Transcription de la vidéo
Déterminez l'ensemble des points d'intersection des courbes d'équations 𝑥 plus cinq 𝑦 égal zéro et 𝑦 au carré égal moins 𝑥.
Pour résoudre ce problème et déterminer l'ensemble des points d'intersection, on doit trouver les intersections des courbes, car si leurs équations ont des solutions égales, c'est là qu'elles vont se couper. Donc, on va résoudre ce problème à l’aide d’un système d'équations. Comme vous le voyez, j'ai nommé chaque équation : l’équation une et l’équation deux.
En fait, on va d'abord étudier l'équation une, puisqu'on va la réarranger. On va faire ça car on veut isoler 𝑥. Pour pouvoir ensuite substituer sa valeur dans la seconde l'équation. Donc on a 𝑥 plus cinq 𝑦 égal zéro, si on soustrait cinq 𝑦 à chaque membre, il nous restera 𝑥 égal moins cinq 𝑦. On a donc atteint notre objectif et on a effectivement isoler 𝑥.
Alors maintenant, nous allons substituer 𝑥 égal moins cinq 𝑦 dans l'équation deux. On va faire ça pour qu'il n'y ait qu'une seule inconnue dans notre équation et on pourra alors déterminer 𝑦. On obtient donc 𝑦 au carré égal moins moins cinq 𝑦. Ainsi, comme nous avons moins moins, on obtient en fait plus. Donc on peut dire que 𝑦 au carré égal cinq 𝑦.
Comme nous avons en fait une expression du second degré parce que nous avons 𝑦 au carré, on veut la rendre égale à zéro. On soustrait donc cinq 𝑦 à chaque membre. On a ainsi 𝑦 au carré moins cinq 𝑦 égal zéro. On peut donc résoudre ce problème en factorisant. Donc on place 𝑦 à l'extérieur des parenthèses car c'est un facteur commun aux deux termes. Puis, à l'intérieur des parenthèses, on trouve 𝑦 moins cinq car 𝑦 fois 𝑦 nous donne 𝑦 au carré et 𝑦 fois moins cinq nous donne moins cinq 𝑦.
Très bien, on obtient donc que 𝑦 égal zéro ou cinq. Et cela parce que si nous avons 𝑦 égal zéro, alors les parenthèses seraient multipliées par zéro. Ce qui nous donnerait zéro. Et si on avait 𝑦 égal cinq, on aurait alors cinq moins cinq égal zéro. Donc là encore, on obtiendrait zéro. Et ces valeurs sont les ordonnées 𝑦 de nos points d'intersection. Donc maintenant, on doit trouver les abscisses 𝑥.
Donc pour trouver ces 𝑥, on va substituer 𝑦 égal zéro et 𝑦 égal cinq dans l'équation une. Vous pouvez en fait les substituer dans l'équation une ou l'équation deux. Mais nous allons juste le faire dans l'équation une. On va donc commencer par 𝑦 égal zéro. Donc si on substitue cela, on obtient 𝑥 plus cinq fois zéro égal zéro, ce qui nous donne 𝑥 plus zéro égal zéro. Par conséquent, 𝑥 égal zéro et notre premier point d'intersection a pour coordonnées zéro, zéro.
On peut maintenant passer à 𝑦 égal cinq. On obtient donc 𝑥 plus cinq fois cinq égal zéro. Donc, 𝑥 plus 25 égal zéro. Et par conséquent, 𝑥 égal moins 25, ce qui signifie que notre deuxième point d'intersection est moins 25, cinq.
Dans la question, on nous demande de déterminer l'ensemble des points d'intersection. On peut donc écrire que l'ensemble des points qui sont en fait les points d'intersection des courbes d'équations 𝑥 plus cinq 𝑦 égal zéro et 𝑦 au carré égal moins 𝑥 sont zéro, zéro et moins 25, cinq.
