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De l’eau avec une vitesse 𝑣 un égale à 1,25 mètre par seconde s’écoule en douceur à travers un tuyau cylindrique de rayon 𝑟 un égale à 0,325 mètre comme indiqué sur la figure. L’eau passe à travers le tuyau en 0,955 secondes avant de s’écouler doucement dans un deuxième tuyau cylindrique de rayon 𝑟 deux égal à 0,118 mètres et de longueur 𝐿 deux égal à 0,975 mètres. Quelle est la longueur du premier tuyau? Quel est l’intervalle de temps entre l’entrée de l’eau et sa sortie du deuxième tuyau ?
Commençons par la première partie de cette question, qui demande « Quelle est la longueur du premier tuyau ? » On nous dit que l’eau coule à travers le premier tuyau avec une vitesse 𝑣 un. Si nous devions observer l’eau à partir du moment où elle est entrée dans le premier tuyau jusqu’à ce qu’elle quitte le premier tuyau, un certain intervalle de temps serait passé. Et nous appellerons cet intervalle de temps Δ𝑇 un. Et c’est le temps nécessaire pour que l’eau passe à travers le premier tuyau. Nous savons que la distance parcourue par un objet est égale à sa vitesse multipliée par le temps pendant lequel ils se déplace à cette vitesse. Ainsi, la distance parcourue par l’eau, qui est 𝐿 un, est égale à sa vitesse, qui est 𝑣 un, multipliée par l’intervalle de temps Δ𝑇 un.
La question nous dit que 𝑣 un est égal à 1,25 mètre par seconde, et l’eau passe à travers le tuyau en 0,955 secondes. Donc Δ𝑇 un est égal à 0,955 seconde. Et ils sont tous deux en unités SI, nous n’avons donc pas besoin de les convertir avant de les introduire dans notre équation par 𝐿 un. En les insérant, on obtient 𝐿 un égal à 1,25 mètre par seconde multiplié par 0,955 secondes. La calcul donne 𝐿 un égal à 1,19 mètres à deux décimales près. La longueur du premier tuyau est égale à 1,9 mètre à deux décimales près.
Quel est l’intervalle de temps entre l’entrée de l’eau et sa sortie du deuxième tuyau ?
Tout comme pour le premier tuyau, nous pouvons observer le deuxième tuyau pendant un certain temps, du moment où l’eau pénètre dans le deuxième tuyau jusqu’à ce que l’eau sorte du deuxième tuyau. Nous appellerons cet intervalle de temps Δ𝑇 deux. Et cela peut être calculé à partir de la longueur du deuxième tuyau, 𝐿 deux, et de la vitesse de l’eau qui le traverse, 𝑣 deux. Nous savons que le temps nécessaire pour qu’un objet parcourt une certaine distance est égal à cette distance divisée par la vitesse à laquelle l’objet se déplace. Ou, dans ce cas, le temps nécessaire pour que l’eau passe à travers le deuxième tuyau est égal à la longueur du deuxième tuyau, 𝐿 deux, divisée par la vitesse de l’eau à travers le deuxième tuyau, 𝑣 deux. Cependant, 𝑣 deux est inconnu, vous devez donc calculer 𝑣 deux. Nous garderons une note de notre équation pour Δ𝑇 deux ici à droite.
Nous pouvons calculer la vitesse de l’eau dans le deuxième tuyau en utilisant l’équation de continuité pour les fluides, qui indique que la masse volumique d’un fluide multipliée par la section du tuyau à travers laquelle il circule multipliée par la vitesse du fluide est constante. Cela signifie que la masse volumique de l’eau multipliée par la section transversale du tuyau multipliée par la vitesse de l’eau dans le premier tuyau est égale à la masse volumique de l’eau multipliée par la section du tuyau multiplié par la vitesse de l’eau dans le deuxième tuyau. Parce que le fluide dans le tuyau est de l’eau, nous disons que sa masse volumique est constante. En effet, on peut supposer que l’eau est incompressible. Cela signifie que la masse volumique de l’eau dans le premier tuyau est égale à la masse volumique de l’eau dans le deuxième tuyau, ce que nous assimilerons à une masse volumique globale que nous appellerons 𝜌.
Et nous pouvons l’utiliser pour simplifier notre équation. Nous allons diviser les deux membres par 𝜌, où nous voyons que les 𝜌 à gauche et à droite s’annulent, ce qui nous laisse avec la section transversale du premier tuyau multipliée par la vitesse de l’eau dans le premier tuyau qui est égale à la section transversale du deuxième tuyau multipliée par la vitesse de l’eau dans le deuxième tuyau. Et nous pouvons réorganiser cela pour la vitesse de l’eau dans le deuxième tuyau, 𝑣 deux, en divisant les deux membres de l’équation par la section transversale du deuxième tuyau, S deux, où nous voyons que les S deux à droite s’annulent. Et cela nous donne notre expression pour la vitesse de l’eau dans le deuxième tuyau. Nous pouvons l’écrire un peu plus proprement. 𝑣 deux est égal à S un divisé par S deux multiplié par 𝑣 un.
Parce que les tuyaux sont cylindriques, nous pouvons écrire la section transversale du premier tuyau, S un, est égale à 𝜋 multiplié par le rayon du premier tuyau au carré, qui est 𝑟 un carré. De même, la section transversale du deuxième tuyau, S deux, est égale à 𝜋 multipliée par le rayon du deuxième tuyau au carré, qui est 𝑟 deux au carré. Et S un divisé par S deux est égal à 𝜋𝑟 un carré divisé par 𝜋𝑟 deux au carré. Et nous voyons que ces 𝜋 s’annulent, ce qui signifie que S un divisé par S deux est égal à 𝑟 un carré divisé par 𝑟 deux au carré. Et nous pouvons remplacer cela dans notre équation pour 𝑣 deux. Donc 𝑣 deux est égal à 𝑟 un carré divisé par 𝑟 deux au carré multiplié par 𝑣 un.
La question nous dit que 𝑟 un est égal à 0,325 mètres et 𝑟 deux est égal à 0,118 mètres. Et nous savons déjà que 𝑣 un est égal à 1,25 mètre par seconde. Tout est en unités SI. Nous pouvons donc continuer et les substituer dans notre équation pour 𝑣 deux, ce qui nous donne 𝑣 deux est égal à 0,325 mètre carré divisé par 0,118 mètre carré multiplié par 1,25 mètre par seconde. Le calcul nous donne 𝑣 deux est égal à 9,48 mètres par seconde à deux décimales près.
Nous pouvons maintenant utiliser 𝐿 deux qui est égal à 0,975 mètres donnée dans la question et 𝑣 deux est égal à 9,48 mètres par seconde que nous avons calculé pour trouver Δ𝑇 deux. Encore une fois, elles sont toutes en unités SI, nous n’avons donc pas à nous soucier de les convertir avant de les remplacer dans notre équation pour Δ𝑇 deux. Δ𝑇 deux est égal à 0,975 mètres divisé par 9,48 mètres par seconde. Le calcul nous donne Δ𝑇 deux est égal à 0,103 secondes à trois décimales près. L’intervalle de temps entre l’entrée de l’eau et sa sortie du deuxième tuyau est égal à 0,103 seconde à trois décimales près.
