Transcription de vidéo
Dans cette vidéo, nous allons apprendre à utiliser les opérations vectorielles et les propriétés vectorielles pour résoudre des problèmes impliquant des formes géométriques. Nous commencerons par rappeler quelques propriétés clés que nous utiliserons tout au long de cette vidéo.
Lors de l’addition ou la soustraction de deux vecteurs, nous additionnons ou soustrayons leurs composantes individuelles. Nous savons que deux vecteurs sont colinéaires s’ils sont des multiples scalaires l’un de l’autre. Les vecteurs 𝐀 et 𝐁 sont colinéaires si le vecteur 𝐀 est égal à 𝑘 multiplié par le vecteur 𝐁, où 𝑘 est une constante non nulle. Deux vecteurs sont orthogonaux si leur produit scalaire est égal à zéro. Nous pouvons utiliser ces deux propriétés pour résoudre des problèmes impliquant des droites parallèles et perpendiculaires dans des formes géométriques. Nous savons que si deux vecteurs sont égaux, ils ont la même norme et le même sens. Si cela est vrai pour deux côtés d’une forme géométrique, les deux côtés seront parallèles et de même longueur.
Nous allons maintenant voir quelques exemples, dont le premier consiste à trouver les coordonnées des sommets d’un rectangle.
𝐴𝐵𝐶𝐷 est un rectangle dans lequel les coordonnées des points 𝐴, 𝐵 et 𝐶 sont respectivement moins 18, moins deux; moins 18, moins trois; et moins huit, 𝑘. Utilisez des vecteurs pour trouver la valeur de 𝑘 et les coordonnées du point 𝐷.
Une façon de résoudre ce problème serait de dessiner un rectangle sur le plan de coordonnées ; cependant, on nous demande d’utiliser des vecteurs. Il est donc logique de considérer certaines propriétés du rectangle. Un rectangle possède deux paires de côtés parallèles et de même longueur. Cela signifie que le vecteur 𝐀𝐁 sera égal au vecteur 𝐃𝐂. De même, le vecteur 𝐃𝐀 sera égal au vecteur 𝐂𝐁. Nous savons également que les angles dans un rectangle sont des angles droits. Cela signifie que le vecteur 𝐀𝐁 est orthogonal au vecteur 𝐂𝐁. Il en va de même pour les autres côtés qui se joignent aux angles droits.
Nous rappelons que pour calculer le vecteur 𝐀𝐁, nous soustrayons les coordonnées du point 𝐀 des coordonnées du point 𝐁. Dans cette question, le vecteur 𝐀𝐁 est égal à moins 18, moins trois moins moins 18, moins deux. Moins 18 moins moins 18 donne moins 18 plus 18. Ceci est égal à zéro. Moins trois moins moins deux est égal à moins un. Par conséquent, le vecteur 𝐀𝐁 est égal à zéro, moins un. Le vecteur 𝐂𝐁 est égal aux coordonnées du point 𝐁 moins les coordonnées du point 𝐂. Cela est égal à moins 18, moins trois moins moins huit, 𝑘. Ce qui donne moins 10, moins trois moins 𝑘.
Nous savons que si deux vecteurs sont orthogonaux, leur produit scalaire est égal à zéro. Cela signifie que le produit scalaire de 𝐀𝐁 et 𝐂𝐁 est égal à zéro. Zéro multiplié par moins 10 plus moins un multiplié par moins trois moins 𝑘 est égal à zéro. Cela équivaut à zéro est égal à trois plus 𝑘. En soustrayant trois des deux côtés de cette équation nous obtenons 𝑘 est égal à moins trois. La valeur de 𝑘 est égale à moins trois, ce qui signifie que 𝐶 a les coordonnées moins huit, moins trois.
Si nous considérons que les coordonnées du point 𝐷 sont 𝑥, 𝑦, alors le vecteur 𝐃𝐂 est égal à moins huit, moins trois moins 𝑥, 𝑦. Cela est égal à moins huit moins 𝑥, moins trois moins 𝑦. Puisque les vecteurs 𝐀𝐁 et 𝐃𝐂 ont la même norme et le même sens, ils doivent être égaux. Cela signifie que zéro doit être égal à moins huit moins 𝑥. Moins un doit être égal à moins trois moins 𝑦. En résolvant notre première équation, nous obtenons 𝑥 est égal à moins huit. En résolvant la deuxième équation, nous obtenons 𝑦 est égal à moins deux. Les coordonnées du point 𝐷 sont donc égales à moins huit, moins deux.
Dans notre prochaine question, nous allons considérer un triangle.
Dans le triangle 𝐴𝐵𝐶, 𝐷 se trouve sur le segment de droite 𝐵𝐶, où le rapport entre 𝐵𝐷 et 𝐷𝐶 est de deux sur trois. Sachant que trois multiplié par le vecteur 𝐀𝐁 plus deux multiplié par le vecteur 𝐀𝐂 est égal à 𝑘 multiplié par le vecteur 𝐀𝐃, trouvez la valeur de 𝑘.
Nous commençons par considérer le triangle 𝐴𝐵𝐶. Nous savons que le point 𝐷 se trouve sur 𝐵𝐶 et le rapport entre 𝐵𝐷 et 𝐷𝐶 est de deux sur trois. Cela signifie que le vecteur 𝐁𝐃 est deux cinquièmes du vecteur 𝐁𝐂. Considérons maintenant l’équation qui nous est donnée. Trois multiplié par le vecteur 𝐀𝐁 plus deux multiplié par le vecteur 𝐀𝐂 est égal à 𝑘 multiplié par le vecteur 𝐀𝐃. Nous savons que le vecteur 𝐀𝐂 est égal à 𝐀𝐁 plus 𝐁𝐂. Cela signifie que le côté gauche de notre équation peut être réécrit comme trois 𝐀𝐁 plus deux multiplié par 𝐀𝐁 plus 𝐁𝐂. Nous pouvons distribuer les parenthèses pour obtenir deux 𝐀𝐁 plus deux 𝐁𝐂. En collectant des termes similaires, nous avons cinq 𝐀𝐁 plus deux 𝐁𝐂.
Considérons maintenant le côté droit de l’équation. Le vecteur 𝐀𝐃 est égal à 𝐀𝐁 plus 𝐁𝐃. Par conséquent, le côté droit est égal à 𝑘 multiplié par 𝐀𝐁 plus 𝐁𝐃. Nous savons que 𝐁𝐃 est égal aux deux cinquièmes de 𝐁𝐂. On peut alors distribuer les parenthèses. Cela nous donne 𝑘 multiplié par le vecteur 𝐀𝐁 plus les deux cinquièmes de 𝑘 multiplié par le vecteur 𝐁𝐂. Nous pouvons maintenant égaler les coefficients. 𝑘 doit être égal à cinq. Deux doit être égal à deux cinquièmes de 𝑘. Diviser les deux côtés de cette équation par deux cinquièmes nous donne également 𝑘 est égal à cinq. La valeur de 𝑘 telle que trois multiplié par le vecteur 𝐀𝐁 plus deux multiplié par le vecteur 𝐀𝐂 est égal à 𝑘 multiplié par le vecteur 𝐀𝐃 est cinq.
Dans notre prochaine question, nous regarderons les propriétés d’un carré.
𝐴𝐵𝐶𝐷 est un carré dans lequel les coordonnées des points 𝐴, 𝐵 et 𝐶 sont un, moins huit; trois, moins 10; et cinq, moins huit. Utilisez des vecteurs pour déterminer les coordonnées du point 𝐷 et l’aire du carré.
Nous savons qu’un carré possède quatre côtés de même longueur et que tous ses angles sont des angles droits. Nous savons que deux vecteurs sont égaux s’ils ont la même norme et le même sens. Cela signifie que dans cet exemple le vecteur 𝐀𝐁 est égal au vecteur 𝐃𝐂. Nous savons que le vecteur 𝐀𝐁 est égal aux coordonnées du point 𝐁 moins les coordonnées du point 𝐀. Dans cette question, nous devons soustraire le vecteur un, moins huit du vecteur trois, moins 10. Trois moins un est égal à deux et moins 10 moins moins huit est égal à moins deux.
Nous pouvons répéter cela pour le vecteur 𝐃𝐂 où les coordonnées du point 𝐷 sont 𝑥, 𝑦. Nous devons soustraire 𝑥, 𝑦 de cinq, moins huit. Cela nous donne cinq moins 𝑥 et moins huit moins 𝑦. Comme les vecteurs 𝐀𝐁 et 𝐃𝐂 sont égaux, nous pouvons maintenant égaler les composantes. Deux est égal à cinq moins 𝑥 et moins deux est égal à moins huit moins 𝑦. Ces équations peuvent être réarrangées de sorte que 𝑥 est égal à cinq moins deux et 𝑦 est égal à moins huit plus deux. Cinq moins deux est égal à trois et moins huit plus deux est égal à moins six. Les coordonnées du point 𝐷 sont donc égales à trois, moins six.
Dans la deuxième partie de cette question, nous devons trouver l’aire du carré. Pour y parvenir, nous devons trouver la longueur de l’un des côtés. Cela revient à trouver la norme d’un vecteur. La norme de tout vecteur 𝐀𝐁 est égale à la racine carrée de 𝑥 au carré plus 𝑦 au carré. Nous prenons la racine carrée de la somme des carrés de chacune des composantes. Dans cette question, la longueur de 𝐀𝐁 est égale à la racine carrée de deux au carré plus moins deux au carré. Deux au carré et moins deux au carré sont tous les deux égaux à quatre. La norme du vecteur 𝐀𝐁 est donc égale à la racine carrée de huit. Cela signifie que la longueur de chaque côté du carré est égale à la racine carrée de huit.
Nous savons que pour calculer l’aire d’un carré, nous prenons le carré de la longueur du côté qui est, dans ce cas, le carré de la racine carré de huit. Comme le carré et la racine carrée sont inverses (ou réciproques) l’un de l’autre, l’aire du carré est de huit unités carrées.
Dans notre dernière question, nous étudierons un trapèze.
Le trapèze 𝐴𝐵𝐶𝐷 a les sommets 𝐴: quatre, 14; 𝐵: quatre, moins quatre; 𝐶: moins 12, moins quatre; et 𝐷: moins 12, neuf. Sachant que le vecteur 𝐀𝐁 est colinéaire au vecteur 𝐃𝐂 et que le vecteur 𝐀𝐁 est orthogonal au vecteur 𝐂𝐁, trouvez l’aire de ce trapèze.
Considérons ce qui nous est dit à propos du trapèze. Nous savons que le vecteur 𝐀𝐁 est colinéaire au vecteur 𝐃𝐂. Nous savons également que le vecteur 𝐀𝐁 est orthogonal au vecteur 𝐂𝐁. Cela signifie qu’ils se joignent à un angle droit. Il en découle que les vecteurs DC et 𝐂𝐁 se joignent également à un angle droit. Nous savons que l’aire d’un trapèze peut être obtenue en utilisant la formule 𝑎 plus 𝑏 sur deux multiplié par ℎ, où 𝑎 et 𝑏 sont les longueurs des côtés parallèles et ℎ est la longueur de la hauteur perpendiculaire. Nous devons trouver la longueur des côtés 𝐴𝐵 et 𝐷𝐶 et de la hauteur perpendiculaire 𝐶𝐵.
Afin de calculer la longueur des côtés, nous devons déterminer la norme des vecteurs. Nous allons commencer par calculer la norme de 𝐀𝐁. Celle-ci est égale à la racine carrée de quatre moins quatre au carré plus moins quatre moins 14 au carré. Quatre moins quatre est égal à zéro. Moins quatre moins 14 est égal à moins 18. En élevant au carré on obtient 324, puis en prenant sa racine carrée on obtient 18. La norme du vecteur 𝐀𝐁 est égale à 18. Nous pouvons répéter ce processus pour calculer la norme du vecteur 𝐃𝐂. Celle-ci est égale à la racine carrée de moins 12 moins moins 12 au carré plus moins quatre moins neuf au carré. Ce qui nous donne une réponse de 13.
Puisque la longueur de 𝐀𝐁 est supérieure à la longueur de 𝐃𝐂, nous pouvons voir que notre dessin n’a pas été tracé à l’échelle. Il serait donc plus logique de le renommer comme montré sur le dessin. Le vecteur 𝐀𝐁 est toujours colinéaire au vecteur 𝐃𝐂 et le vecteur 𝐀𝐁 est orthogonal au vecteur 𝐂𝐁. Nous pouvons maintenant ajouter les longueurs sur notre dessin. Nous devons maintenant calculer la norme du vecteur 𝐁𝐂. En utilisant la même méthode, nous voyons qu’elle est égale à 16. Nous avons maintenant les longueurs des côtés parallèles ainsi que la longueur de la hauteur perpendiculaire du trapèze. L’aire est donc égale à 13 plus 18 divisé par deux multiplié par 16. 13 plus 18 est égal à 31. En multipliant 31 sur deux par 16, nous obtenons 248. L’aire du trapèze est donc égale à 248 unités carrées.
Nous allons maintenant terminer cette vidéo en résumant les points clés. Nous avons vu dans cette vidéo que nous pouvons utiliser les opérations vectorielles et les propriétés vectorielles pour résoudre des problèmes impliquant des formes géométriques. Nous utilisons le fait que deux vecteurs sont colinéaires s’ils sont des multiples scalaires l’un de l’autre. Le vecteur 𝐀 est égal à 𝑘 multiplié par le vecteur 𝐁. Nous utilisons également le fait que deux vecteurs sont orthogonaux si leur produit scalaire est égal à zéro. Nous avons également vu que si le vecteur 𝐀 a des composantes 𝑥, 𝑦, alors la norme du vecteur 𝐀 est égale à la racine carrée de 𝑥 au carré plus 𝑦 au carré. Cela nous a permis de résoudre des problèmes impliquant l’aire des carrés, des trapèzes, des rectangles et des triangles.
