Dans cette fiche explicative, nous allons apprendre comment utiliser les opérations sur les vecteurs et les propriétés des vecteurs pour résoudre des problèmes impliquant des figures géométriques.
Avant de commencer à étudier les applications des vecteurs aux problèmes géométriques, commençons par rappeler quelques-unes des propriétés importantes des vecteurs.
Théorème : Propriétés des vecteurs
Pour tous points , et
- ,
- ,
- en d’autres termes, .
Pour tous vecteurs et
- et sont colinéaires lorsqu’ils sont des multiples scalaires l’un de l’autre,
- deux vecteurs sont égaux s’ils ont la même norme et le même sens.
On peut également travailler géométriquement avec des vecteurs, ou algébriquement avec leurs composantes. Parfois, une méthode est plus facile que l’autre, on doit donc envisager les deux options pour chaque problème.
Étudions quelques exemples de problèmes géométriques que nous pouvons résoudre en utilisant les propriétés des vecteurs.
Exemple 1: Utiliser des vecteurs pour déterminer les coordonnées d’un sommet d’un rectangle
est un rectangle pour lequel les coordonnées des points , et sont respectivement , , et . Utilisez des vecteurs pour déterminer la valeur de et les coordonnées du point .
Réponse
Comme cette question nous demande d’utiliser des vecteurs, on commence par convertir ce problème en un problème impliquant des vecteurs. Lorsque l’on fait cela, dessiner les informations données est généralement une bonne idée. On commence par les points , , et dans un rectangle.
Cela donne un rectangle , où est situé à une unité sous et est adjacent à . Pour utiliser des vecteurs pour répondre à cette question, on commence par remplacer les côtés du rectangle par les vecteurs situés entre ses sommets adjacents.
On voit que et . On peut également voir que les côtés opposés ont la même longueur puisqu’ils sont les côtés opposés d’un rectangle. Comme ils ont la même norme et le même sens, on doit avoir
On utilise maintenant les coordonnées données pour trouver ces vecteurs :
De même,
Pour déterminer la valeur de , on doit utiliser le fait que tous les angles internes d’un rectangle sont de et que est vertical. Comme est orthogonal à un vecteur vertical, il doit être horizontal, en d’autres termes, sa composante verticale doit être nulle. Définir la composante verticale comme nulle donne
Par conséquent, les coordonnées de sont . On peut utiliser le fait que pour trouver les coordonnées de . Substituer dans le vecteur donne
Il est égal à , donc
En le remplaçant par , on a
En réarrangeant, on obtient
Les coordonnées de sont donc .
Par conséquent, on a montré que et .
Dans l’exemple précédent, nous avons utilisé les propriétés des vecteurs et nos connaissances sur les rectangles pour résoudre le problème. Étudions maintenant un exemple qui implique des règles géométriques plus complexes et les propriétés des vecteurs.
Exemple 2: Déterminer le scalaire qui satisfait à une opération donnée sur des vecteurs représentés sur une figure
D’après les informations de la figure ci-dessous, déterminez la valeur de tel que .
Réponse
On commence par examiner l’équation vectorielle
On peut simplifier cette équation en remarquant que .
Cela signifie que l’on souhaite trouver la valeur de tel que
On sait que l’on peut trouver une telle valeur de parce que . Pour déterminer la valeur de , on observe que . On peut alors appliquer une propriété géométrique utile. On a les angles correspondants suivants dans la figure :
Cela montre que le triangle et le triangle ont les mêmes angles internes. En d’autres termes, ces deux triangles sont semblables. En particulier, on peut utiliser le fait que le rapport des longueurs des côtés correspondants de deux triangles semblables est le même.
Cela signifie que
On peut réarranger cette équation pour voir que ce qui signifie que
On a choisi ces côtés en particulier parce que l’on connaît la norme de trois de ces valeurs d’après la figure :
En les substituant dans l’équation, on obtient
Par conséquent, la valeur de est .
Lorsqu’on nous donne une équation vectorielle dans le contexte d’un problème géométrique, représenter les informations données nous aide à résoudre le problème. Étudions quelques exemples pour nous familiariser avec le contexte.
Exemple 3: Déterminer une valeur inconnue à l’aide de vecteurs
Dans le triangle , , où . Sachant que , déterminez la valeur de .
Réponse
On commence par dessiner les informations données, en commençant par le triangle .
On ajoute un point, sur le côté , tel que .
Comme illustré ci-dessus, on peut dire que et pour une valeur .
On souhaite trouver la valeur de telle que . Cela signifie que l’on doit écrire une équation impliquant chacun de ces vecteurs. On commence par déterminer une expression de en considérant la figure suivante.
On remarque que , et cette expression de est similaire à l’expression du membre gauche de l’équation donnée. Substituer cette expression de dans l’équation donne
On peut alors simplifier
On doit maintenant déterminer quels multiples scalaires de ces vecteurs s’additionnent pour donner , et on peut le faire en se référant à la figure.
D’abord,
On peut alors écrire en fonction de en remarquant que et ont le même sens, avec et .
On rappelle que deux vecteurs sont égaux s’ils ont la même norme et le même sens. La longueur de est fois la longueur de . Si on multiplie par , le vecteur résultant aura la même longueur que . Par conséquent,
On vient de montrer que
Égaliser ensuite ces deux expressions vectorielles de donne
On peut alors égaliser les coefficients scalaires des vecteurs
Ce système a une solution, qui est .
Exemple 4: Utiliser des vecteurs pour déterminer les coordonnées d’un sommet d’un carré et son aire
est un carré dont les coordonnées des points , et sont , et . Utilisez des vecteurs pour déterminer les coordonnées du point et l’aire du carré.
Réponse
On souhaite utiliser des vecteurs pour trouver les coordonnées du point manquant du carré. On commence par dessiner les points donnés et le point .
Puisqu’il s’agit d’un carré, on sait que les côtés opposés sont parallèles et de même longueur. Comme on a les coordonnées de , et , on peut trouver les vecteurs et . On représente ensuite le carré comme illustré ci-dessous.
On a
Il y a maintenant deux méthodes pour déterminer les coordonnées de . On peut utiliser le fait que , et on l’écrit en fonction des points de départ et d’arrivée :
On substitue ensuite par les vecteurs de position et on trouve
Par conséquent, les coordonnées de sont .
On peut aussi voir sur la figure que . Cela donne
Par conséquent, les coordonnées de sont .
Enfin, pour déterminer l’aire du carré, on doit calculer la longueur d’un côté. On peut trouver la longueur du côté en calculant la norme du vecteur :
L’aire du carré est ensuite donnée par
Par conséquent, les coordonnées de sont , et l’aire du carré est égale à 8 unités carrées.
Étudions maintenant un exemple impliquant l’aire d’un trapèze en utilisant des vecteurs.
Exemple 5: Utiliser des vecteurs pour déterminer l’aire d’un trapèze rectangle
Le trapèze a les sommets , , et . Sachant que et , déterminez l’aire de ce trapèze.
Réponse
On souhaite déterminer l’aire d’un trapèze dont on connaît les coordonnées des sommets, les bases et la hauteur. On commence par tracer ces informations.
Pour déterminer l’aire de ce trapèze, on rappelle la formule de l’aire d’un trapèze. Si et sont les longueurs des bases d’un trapèze, et est sa hauteur, alors :
Pour le trapèze donné, les longueurs des bases sont et , et sa hauteur est égale à .
Cela signifie que l’aire du trapèze est donnée par
On peut déterminer ces vecteurs en utilisant les coordonnées des points donnés :
Ensuite, les longueurs des côtés sont
Enfin, on substitue ces longueurs dans la formule de l’aire du trapèze :
Par conséquent, l’aire du trapèze est égale à 248 unités carrées.
Dans les exemples précédents, nous avons montré de nombreuses propriétés géométriques de quelques figures données en utilisant des vecteurs. Il est également possible de démontrer les propriétés géométriques générales de plusieurs figures géométriques en utilisant des vecteurs.
Par exemple, soit un parallélogramme avec ses diagonales, comme indiqué.
On peut montrer en utilisant des vecteurs que ses diagonales se coupent en leurs milieux. Pour ce faire, on appelle le milieu de , . On note que et ont la même norme et le même sens, donc
On peut alors tracer les vecteurs et . Pour que soit le milieu de , on doit montrer que ces deux vecteurs sont égaux. On ajoute des vecteurs au diagramme, comme illustré ci-dessous.
On peut voir sur le diagramme que
et que
On rappelle que les côtés opposés d’un parallélogramme ont la même longueur et sont parallèles, donc
En substituant les expressions des équations (1) et (2) dans ce qui précède, on obtient
et sont égaux, on peut donc les retirer de chaque membre de l’équation, ce qui amène à
En particulier, cela signifie que leurs normes et sens sont égaux, et que est donc le milieu de .
Un autre exemple de propriété géométrique que nous pouvons démontrer en utilisant des vecteurs est l’affirmation selon laquelle le segment reliant les milieux de deux côtés d’un triangle est parallèle au troisième côté. Soit le triangle avec les milieux de deux côtés et , comme indiqué.
On souhaite montrer que . D’après le diagramme, on a
Comme et ont la même norme et le même sens, on a
De même,
On peut les substituer dans l’expression de pour obtenir
Sur le diagramme, on peut aussi voir que
En appliquant cette identité à l’expression de , on obtient
Comme est un multiple scalaire de , ils doivent être colinéaires. En fait, en prenant la norme des deux membres de cette équation, on voit que
On peut également voir que est deux fois plus long que .
Terminons par récapituler certains des points les plus importants à retenir de ce document explicatif.
Points clés
- On peut convertir des problèmes impliquant des figures géométriques en problèmes impliquant des vecteurs.
- Pour tous points , et
- Si et sont colinéaires, alors il existe un scalaire tel que En particulier, pour tous vecteurs colinéaires non nuls et , où le signe est positif si les sens de et sont les mêmes, et le signe est négatif si leurs sens sont opposés.
- On peut prouver de nombreuses relations géométriques à l’aide des propriétés des vecteurs.
