fois 10 puissance moins cinq font 3,4 fois 10 puissance moins trois. Pour les unités, des mètres fois des mètres dans le numérateur divisé par des mètres carrés au dénominateur font un. Et donc nous nous retrouvons avec des ohms, des unités de résistance, et c’est ce que nous recherchons. Pour simplifier un peu notre résultat, rappelons que 10 puissance moins trois ohm fait simplement un milliohm, donc la résistance du fil de cuivre est de 3,4 milliohms. Il est important de reconnaître la différence entre mΩ, qui est le milliohm, une unité de résistance égale à un millième d’ohm, et Ω fois m, qui correspond à l’ohm mètre, l’unité de résistivité.

Passons maintenant en revue ce que nous avons appris sur la résistance et la résistivité. Dans cette vidéo, nous avons appris à calculer la résistance d’un bloc de matériau à partir de la résistivité, une propriété d’un matériau donné à une température donnée, ainsi que la longueur du bloc de matériau et l’aire de la section transversale du bloc. Nous avons également compris les dépendances de cette formule sur la base d’électrons libres se déplaçant à l’intérieur d’un réseau atomique. La résistance augmente avec la longueur, car il faut plus de temps aux électrons pour traverser le réseau. La résistance diminue avec l’augmentation de l’aire de la section transversale car, avec l’augmentation de cette aire, il y a plus d’électrons disponibles pour traverser le réseau dans le même laps de temps.

La résistivité est un facteur numérique pour chaque matériau, et elle dépend principalement de la densité d’électrons libres et de la structure du réseau atomique. Enfin, nous avons également appris que la résistivité de tous les matériaux varie selon la température. Pour les conducteurs, une augmentation de la température entraîne une augmentation de la résistivité. Pour les semi-conducteurs et les isolants, une augmentation de la température entraîne une diminution de la résistivité. En effet, à mesure que la température augmente, la densité d’électrons libres augmente, ce qui tend à diminuer la résistivité. En même temps, cependant, l’augmentation de la température conduit à plus de déformations du réseau, ce qui conduit à une fréquence de collision plus élevée et a tendance à augmenter la résistivité.

Pour les conducteurs, la densité d’électrons libres est si importante initiallement que les déformations accrues du réseau ont un effet beaucoup plus prononcé, ce qui entraîne une résistivité qui augmente en fonction de la température. Pour les semi-conducteurs et les isolants, la densité d’électrons libres est nulle à la température du zéro absolu, donc l’augmentation de la densité d’électrons libres avec l’augmentation de la température a un effet beaucoup plus marquant que les déformations accrues du réseau, et le résultat est une résistivité qui décroit lorsque la température augmente. En fait, mesurer l’évolution de la résistance d’un bloc de matériau selon la température est l’un des moyens de faire la distinction entre les matériaux conducteurs et les matériaux semi-conducteurs ou isolants.

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