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Si 𝐴 de coordonnées : neuf, huit ; 𝐵 : quatre, moins deux ; et 𝐶 : moins un, moins trois sont les sommets du triangle 𝐴𝐵𝐶, alors déterminez les coordonnées du point d'intersection de ses médianes en utilisant des vecteurs.
Nous allons commencer par tracer les axes des coordonnées et représenter les trois points. Nous savons que 𝐴 a pour coordonnées neuf, huit ; que le point 𝐵 a pour coordonnées quatre, moins deux ; et que 𝐶 a pour coordonnées moins un, moins trois. En reliant ces trois points, nous obtenons un triangle comme illustré. Nous appellerons l'origine 𝑂. Les vecteurs 𝐎𝐀, 𝐎𝐁 et 𝐎𝐂 sont donc respectivement égaux à neuf, huit ; quatre, moins deux ; et moins un, moins trois.
La question posée porte sur les médianes du triangle. Une médiane d'un triangle va d'un des sommets au milieu du segment opposé. Sur notre figure, le point 𝐷 est le milieu de 𝐵 et 𝐶. De même, la médiane du sommet 𝐵 divise 𝐴𝐶 en deux segments de longueurs égales au point 𝐸. Enfin, la médiane du sommet 𝐶 coupe en deux 𝐴𝐵 en deux segments de longueurs égales au point 𝐹. Ces trois médianes se coupent en un point que nous appellerons 𝑀. Ce point 𝑀 est appelé le barycentre du triangle et ce barycentre divise chacune des médianes selon le rapport deux sur un. Par exemple, le point 𝑀 divise le segment 𝐴𝐷 selon un rapport de deux sur un, de sorte que le rapport de 𝐴𝑀 à 𝑀𝐷 est de deux sur un. Nous savons également que 𝐷 est le milieu de 𝐵𝐶, alors le rapport de 𝐵𝐷 à 𝐷𝐶 est de un sur un.
A présent, nous allons libérer un peu d'espace et rappeler la formule permettant de trouver le vecteur position d'un point divisant avec un rapport donné un segment donné. La formule stipule que si 𝐴 et 𝐵 sont des points dont les vecteurs de position sont respectivement 𝐚 minuscule et 𝐛 minuscule et que 𝐶 divise 𝐴𝐵 selon le rapport 𝜆 sur 𝜇, alors le vecteur de position de 𝐶 est 𝜇 fois le vecteur 𝐚 plus 𝜆 fois le vecteur 𝐛 le tout divisé par 𝜆 plus 𝜇. Ceci signifie que le vecteur 𝐎𝐃 est égale à une fois le vecteur 𝐎𝐁 plus une fois le vecteur 𝐎𝐂 le tout divisé par un plus un. Pour simplifier, nous voyons que le vecteur 𝐎𝐃 égale le vecteur 𝐎𝐁 plus le vecteur 𝐎𝐂 divisé par deux. Nous pouvons calculer ce vecteur en substituant nos valeurs de 𝐎𝐁 et 𝐎𝐂, mais pour l'instant nous le laissons sous cette forme.
Nous pouvons ensuite utiliser notre autre rapport pour calculer 𝐎𝐌. Cela nous donne le vecteur 𝐎𝐌 est égal à une fois le vecteur 𝐎𝐀 plus deux fois le vecteur 𝐎𝐃 divisé par deux plus un. Nous pouvons donc simplifier cela pour obtenir le vecteur 𝐎𝐌 est égal au vecteur 𝐎𝐀 plus deux fois le vecteur 𝐎𝐃 divisé par trois. Nous avons déjà trouvé une expression pour le vecteur 𝐎𝐃. En le substituant dans notre équation pour 𝐎𝐌, nous voyons que le vecteur 𝐎𝐌 est égal au vecteur 𝐎𝐀 plus deux fois le vecteur 𝐎𝐁 plus le vecteur 𝐎𝐂 divisé par deux, le tout divisé par trois. Nous simplifions par deux et nous obtenons le vecteur 𝐎𝐀 plus le vecteur 𝐎𝐁 plus le vecteur 𝐎𝐂 sur trois.
Cela constitue en fait une règle générale pour trouver le barycentre d'un triangle. Le vecteur de position du barycentre d'un triangle est égale à un tiers de la somme des vecteurs de position des trois sommets. Nous pouvons maintenant substituer nos valeurs de 𝐎𝐀, 𝐎𝐁, et 𝐎𝐂. Nous allons commencer par trouver la somme des vecteurs neuf, huit ; quatre, moins deux ; et moins un, moins trois. Nous devrons ensuite multiplier cette somme par un tiers. La somme des composantes 𝑥 nous donne 12 puisque neuf plus quatre font 13, puis plus moins un donne 12. La somme des composantes 𝑦 est égale à trois. Le vecteur 𝐎𝐌 est donc égal à un tiers fois le vecteur 12, trois. Nous obtenons ainsi le vecteur quatre, un puisque un tiers de 12 vaut quatre et un tiers de trois vaut un.
Puisqu’il s'agit du vecteur 𝐎𝐌, nous pouvons conclure que les coordonnées du point d'intersection des médianes du triangle sont quatre, un.
