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Fiche explicative de la leçon : Systèmes constitués d'une équation linéaire et d'une équation du second degré Mathématiques

Dans cette fiche explicative, nous allons apprendre comment résoudre des systèmes constitués d'une équation linéaire et d'une équation du second degré.

Les systèmes d’équations apparaissent dans de nombreux domaines de la science, mais également la finance, l’informatique et la mécanique. Résoudre un système d’équations signifie trouver les valeurs des variables qui vérifient chaque équation.

Comment faire : Trouver les solutions d’un système d’équations par substitution

Par exemple, si on nous donne les équations 𝑥+𝑦=2,2𝑥+𝑦=3, alors, on peut voir que 𝑥=1 et 𝑦=1 est une solution. En substituant ces valeurs dans chaque équation, on obtient 𝑥+𝑦=21+1=22=2,2𝑥+𝑦=32(1)+1=33=3.

Comme les deux égalités sont vraies, nous avons une solution à ce système qui est 𝑥=1 et 𝑦=1. Nous pouvons trouver cette solution à partir des équations de différentes manières, par élimination, par substitution et graphiquement pour n’en nommer que quelques-unes. Dans cette fiche explicative, nous nous intéresserons à la méthode par substitution.

Pour résoudre ce système d’équations à deux inconnues par substitution, nous devons exprimer l’une de nos variables en fonction de l’autre. Une façon de procéder consiste à réécrire la première équation comme suit:𝑥+𝑦=2𝑥+𝑦𝑦=2𝑦𝑥=2𝑦.

Ainsi, pour un couple de valeurs 𝑥 et 𝑦 solutions de ce système, nous devons avoir 𝑥=2𝑦. On peut alors substituer 𝑥 dans l’autre équation, ce qui donne 2𝑥+𝑦=32(2𝑦)+𝑦=3.

On peut ensuite résoudre cette équation d’inconnue 𝑦 comme suit:2(2𝑦)+𝑦=342𝑦+𝑦=34𝑦=34=3+𝑦1=𝑦.

Par conséquent, 𝑦=1. Nous devons également déterminer 𝑥;nous pouvons le faire en substituant 𝑦 dans l’une ou l’autre des équations. Cela nous donne 𝑥+𝑦=2𝑥+1=2𝑥=21𝑥=1.

Par conséquent, la solution à ce système d’équations à deux inconnues est 𝑥=1 et 𝑦=1. Nous pourrions alors vérifier notre solution en remplaçant ces valeurs dans le système d’équations. Nous pouvons vérifier cela graphiquement.

Les coordonnées du point d’intersection des courbes seront les solutions du système d’équations. On voit qu’il y a un seul point d’intersection en (1;1), confirmant que notre solution est correcte.

Le système d’équations à deux inconnues de l’exemple ci-dessus est appelé système d’équations du premier degré. En effet, chaque équation est linéaire (en fait, chaque équation est un polynôme du premier degré). Dans la suite de la fiche explicative, nous nous concentrerons sur la recherche des solutions des systèmes du second degré, que nous définirons ci-dessous.

Définition : Système d’équations linéaire et du second degré

Un système d’équations linéaire et du second degré à deux inconnues est un système d’équations à deux inconnues formé exactement d’une équation polynomiale du premier degré et d’une équation polynomiale du second degré.

Pour bien comprendre cela, nous devons comprendre ce que l’on entend par polynôme à deux variables et savoir également comment déterminer son degré.

Définition : Fonctions polynomiales à deux variables

Un polynôme à deux variables est une fonction dans laquelle chaque terme est un monôme. En particulier, les variables doivent avoir des exposants entiers non négatifs.

Le degré d’un polynôme est le degré le plus élevé de ces termes lorsqu’on l’écrit comme somme de monômes.

Par exemple, cela signifie que des équations comme 𝑦+𝑥=1,𝑥𝑦=12,𝑥=𝑦+3𝑦+1,𝑦=2𝑥+1, peuvent apparaître dans les systèmes d’équations du second degré, car ils sont tous polynomiaux de degré au plus 2. On peut déterminer le degré de chacun de ces polynômes comme suit:

  • 𝑦+𝑥=1 est un polynôme du second degré comme les termes 𝑥 et 𝑦 sont deux termes de d’exposants 2.
  • 𝑥𝑦=12 est aussi un polynôme du second degré;nous devons prendre la somme des exposants des variables. On voit que 𝑥𝑦=𝑥𝑦 et 1+1=2 , de sorte que ce polynôme est de degré 2.
  • 𝑥=𝑦+3𝑦+1 est un polynôme du second degré car il est de degré 2 en 𝑦.
  • 𝑦=2𝑥+1 est un polynôme du premier degré car chaque variable est de degré 1.

Il convient également de remarquer que l’on appelle polynômes de degré 2 à deux variables des expressions du second degré à deux variables. Par exemple, 𝑎𝑥+𝑏𝑥𝑦+𝑐𝑦+𝑑𝑥+𝑒𝑦+𝑓=0 est une équation du second degré à deux variables à coefficients réels 𝑎 , 𝑏 , 𝑐 , 𝑑 , 𝑒 , et 𝑓.

Nous allons maintenant discuter de la façon de résoudre un système d’équations à deux inconnues où l’une des équations données est linéaire.

Comment : Trouver les solutions d’un système d’équations linéaire et du second degré par substitution

Essayons de résoudre le système d’équations linéaire et du second degré à deux inconnues 𝑥+𝑦=4,𝑥+𝑦=10.

Étant donné que l’une des équations données est linéaire, on peut exprimer 𝑦 en fonction de 𝑥 on a:𝑥+𝑦=4𝑥+𝑦𝑥=4𝑥𝑦=4𝑥.

On peut alors substituer 𝑦 par son expression dans l’équation non linéaire et simplifier comme suit:𝑥+𝑦=10𝑥+(4𝑥)=10𝑥+164𝑥4𝑥+𝑥=102𝑥8𝑥+16=102𝑥8𝑥+6=0.

On ainsi peut factoriser par 2 2𝑥4𝑥+3=0𝑥4𝑥+3=0.

Ceci est alors une équation du second degré en 𝑥;une manière de résoudre cette équation consiste à factoriser le membre de gauche. Nous devons trouver deux nombres dont le produit est 3 et la somme est 4. On note que (3)×(1)=3 et (3)+(1)=4, de sorte que nous pouvons factoriser cette expression du second degré comme suit (𝑥3)(𝑥1)=0.

Pour qu’un produit soit égal à zéro, l’un des facteurs doit être égal à zero;par conséquent, nous avons 𝑥3=0𝑥1=0.ou

En résolvant la première équation, nous avons 𝑥=3;pour la deuxième équation, nous obtenons 𝑥=1. On peut trouver les valeurs de 𝑦 correspondantes en substituant ces résultats dans l’équation linéaire.

D’abord, nous substituons 𝑥=3 dans l’équation, ce qui donne 𝑥+𝑦=43+𝑦=4𝑦=1.

Ensuite, nous substituons 𝑥=1 dans l’équation, ce qui donne 𝑥+𝑦=41+𝑦=4𝑦=3.

Par conséquent, nous avons trouvé deux solutions différentes, soit 𝑥=3 et 𝑦=1 ou 𝑥=1 et 𝑦=3. Il convient de noter que ces solutions sont des couples solution. 𝑥=3 et 𝑦=1 est une solution au système d’équations. De même, 𝑥=1 et 𝑦=3 est une autre solution;on ne peut pas avoir 𝑥=1 et 𝑦=1 ensemble car ce n’est pas une solution du système.

Nous pouvons vérifier les deux solutions en les substituant dans le système d’équations à deux inconnues et en vérifiant que les égalités sont satisfaites.

Dans notre premier exemple, nous déterminerons toutes les solutions d’un couple d’équations où l’une est linéaire et l’autre ne l’est pas.

Exemple 1: Résoudre des systèmes d’équations linéaire et du second degré

Sachant que 𝑥+𝑥𝑦=18 et 𝑥+𝑦=6, déterminer la valeur de 𝑥.

Réponse

Nous devons déterminez la valeur de 𝑥 solution de cette équation. Nous pouvons le faire en déterminant les couples de valeurs de 𝑥 et 𝑦 solutions des deux équations. Nous ferons cela en utilisant la substitution. Commençons par exprimer l’une des variables en fonction de l’autre à l’aide de l’équation linéaire de variables 𝑥 et 𝑦. Cependant, avant de faire cela, nous pouvons regarder les équations non linéaires qui nous sont données:𝑥+𝑥𝑦=18. Dans cette équation, l’exposant le plus grand de 𝑦 est un, mais le plus grand exposant de 𝑥 vaut 2;cela signifie qu’il sera plus facile d’exprimer 𝑦 car il ne sera pas nécessaire d’élever au carré..

On commence par exprimer 𝑦:𝑥+𝑦=6𝑦=6𝑥.

Nous substituons ensuite cette expression dans l’équation non linéaire et on simplifie comme suit:𝑥+𝑥𝑦=18𝑥+𝑥(6𝑥)=18𝑥+6𝑥𝑥=186𝑥=18.

On peut alors calculer 𝑥 en divisant par 6. Cela nous donne 𝑥=186=3.

Ainsi, si 𝑥+𝑥𝑦=18 et 𝑥+𝑦=6 , alors 𝑥=3.

Dans les deux exemples suivants, nous allons résoudre un système d’équations à deux inconnues pour déterminer les coordonnées des points d’intersection de deux courbes.

Exemple 2: Résoudre des systèmes d’équations linéaires et du second degré pour déterminer l’ensemble des points d’intersection de deux courbes données

Déterminez l’ensemble des points d’intersection des courbes d’équations 𝑥+7=8 et 𝑥+𝑦=65.

Réponse

On rappelle que les courbes se coupent lorsque leurs abscisses 𝑥 et leurs ordonnées 𝑦 sont égales;par conséquent, nous devons trouver les valeurs de 𝑥 et 𝑦 solutions des deux équations.

Il existe différentes méthodes pour résoudre ces équations;comme on nous donne une équation linéaire et une équation non linéaire, nous procéderons par substitution. Pour utiliser la substitution, nous exprimons l’une des variables en fonction de l’autre à l’aide de l’équation linéaire. Nous avons 𝑥+7=8𝑥=87𝑥=1.

On peut alors substituer cette valeur à 𝑥 dans l’équation non linéaire et simplifier pour obtenir 𝑥+𝑦=651+𝑦=65𝑦=64.

Nous prenons ensuite la racine carrée de chaque membre de l’équation, où l’on remarque que l’on obtient une solution positive et négative:𝑦=±8.

Ainsi, l’ensemble des points d’intersection des courbes d’équations 𝑥+7=8 et 𝑥+𝑦=65 est {(1;8),(1;8)}.

Exemple 3: Résoudre des systèmes d’équations linéaire et du second degré pour déterminer l’ensemble des points d’intersection de deux courbes

Déterminez l’ensemble des points d’intersection des courbes d’équations 𝑥+5𝑦=0 et 𝑦=𝑥.

Réponse

Pour qu’un point appartienne à deux courbes, ses coordonnées doivent être solution des deux équations. Par conséquent, pour déterminer l’ensemble des points d’intersection des courbes d’équations données, nous devons résoudre le système d’équations à deux inconnues 𝑥+5𝑦=0,𝑦=𝑥.

Comme l’une des équations données est linéaire, nous essaierons de résoudre ces équations par substitution. On commence par exprimer 𝑥 comme suit:𝑥+5𝑦=0𝑥=5𝑦.

On substitue ensuite 𝑥 dans l’autre équation et on simplifie comme suit:𝑦=𝑥𝑦=(5𝑦)𝑦=5𝑦.

On peut alors résoudre cette équation en factorisant comme suit:𝑦5𝑦=0𝑦(𝑦5)=0.

Pour qu’un produit soit égal à zéro, l’un des facteurs doit être égal à zéro;par conséquent, nous avons 𝑦=0𝑦=5.ou

Pour trouver les abscisses 𝑥 des points d’intersection, on peut substituer l’ordonnée 𝑦 dans l’équation de l’une ou de l’autre courbe. Comme 𝑥+5𝑦=0 est une équation linéaire, il sera plus facile d’utiliser cette équation.

D’abord, nous substituons 𝑦=0 dans l’équation, ce qui nous donne 𝑥+5(0)=0𝑥=0.

Ensuite, nous substituons 𝑦=5 dans l’équation, ce qui nous donne 𝑥+5(5)=0𝑥+25=0𝑥=25.

Cela nous donne deux points d’intersection:(0;0) et (25;5).

Enfin, nous pouvons vérifier que ces solutions sont correctes en les substituant dans les équations. Par exemple, nous avons 𝑥=25 et 𝑦=5, que nous substituons respectivement dans les équations suivantes:𝑦=𝑥5=(25)25=25;𝑥+5𝑦=025+5(5)=0.

Étant donné que les deux égalités sont vraies pour ces valeurs de 𝑥 et 𝑦, nous avons vérifié que c’est une solution commune aux deux équations. Nous pourrions également vérifier la solution 𝑥=0 et 𝑦=0 de la même manière.

Comme la question demande l’ensemble des points d’intersection, nous les écrivons dans un ensemble comme suit {(0;0),(25;5)}.

Dans nos deux exemples suivants, nous allons résoudre un système d’équations à deux inconnues qui ont plusieurs solutions, où l’une des équations est linéaire et l’autre est non linéaire.

Exemple 4: Résoudre des systèmes d’équations non linéaires

Résolvez le système d’équations à deux inconnues 𝑦=𝑥4,𝑥5+𝑦3=4, en donnant les réponses au centième près.

Réponse

Nous pouvons essayer de résoudre un système d’équations à deux inconnues en utilisant la substitution. L’équation linéaire donne déjà une expression de 𝑦, nous allons donc substituer cette expression dans l’équation non linéaire, ce qui nous donne 𝑥5+𝑦3=4𝑥5+(𝑥4)3=4.

Pour résoudre cette équation d’inconnue 𝑥, nous devons développer et simplifier. On peut commencer par développer le carré (𝑥4)3=𝑥8𝑥+163.

On peut alors l’utiliser pour simplifier l’équation comme suit:𝑥5+𝑥8𝑥+163=4𝑥5×33+𝑥8𝑥+163×55=43𝑥15+5𝑥40𝑥+8015=43𝑥+5𝑥40𝑥+8015=48𝑥40𝑥+80=608𝑥40𝑥+20=0.

On peut ensuite diviser par 4 pour obtenir 2𝑥10𝑥+5=0.

Nous pouvons résoudre ce problème en utilisant la formule du discriminant qui dit que les solutions d’une équation du second degré de la forme 𝑎𝑥+𝑏𝑥+𝑐=0 sont 𝑥=𝑏±𝑏4𝑎𝑐2𝑎, à condition que le discriminant soit positif et 𝑎0.

Nous avons 𝑎=2, 𝑏=10 et 𝑐=5. En substituant par ces valeurs cela nous donne 𝑥=(10)±(10)4(2)(5)2(2)=10±100404=10±2154=5±152.

En calculant les deux racines au centième près, nous avons 𝑥0,56 et 𝑥4,44.

On peut trouver les valeurs de 𝑦 en rappelant que 𝑦=𝑥4. Par conséquent, 𝑦=5±1524=3±152.

En calculant 𝑦 au centième près, on a 𝑥0,56 et 𝑦3,44 et 𝑥4,44 et 𝑦0,44.

Exemple 5: Résoudre un système d’équations linéaire et du second degré

Déterminez toutes les solutions du système d’équations à deux inconnues 𝑦+9𝑥+7=0 et 𝑥+𝑦7𝑥𝑦=4. Donnez les valeurs au centième près.

Réponse

Il existe différentes méthodes pour résoudre des systèmes d’équations;comme on nous donne une équation linéaire et une équation non linéaire, nous utiliserons la substitution. Pour utiliser la substitution, nous devons trouver une expression pour l’une des variables à partir de l’équation linéaire. Nous avons 𝑦+9𝑥+7=0𝑦=9𝑥7.

On peut alors substituer 𝑦 par son expression dans l’équation non linéaire comme suit:𝑥+𝑦7𝑥𝑦=4𝑥+(9𝑥7)7𝑥(9𝑥7)=4.

Nous devons ensuite résoudre cette équation d’inconnue 𝑥;nous pouvons le faire en développant d’abord les termes entre parenthèses. Nous développons chacun séparément.

Premièrement, nous avons (9𝑥7)=81𝑥+126𝑥+49.

Deuxièmement, nous avons 7𝑥(9𝑥7)=63𝑥+49𝑥.

La substitution de ces expressions dans l’équation et sa simplification nous donne 𝑥+(9𝑥7)7𝑥(9𝑥7)=4𝑥+81𝑥+126𝑥+49+63𝑥+49𝑥=4145𝑥+175𝑥+45=0.

On peut simplifier en divisant par 5. Cela nous donne 29𝑥+35𝑥+9=0.

Ceci est alors une équation du second degré en 𝑥. Nous pouvons résoudre ce problème en appliquant la formule du discriminant qui dit que les solutions de l’équation du second degré de la forme 𝑎𝑥+𝑏𝑥+𝑐=0 sont 𝑥=𝑏±𝑏4𝑎𝑐2𝑎, à condition que le discriminant soit positif et 𝑎0. Dans cette équation du second degré 𝑎=29, 𝑏=35 et 𝑐=9. En substituant par ces valeurs, nous avons 𝑥=35±354(29)(9)2(29)=35±18158.

En calculant les deux racines au centième près, nous avons 𝑥0,84 et 𝑥0,37. Cependant, nous devrons utiliser les valeurs exactes pour déterminer les valeurs de 𝑦. Nous le faisons en substituant les valeurs de 𝑥 dans l’équation 𝑦=9𝑥7.

Cela nous donne 𝑦=935+181587𝑦=935181587.

On peut les calculer au centième près pour obtenir 𝑥0,37 et 𝑦3,66 et 𝑥0,84 et 𝑦0,52. Nous pouvons écrire les couples solutions, ce qui nous donne {(0,37;3,66),(0,84;0,52)}.

Dans notre dernier exemple, nous verrons comment un problème du monde réel peut nécessiter la résolution d’un système d’équations à deux inconnues linéaire et du second degré.

Exemple 6: Résoudre des systèmes d’équations linéaires et du second degré

Un père a 10 ans de plus que le double de l’âge de son fils. La somme des carrés de leurs âges est la somme de 4 et du triple du produit de leurs âges. Quels sont leurs âges?

Réponse

Commençons par écrire des équations à partir des informations données. Appelons l’âge du père 𝑦 et l’âge du fils 𝑥. Étant donné que le père a dix ans de plus que le double de l’âge du fils, nous devons avoir 𝑦=2𝑥+10.

Ensuite, comme la somme des carrés de leurs âges est la somme de 4 et du triple du produit de leurs âges, nous devons aussi avoir 𝑥+𝑦=3𝑥𝑦+4.

Il s’agit d’un système d’équations à deux inconnues où l’une des équations est linéaire et l’autre est non linéaire. Nous pouvons résoudre ce problème en utilisant la substitution. On commence par substituer 𝑦 par son expression dans l’équation non linéaire, ce qui nous donne 𝑥+(2𝑥+10)=3𝑥(2𝑥+10)+4.

Ceci est maintenant une équation d’inconnue 𝑥. Nous pouvons résoudre ce problème en développant d’abord les termes entre parenthèses puis en simplifiant comme suit:𝑥+(2𝑥+10)=3𝑥(2𝑥+10)+4𝑥+4𝑥+40𝑥+100=6𝑥+30𝑥+4𝑥10𝑥96=0.

Puis on factorise. On note que (16)×6=96 et 16+6=10, de sorte que nous pouvons factoriser l’expression du second degré pour obtenir l’équation (𝑥16)(𝑥+6)=0.

Un produit de facteurs est nul si et seulement si l’un de ses facteurs est nul, ainsi on a les solutions:𝑥=6 et 𝑥=16. Cependant, 𝑥 est l’âge du fils en ans, alors 𝑥 ne peut être négatif. Par conséquent, il n’y a qu’une seule solution lorsque 𝑥=16.

On peut déterminer l’âge du père en remplaçant 𝑥=16 dans l’équation 𝑦=2𝑥+10, ce qui nous donne 𝑦=2(16)+10=42.

Par conséquent, le père a 42 ans et le fils a 16 ans. Nous pouvons noter que ces âges semblent raisonnables par rapport aux âges d’un père et d’un fils et nous pouvons vérifier davantage en remplaçant 𝑥=16 et 𝑦=42 dans le système d’équation. Cela nous donne 𝑦=2𝑥+1042=2(16)+1042=42,𝑥+𝑦=3𝑥𝑦+416+42=3(16)(42)+42020=2020.

Comme les deux égalités sont satisfaites, nous pouvons conclure que ce sont les solutions des équations du système considéré. Par conséquent, l’âge du père est 42 ans, l’âge du fils est 16 ans.

Terminons en récapitulant certains points importants de cette fiche explicative.

Points Clés

  • Un système d’équations linéaire et du second degré est un système d’équations formé d’une équation linéaire et d’une équation du second degré.
  • Un système d’équations linéaire et du second degré a soit deux solutions, une solution ou zéro solutions.
  • Nous pouvons trouver les solutions de ces systèmes d’équations en utilisant l’équation linéaire pour exprimer une variable en fonction de l’autre, puis en la substituant par son expression dans l’équation non linéaire.
  • Nous pouvons utiliser cette méthode pour déterminer les coordonnées des points d’intersection de certaines courbes d’équations données.

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