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Fiche explicative de la leçon : Résistance et résistivité des conducteurs Physique

Dans cette fiche explicative, nous allons apprendre à relier la résistance électrique d’un objet à ses dimensions et au mouvement des électrons libres à travers cet objet.

La résistance électrique d’un objet est donnée par la formule suivante.

Formule: Résistance électrique

Pour un objet ayant une différence de potentiel, 𝑉 , à ses bornes et un courant, 𝐼 qui le traverse, la résistance, 𝑅, de l’objet est donnée par 𝑅=𝑉𝐼.

La résistance est une des propriétés d’un objet. La résistance d’un objet dépend de deux facteurs:

  • les dimensions de l’objet,
  • une propriété du matériau qui compose l’objet, appelée la résistivité du matériau.

Voyons d’abord comment les dimensions d’un objet affectent sa résistance.

La figure suivante illustre trois résistances. L’aire du côté des résistances dans le plan 𝑥𝑦 correspond à l’aire de la section transversale de chaque résistance.

La résistance A et la résistance B ont la même aire de section transversale. Cette aire est supérieure à l’aire de la section C.

La résistance A et la résistance C ont la même longueur selon la direction 𝑧. Cette longueur est supérieure à la longueur de la résistance B.

La longueur et l’aire de la section transversale d’une résistance affectent la manière dont les électrons libres la traverse. Pour mieux comprendre cela, on peut étudier un modèle de la structure interne d’une résistance.

Une résistance faite d’un métal électriquement conducteur se compose d’un réseau d’atomes qui ont un ou plusieurs électrons sur leurs orbites extérieures qui sont très faiblement liés au noyau de l’atome et peuvent être poussés d’un atome à l’autre par une faible force électrique.

La résistance peut être modélisée comme étant constituée d’ions chargés positivement et d’électrons libres qui passent entre les ions. Les électrons libres peuvent être modélisés comme se déplaçant d’une manière similaire au mouvement des particules d’un gaz.

La figure suivante représente la surface de la section transversale d’une résistance à laquelle une différence de potentiel est appliquée perpendiculairement à l’aire de la section transversale.

L’intensité du courant due à la différence de potentiel appliquée est donnée par la formule suivante.

Formule: courant électrique

Pour un objet traversé par une charge, 𝑄 , pendant un temps 𝑡 , le courant, 𝐼 , dans cet objet est donné par 𝐼=𝑄𝑡.

Les charges qui se déplacent à travers la résistance sont les électrons libres.

Le schéma représentant la structure de la résistance nous montre que plus l’aire de la section transversale de la résistance est grande, plus le nombre d’électrons libres qui peuvent occuper cette aire est élevé.

On peut donc modifier la formule du courant électrique tel que 𝐼𝐴×1𝑡,𝐴 est l’aire de la section transversale de la résistance.

Le temps, 𝑡 , nécessaire pour qu’un électron libre se déplace la longueur de la résistance est donné par 𝑡=𝑙𝑣,𝑣 est la vitesse moyenne des électrons libres et 𝑙 est la longueur de la résistance.

On peut donc modifier la formule du courant électrique pour obtenir 𝐼𝐴×𝑣𝑙𝐼𝐴𝑣𝑙.

On a vu que 𝑅=𝑉𝐼.

Pour une différence de potentiel constante, cela peut s’écrire 𝑅1𝐼.

On peut substituer l’expression de 𝐼 dans cette expression de 𝑅. Cela nous donne 𝑅𝑙𝐴𝑣.

Cette relation peut être exprimée sous une forme qui isole les grandeurs correspondant aux dimensions d’une résistance comme suit:𝑅1𝑣×𝑙𝐴.

On voit alors que l’effet des dimensions de la résistance affecte la valeur d’une résistance de la manière suivante:

  • la valeur d’une résistance est directement proportionnelle à la longueur de la résistance,
  • la valeur d’une résistance est inversement proportionnelle à l’aire de la section transversale de la résistance.

Comme nous l’avons déjà remarqué , le facteur affectant la valeur d’une résistance qui est dû au matériau de la résistance, plutôt qu’à ses dimensions, est appelé la résistivité de la substance. Le symbole 𝜌 est utilisé pour la résistivité.

Puisqu’on a 𝑅1𝑣×𝑙𝐴, on a alors 𝜌1𝑣.

Plus la résistivité d’un matériau est élevée, plus lentement les électrons libres traversent ce matériau.

La valeur d’une résistance peut être exprimée exactement en utilisant la résistivité comme suit:𝑅=𝜌𝑙𝐴.

La résistivité d’un matériau dépend de deux quantités:

  • La probabilité avec laquelle les électrons libres peuvent se déplacer à travers un matériau,
  • la densité d’électrons libres dans un matériau.

On peut en déduire que la probabilité de déplacement des électrons libres à travers un matériau et la densité des électrons libres dans un matériau dépendent l’une de l’autre.

La formule reliant la résistance et la résistivité peut être réorganisée pour isoler la résistivité, comme suit:𝑅×𝐴𝑙=𝜌𝑙𝐴×𝐴𝑙=𝜌.

À partir de cette expression, on peut définir la résistivité.

Définition: Résistivité

Pour un objet de résistance 𝑅 , d’aire en coupe transversale 𝐴 , et de longueur 𝑙 , la résistivité, 𝜌 , est donnée par 𝜌=𝑅𝐴𝑙.

L’unité du système international de la grandeur donnée par 𝐴𝑙 est donnée par mmm=; par conséquent, l’unité de la résistivité du système international est donnée par Ωm.

En toutes lettres, il s’agit d’un ohm-mètre.

La résistivité d’un matériau varie avec la température. Pour les objets faits de la plupart des matériaux, la résistivité augmente à mesure que la température de l’objet augmente. L’augmentation de la température créé une augmentation du taux de collisions entre les ions et les électrons libres, ce qui réduit le mouvement net des électrons libres à travers un conducteur. Ce mécanisme est décrit à la fin de cette fiche explicative.

Étudions un exemple dans lequel on calcule la résistivité d’un matériau.

Exemple 1: Calculer la résistivité d’un matériau

Un fil fait d’un matériau inconnu a une résistance de 125 mΩ. Le fil a une longueur de 1,8 m et une aire de section transversale 2,35×10m. Quelle est la résistivité du matériau dont le fil est fabriqué?Donne ta réponse en notation scientifique, au dixième près.

Réponse

La résistivité, 𝜌 , du matériau est donnée par la formule 𝜌=𝑅𝐴𝑙,𝑅 est la résistance du fil, 𝐴 est l’aire de la section transversale du fil, et 𝑙 est la longueur du fil.

En substituant avec les valeurs données dans la question, on trouve que 𝜌=125×10×2,35×101,8.Ωmm

On peut écrire ceci comme 𝜌=0,125×2,35×101,8.Ωmm

Ce qui donne alors 𝜌=0,125×2,35×101,8=2,9375×101,8.ΩmmΩmm

Au dixième près, on a donc 1,6×10.Ωm

Voyons maintenant un exemple dans lequel on calcule les dimensions d’une résistance faite d’un matériau de résistivité connue.

Exemple 2: Calcul des dimensions d’une résistance dont la résistivité est connue

Un fil de cuivre de résistance 12,8 mΩ a une aire de section transversale de 1,15×10m. Détermine la longueur du fil. Utilise 1,7×10Ωm pour la résistivité du cuivre. Donne ta réponse à une décimale près.

Réponse

La résistivité, 𝜌 , du matériau est donnée par la formule 𝜌=𝑅𝐴𝑙,𝑅 est la résistance du fil, 𝐴 est l’aire de la section transversale du fil, et 𝑙 est la longueur du fil.

Cette formule peut être réorganisée pour isoler 𝑙 tel que:𝜌×𝑙=𝑅𝐴𝑙×𝑙=𝑅𝐴𝜌𝑙=𝑅𝐴𝜌𝑙𝜌=𝑅𝐴𝜌=𝑙𝑙=𝑅𝐴𝜌.

En substituant avec les valeurs données dans la question, on trouve que 𝑙=12,8×10×1,15×101,7×10𝑙=1,28×10×1,15×101,7×10𝑙=1,472×101,7×10𝑙=1,472×101,7×10.ΩmΩmΩmΩmΩmΩmm

Au dixième près, ceci nous donne 8,7 m.

Intéressons-nous à un autre exemple dans lequel on calcule les dimensions d’une résistance faite d’un matériau de résistivité connue.

Exemple 3: Calcul des dimensions d’une résistance dont la résistivité est connue

Un fil de cuivre de résistance 22 mΩ a une longueur de 6,2 m. Calcule l’aire de la section transversale. Utilise 1,7×10Ωm pour la résistivité du cuivre. Donne ta réponse en notation scientifique, au dixième près.

Réponse

La résistivité, 𝜌 , du matériau est donnée par la formule 𝜌=𝑅𝐴𝑙,𝑅 est la résistance du fil, 𝐴 est l’aire de la section transversale du fil, et 𝑙 est la longueur du fil.

Cette formule peut être réorganisée pour isoler 𝐴 tel que:𝜌×𝑙=𝑅𝐴𝑙×𝑙=𝑅𝐴𝜌𝑙=𝑅𝐴𝜌𝑙𝑅=𝑅𝐴𝑅=𝐴𝐴=𝜌𝑙𝑅.

En substituant avec les valeurs données dans la question, on trouve que 𝐴=1,7×10×6,222×10𝐴=1,7×10×6,22,2×10𝐴=1,054×102,2×10.ΩmmΩΩmmΩΩmΩ

Au dixième près, cela nous donne 4,8×10.m

On a vu que la charge qui passe par un point dans une résistance pendant un intervalle de temps est donnée par 𝑄=𝐼𝑡.

La charge qui passe par un point dans une résistance pendant un intervalle de temps est donnée par 𝑄=𝑒×𝑁,𝑒 est la charge d’un électron et 𝑁 est le nombre d’électrons qui passent en ce point.

La valeur de 𝑁 dépend de la densité des électrons libres dans un matériau, 𝑛 , et le volume d’une résistance faite de ce matériau. Pour une résistance uniforme, le volume de la résistance est le produit de sa longueur et de l’aire de sa section transversale. On voit alors que 𝑁=𝑛×𝐴×𝑙.

La charge qui passe en un point d’une résistance pendant un intervalle de temps peut maintenant être exprimée comme 𝑄=𝑛𝑒𝐴𝑙.

En divisant les deux côtés de l’équation par le temps pendant lequel la charge se déplace, on obtient 𝑄𝑡=𝑛𝑒𝐴𝑙𝑡.

On observe que 𝑙𝑡=𝑣,𝑣 est la vitesse moyenne à laquelle les électrons traversent la résistance. Le terme utilisé pour 𝑣 est la vitesse de dérive des électrons libres.

On sait que 𝑄𝑡=𝐼; par conséquent, on obtient une formule reliant le courant dans une résistance à la vitesse moyenne à laquelle les électrons traversent la résistance.

Formule : Courant exprimé en fonction de la vitesse de dérive des électrons libres

Pour une résistance faite d’un matériau ayant une densité d’électrons libres 𝑛 qui a une aire en coupe transversale 𝐴 et transporte un courant 𝐼 , 𝐼=𝑛𝑒𝐴𝑣,𝑒 est la charge d’un électron et 𝑣 est la vitesse de dérive des électrons libres dans la résistance.

Regardons maintenant un exemple dans lequel on calcule la vitesse de dérive.

Exemple 4: Calculer la vitesse de dérive des électrons libres

Un courant de 1,4 A dans un fil de cuivre est porté par des électrons libres. L’aire de la section transversale du fil est de 2,5×10m. Calcule la vitesse moyenne à laquelle les électrons libres passent à travers le fil. Utilise une valeur de 1,6×10C pour la charge d’électrons et une valeur de 8,46×10m pour la densité des électrons libres dans le cuivre. Donne ta réponse en notation scientifique, au dixième près.

Réponse

Le courant dans le fil est lié à la vitesse moyenne des électrons libres par 𝐼=𝑛𝑒𝐴𝑣,𝑛 est la densité d’électrons libres du cuivre, 𝑒 est la charge d’un électron, 𝐴 est l’aire de la section transversale du fil, et 𝑣 est la vitesse de dérive des électrons libres dans le fil.

La vitesse de dérive peut faire l’objet de l’équation comme suit:𝐼𝑛𝑒𝐴=𝑛𝑒𝐴𝑣𝑛𝑒𝐴=𝑣.

En substituant avec les valeurs données dans la question, on trouve que 𝑣=1,48,46×10×1,6×10×2,5×10𝑣=1,433840𝑣=1,433840.AmCmmsCsCm

Au dixième près, cela correspond à 4,1×10/.ms

La vitesse de dérive des électrons libres est étonnamment petite.

Lorsqu’un circuit électrique est fermé, le courant dans le circuit est présent presque immédiatement dans tout le circuit. Un retard n’est pas détectable par l’homme. Cela pourrait amener quelqu’un à supposer que des électrons libres individuels doivent se déplacer sur la longueur du circuit en un temps négligeable.

La figure suivante représente de façon incorrecte comment le mouvement des électrons libres à travers un circuit pourrait être interprété.

Il est important de noter que, dans ce modèle incorrect, les électrons libres ne sont présents qu’aux points de départ et d’arrivée d’un circuit. En réalité, des électrons libres sont présents sur tout le circuit. Ceci est illustré par la figure suivante.

La figure montre que les électrons libres en surbrillance se déplacent beaucoup plus lentement que dans le modèle incorrect, mais il y a beaucoup plus d’électrons libres en mouvement.

Les électrons libres dans un conducteur ne se déplacent pas de la manière uniforme suggérée par les figures précédentes. Le mouvement représenté sur ces figures est le mouvement net des électrons plutôt que les mouvements individuels des électrons.

La figure suivante représente mieux les mouvements des électrons individuels. Seul le mouvement de quatre électrons individuels, choisis de manière aléatoire, est illustré.

On observe que si seulement quelques électrons ont une vitesse ayant une composante positive dans la direction du courant, la vitesse nette de ces électrons (représentée par le vecteur pointillé gris) a une telle composante.

Si on comprend bien que les mouvements individuels des électrons diffèrent considérablement de la direction du mouvement net des électrons cela nous aide à expliquer pourquoi la résistivité a tendance à augmenter avec la température.

La figure suivante représente le même conducteur à deux températures différentes.

À une température plus élevée, un ion dans le conducteur aura tendance à subir de plus grands changements de déplacement autour de sa position moyenne qu’à une température plus basse. Ainsi l’éventail des positions possibles des ions augmente, comme indiqué sur la figure.

Cela signifie que les collisions entre les ions et les électrons deviennent plus probables. Plus il y a de collisions entre des ions et des électrons, plus le courant dans le conducteur est réduit et donc plus la résistivité du conducteur augmente.

Résumons maintenant ce que l’on a appris dans cette fiche explicative.

Points Clés

  • La résistance d’un objet dépend des dimensions de l’objet et d’une propriété du matériau dont l’objet est constitué appelée la résistivité du matériau.
  • Pour un objet de résistance 𝑅 , d’aire en coupe transversale 𝐴 et de longueur 𝑙 , la résistivité, 𝜌 , est donnée par 𝜌=𝑅𝐴𝑙.
  • La résistivité a pour unité l’ ohm-mètre ( Ω⋅m ).
  • Plus la résistivité d’un matériau est élevée, plus il faut d’énergie pour produire un courant dans un objet fabriqué dans ce matériau.
  • La résistivité d’un matériau est liée à la densité d’électrons libres dans ce matériau.
  • La résistivité d’un matériau est liée à la vitesse moyenne à laquelle les électrons libres se déplacent à travers ce matériau.
  • Les résistivités de la plupart des matériaux augmentent lorsque la température augmente.
  • Pour une résistance faite d’un matériau ayant une densité d’électrons libres, 𝑛 , une aire en coupe transversale, 𝐴 , et transporte un courant, 𝐼 , 𝐼=𝑛𝑒𝐴𝑣,𝑒 est la charge d’un électron et 𝑣 est la vitesse de dérive des électrons libres dans la résistance.
  • Le temps mis par un électron libre pour parcourir la longueur d’un circuit est généralement beaucoup plus long que le temps mis pour établir un courant à travers le circuit.

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