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Vidéo de la leçon : Systèmes constitués d’une équation du premier degré et d’une équation du second degré Mathématiques

Dans cette vidéo, nous allons apprendre à résoudre des systèmes constitués d’une équation du premier degré et d’une équation du second degré.

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Transcription de vidéo

Dans cette vidéo, nous allons apprendre à résoudre des systèmes constitués d’une équation du premier degré et d’une équation du second degré. Commençons par expliquer ce qu’est un système constitué d’une équation du second degré et d’une équation du second degré. Ce n’est pas aussi compliqué que ça en a l’air. C’est un système de deux équations dans lesquelles l’une est une équation du premier degré et l’autre est une équation du second degré.

Rappelons qu’une équation du premier degré est une équation dans laquelle la puissance la plus élevée de chaque variable est un, et aucune des variables n’est multipliée par une autre. Par exemple, l’équation 𝑦 égale deux 𝑥 est une équation du premier degré. Et sa représentation graphique serait une droite. Une équation du second degré est cependant une équation dans laquelle il y a au moins un terme au carré. Par exemple, l’équation 𝑥 au carré plus 𝑦 au carré égale cinq est une équation du second degré. Nous pouvons également voir des équations qui incluent des termes où les deux variables sont multipliées l’une par l’autre, par exemple, l’équation 𝑥 plus deux 𝑥𝑦 est égal à trois.

Si on devait représenter graphiquement une équation du second degré, cela donnerait une sorte de courbe. Dans le cas de 𝑥 au carré plus 𝑦 au carré égale cinq, cela donne un cercle. D’un point de vue graphique, résoudre un système d’équations constitué d’une équation du premier degré et du second degré est équivalent à déterminer les coordonnées des points d’intersection entre les deux représentations graphiques.

Maintenant, nous allons principalement utiliser la méthode de résolution des équations simultanées par substitution. Donc, vous devez vous assurer de connaitre et être à l’aise avec cette méthode. Vous devez également être à l’aise avec la résolution des équations du second degré à une variable par factorisation. Nous allons voir quelques applications de ces techniques à des problèmes à énoncés et à des problèmes impliquant des points d’intersection de droites et de courbes. Voyons donc notre premier exemple.

Résolvez les équations simultanées 𝑦 égale 𝑥 moins deux, 𝑥 moins deux au carré plus 𝑦 moins trois au carré égale neuf.

La première chose à noter est qu’il s’agit d’un système d’équations constitué d’une équation du premier degré et une équation du second degré. La première équation 𝑦 égale 𝑥 moins deux est une équation du premier degré, car l’exposant le plus élevé de 𝑥 et 𝑦 est un. Et la seconde équation 𝑥 moins deux au carré plus 𝑦 moins trois au carré égale neuf est une équation du second degré car une fois que nous aurons développé les parenthèses, nous aurons des termes 𝑥 au carré et 𝑦 au carré.

Nous allons utiliser la méthode de substitution pour résoudre ce problème. Maintenant, notre première équation est 𝑦 égale 𝑥 moins deux. Et nous remarquons que l’expression 𝑥 moins deux apparaît dans la seconde équation. Donc, nous pouvons donc remplacer 𝑥 moins deux par 𝑦 dans notre seconde équation. Cela donne 𝑦 au carré plus 𝑦 moins trois au carré égale neuf. Et donc nous avons une équation à une variable, 𝑦. C’est une équation du second degré que nous pouvons résoudre.

On commence par développer les parenthèses de 𝑦 moins trois au carré. Et nous savons que 𝑦 moins trois le tout au carré est égal à 𝑦 moins trois fois 𝑦 moins trois. Ainsi, lorsqu’on développe les parenthèses, on a quatre termes. Et lorsqu’on simplifie ces quatre termes on a 𝑦 au carré moins six 𝑦 plus neuf. Si on rassemble les termes similaires sur le côté gauche, on obtient l’équation du second degré 𝑦 au carré moins six 𝑦 plus neuf égale neuf.

Maintenant, on remarque que puisqu’il y a plus neuf de chaque côté, ces deux termes s’élimineront directement, ce qui est équivalent à soustraire neuf de chaque côté de l’équation. Cela nous donne l’équation simplifiée deux 𝑦 au carré moins six 𝑦 égale zéro, que nous pouvons résoudre en factorisant. Le plus grand commun diviseur de deux 𝑦 au carré et de moins six 𝑦 est deux 𝑦. Pour avoir deux 𝑦 au carré, il faut multiplier deux 𝑦 par 𝑦. Et pour avoir moins six 𝑦, il faut multiplier deux 𝑦 par moins trois. Donc, notre expression du second degré dans sa forme factorisée est deux 𝑦 fois 𝑦 moins trois est égal à zéro.

Pour résoudre, on prend chaque facteur à tour de rôle, on le fixe à zéro, puis on résout l’équation du premier degré qui en résulte. La première équation est deux 𝑦 égale zéro, ce qu’on peut résoudre en divisant chaque côté par deux et obtenir 𝑦 est égal à zéro. La seconde équation est 𝑦 moins trois égale zéro. On résout en ajoutant trois de chaque côté ce qui donne 𝑦 égale trois. Notre solution à ces équations simultanées comprend deux valeurs de 𝑦, 𝑦 est égal à zéro et 𝑦 est égal à trois.

Nous devons maintenant trouver les valeurs de 𝑥 correspondantes. Et pour ce faire, nous devons substituer chaque valeur de 𝑦 dans l’équation du premier degré. Nous devons substituer dans l’équation du premier degré car sur la courbe de l’équation du second degré, il peut y avoir plus d’un point où 𝑦 est égal à zéro ou 𝑦 est égal à trois. Mais sur la représentation graphique de l’équation du premier degré, la droite, il n’y aura qu’un point où 𝑦 égale zéro et un point où 𝑦 égale trois. Nous devons donc substituer dans l’équation du premier degré.

Lorsque 𝑦 est égal à zéro, on a zéro est égal à 𝑥 moins deux. Et si on ajoute deux de chaque côté, on constate que 𝑥 est égal à deux. Lorsque 𝑦 est égal à trois, on a trois est égal à 𝑥 moins deux. Et lorsqu’on ajoute deux de chaque côté, on obtient 𝑥 est égal à cinq. La solution à cette paire d’équations simultanées est donc deux couples de valeurs de 𝑥 et 𝑦. 𝑥 est égal à deux et 𝑦 est égal à zéro et 𝑥 est égal à cinq et 𝑦 est égal à trois.

Il est important de comprendre que ces solutions viennent en couples. Et nous ne pouvons pas mélanger les valeurs 𝑥 et 𝑦. Par exemple, 𝑥 est égal à deux et 𝑦 est égal à trois n’est pas une solution valable pour ce système d’équations simultanées, qu’on peut vérifier en substituant les valeurs dans l’équation du premier degré ou dans l’équation du second degré.

Rappelons que nous avons utilisé la méthode de substitution pour répondre à cette question en remplaçant 𝑥 moins deux par 𝑦. Il aurait également été possible de remplacer 𝑦 dans le deuxième ensemble de parenthèses par 𝑥 moins deux pour obtenir une équation en 𝑥 seulement. Dans ce cas, nous aurions d’abord trouvé nos solutions pour 𝑥, puis nous les aurions substituées dans l’équation du premier degré pour trouver nos solutions pour 𝑦. Notre réponse finale est 𝑥 égale deux et 𝑦 égale zéro ou 𝑥 égale cinq et 𝑦 égale trois.

Dans l’exemple suivant, nous allons voir comment utiliser ces méthodes dans un problème formulé.

La somme de deux nombres est 11 et la somme de leurs carrés est 65. Quels sont ces nombres ?

Maintenant, il est important de noter que nous ne devons pas résoudre ce problème de manière exhaustive. Nous devons utiliser une approche formelle. Nous allons utiliser l’algèbre pour résoudre ce problème. Nous allons donc représenter les deux nombres par les lettres 𝑥 et 𝑦. Nous allons maintenant exprimer les informations de la question sous la forme d’équations en 𝑥 et 𝑦. Tout d’abord, la somme des deux nombres est 11. Donc, cela nous donne l’équation 𝑥 plus 𝑦 est égal à 11.

Ensuite, on nous dit que la somme de leurs carrés est de 65. Donc, cela nous donne l’équation 𝑥 au carré plus 𝑦 au carré est égal à 65. Nous avons maintenant un système d’équations constitué d’une équation du premier degré et une équation du second degré. La première équation est du premier degré et la seconde est du second degré. Nous allons utiliser la méthode de substitution pour résoudre ces deux équations simultanément. On commence par réarranger l’équation du premier degré pour exprimer une variable en fonction de l’autre. Et dans ce problème, on peut choisir n’importe laquelle des variables, car le niveau de difficulté ou de facilité du problème ne change pas, peu importe la variable choisie. J’ai choisi de réécrire l’équation 1 comme 𝑦 égale 11 moins 𝑥.

On prend ensuite cette expression de 𝑦 en fonction de 𝑥 et on la substitue dans la seconde équation, c’est-à-dire dans l’équation du second degré. Ce qui donne 𝑥 au carré plus 11 moins 𝑥 le tout au carré est égal à 65. Et maintenant, nous avons une équation du second degré à une seule variable, 𝑥. Nous pouvons développer les parenthèses, sachant que 11 moins 𝑥 le tout au carré est égal à 11 moins 𝑥 multiplié par 11 moins 𝑥, ce qui est égal à 121 moins 22𝑥 plus 𝑥 au carré. Nous pouvons rassembler les termes similaires sur le côté gauche – c’est-à-dire 𝑥 au carré plus 𝑥 au carré – ce qui fait deux 𝑥 au carré. Et en même temps, on soustrait 65 de chaque côté pour obtenir l’équation du second degré deux 𝑥 au carré moins 22𝑥 plus 56 est égal à zéro.

Maintenant, nous remarquons à ce stade que tous les coefficients de notre équation sont des nombres pairs. Nous pouvons donc simplifier en divisant l’équation par deux. Cela donne l’équation du second degré simplifiée 𝑥 au carré moins 11𝑥 plus 28 est égal à zéro. Maintenant, nous voulons résoudre cette équation et déterminer 𝑥. Nous voulons d’abord voir si on peut factoriser cette équation. Puisque le coefficient de 𝑥 au carré dans notre équation est un, le premier terme dans chaque ensemble de parenthèses sera 𝑥 car 𝑥 multiplié par 𝑥 est égal à 𝑥 au carré. Et pour trouver les autres termes dans les parenthèses, on cherche deux nombres dont la somme est le coefficient de 𝑥 - soit moins 11 - et le produit est le terme constant - soit 28.

En considérant les diviseurs de 28, on voit que si on choisit les deux nombres moins sept et moins quatre, alors leur produit est en effet 28 car moins fois moins donne plus. Et leur somme est en effet moins 11. Donc, voici les deux chiffres que nous allons ajouter dans nos parenthèses. Nous avons alors notre expression du second degré sous sa forme factorisée. 𝑥 moins sept multiplié par 𝑥 moins quatre est égal à zéro.

Pour résoudre, on considère chaque facteur à tour de rôle, on le fixe à zéro et on résout l’équation résultante. On a 𝑥 moins sept égal à zéro, qu’on peut résoudre en ajoutant sept de chaque côté et obtenir 𝑥 égal à sept, puis 𝑥 moins quatre égal à zéro, qu’on résout en ajoutant quatre de chaque côté, ce qui donne 𝑥 égal à quatre. Nous avons alors trouvé la solution de 𝑥. Il y a deux valeurs possibles. 𝑥 est égal à quatre ou 𝑥 est égal à sept.

Il faut maintenant déterminer les valeurs correspondantes de 𝑦, ce qu’on peut faire en substituant tour à tour chaque valeur de 𝑥 dans l’équation du premier degré qui, rappelez-vous, était 𝑦 égale 11 moins 𝑥. Lorsque 𝑥 est égal à sept, on constate que 𝑦 est égal à 11 moins sept, soit quatre. Et lorsque 𝑥 est égal à quatre, on constate que 𝑦 est égal à 11 moins quatre, soit sept. Nous avons donc exactement les mêmes valeurs pour 𝑦, que nous avions pour 𝑥.

La raison est qu’au début du problème, on a représenté les deux nombres par 𝑥 et 𝑦. Nous n’avons pas précisé lequel de 𝑥 ou 𝑦 était le plus grand nombre. Nous avons donc trouvé la même solution deux fois. Les deux nombres sont sept et quatre. Et n’importe lequel peut être 𝑥 et l’autre sera 𝑦. Nous pouvons bien sûr vérifier notre réponse, d’abord, en confirmant que la somme de nos deux nombres est de 11, ce qui bien sûr est le cas, et, ensuite, en confirmant que la somme de leurs carrés - sept au carré plus quatre au carré, qui est 49 plus 16 - est en effet égal à 65.

Donc, en formulant d’abord les informations de la question comme un système d’équations constitué d’une équation du premier degré et d’une équation du second degré puis en résolvant ces équations simultanées en utilisant la méthode de substitution, nous avons déterminé que les deux nombres que nous recherchons sont sept et quatre.

Maintenant, une application vraiment utile de ces techniques est lorsqu’on cherche les points d’intersection d’une droite et d’une courbe, comme mentionné au début de la vidéo. Considérons maintenant un exemple de ce type.

Trouvez l’ensemble des points d’intersection des représentations graphiques de 𝑥 moins 𝑦 égale zéro et six 𝑥 au carré moins 𝑦 au carré égale 45.

On nous a demandé de trouver les points d’intersection de 𝑥 moins 𝑦 est égal à zéro, qui est une droite, et six 𝑥 au carré moins 𝑦 au carré égale 45, qui est une courbe. Cela est équivalent à résoudre un système d’équations constitué d’une équation du premier degré et d’une équation du second degré 𝑥 moins 𝑦 égale zéro, six 𝑥 au carré moins 𝑦 au carré égale 45. Nous allons le faire en utilisant la méthode de substitution. On commence par réarranger l’équation du premier degré pour exprimer une variable en fonction de l’autre. On obtient 𝑥 est égal à 𝑦.

Nous allons maintenant substituer notre expression de 𝑥 dans la seconde équation. Cela donne six 𝑦 au carré moins 𝑦 au carré égale 45. Nous aurions également pu substituer 𝑦 égal 𝑥 dans notre seconde équation, ce qui donnerait six 𝑥 au carré moins 𝑥 au carré égale 45. Les deux approches nous mènent à la même solution. Nous pouvons maintenant résoudre cette équation du second degré et déterminer 𝑦.

Si on simplifie le côté gauche, six 𝑦 au carré moins 𝑦 au carré devient cinq 𝑦 au carré. Nous pouvons ensuite diviser par cinq, ce qui donne 𝑦 au carré égale neuf et résoudre en évaluant la racine carrée. Tout en sachant qu’on considère plus ou moins la racine carrée. Nous avons donc que 𝑦 est égal à plus ou moins la racine carrée de neuf, qui est plus ou moins trois.

Après avoir déterminé les valeurs de 𝑦, nous devons maintenant trouver les valeurs correspondantes de 𝑥 en les substituant dans l’équation du premier degré. Et c’est très simple. Puisqu’on peut exprimer l’équation du premier degré comme 𝑥 égale 𝑦, chaque valeur de 𝑥 est identique à la valeur correspondante de 𝑦. On voit qu’il y a deux points d’intersection entre ces représentations graphiques, le point trois, trois et le point moins trois, moins trois, qu’on peut exprimer comme l’ensemble qui contient ces deux coordonnées.

Maintenant, on pourrait ne pas immédiatement reconnaitre à quoi ressemble la représentation graphique de six 𝑥 au carré moins 𝑦 au carré égale 45. Mais si vous avez une calculatrice graphique ou un logiciel de traçage graphique, vous pouvez tracer ces deux représentations graphiques. 𝑥 moins 𝑦 égale zéro est une droite et six 𝑥 au carré moins 𝑦 au carré égale 45 est ce qu’on appelle une hyperbole. Et en considérant ces deux représentations graphiques, on peut confirmer que les deux points d’intersection sont bien les points que nous avons donnés ici.

Dans notre dernier exemple, nous allons voir un problème dans lequel les deux variables sont multipliées l’une par l’autre dans l’une des deux équations.

Si 𝑥 au carré plus 𝑥𝑦 est égal à 18 et 𝑥 plus 𝑦 est égal à six, déterminez la valeur de 𝑥.

Ce que nous avons ici est un système d’équations constitué d’une équation du premier degré et d’une équation du second degré. La première équation 𝑥 plus 𝑦 égale six est du premier degré Et la seconde équation 𝑥 au carré plus 𝑥𝑦 égale 18 est du second degré car elle comprend un terme 𝑥 au carré et aussi le terme 𝑥𝑦, où les deux variables sont multipliées l’une par l’autre. On ne nous demande pas de résoudre complètement ce système d’équations, mais simplement de déterminer la valeur de 𝑥. Nous allons donc le faire en utilisant la méthode de substitution.

On commence par réécrire la première équation pour obtenir 𝑦 est égal à six moins 𝑥 car cela donne une expression pour 𝑦 en fonction de 𝑥, qu’on peut substituer dans la seconde équation pour avoir une équation en 𝑥 uniquement. Cela donne l’équation 𝑥 au carré plus 𝑥 multiplié par six moins 𝑥 égale 18. Et nous avons maintenant une équation du second degré en 𝑥, que nous pouvons résoudre.

On développe les parenthèses sur le côté gauche, ce qui donne 𝑥 au carré plus six 𝑥 moins 𝑥 au carré est égal à 18. Et nous voyons maintenant que les termes 𝑥 au carré et moins 𝑥 au carré s’éliminent. Donc, en fait, notre équation devient une équation du premier degré. On a six 𝑥 est égal à 18. Et on peut résoudre cette équation en divisant chaque côté par six, ce qui donne 𝑥 est égal à trois. Ainsi, en substituant 𝑦 égale six moins 𝑥 dans la seconde équation, nous avons créé une équation en 𝑥 uniquement, que nous avons ensuite résolue pour déterminer la valeur de 𝑥.

Bien sûr, on ne nous demande pas de déterminer la valeur de 𝑦 dans ce problème. Mais si nous voulions le faire, nous pourrions remplacer la valeur de 𝑥 que nous venons de trouver dans notre équation du premier degré, 𝑦 égale six moins 𝑥, pour déterminer la valeur correspondante de 𝑦. La solution au problème est : la valeur de 𝑥 est trois.

Résumons maintenant ce que nous avons vu dans cette vidéo. Premièrement, un système d’équations du premier degré et du second degré est simplement un système de deux équations dans lequel une équation est du premier degré et l’autre est du second degré. On résout de tels systèmes d’équations en utilisant la méthode de substitution. On réécrit l’équation du premier degré pour exprimer une variable en fonction de l’autre, puis on substitue l’expression de cette variable dans l’équation du second degré. On résout ensuite l’équation du second degré qui en résulte, généralement en factorisant. On substitue ensuite la ou les valeurs obtenues pour la première variable dans l’équation du premier degré pour déterminer les valeurs correspondantes de la seconde variable.

Nous devons retenir que nos solutions sont des couples. On doit donc donner la solution comme des couples correspondants des deux variables. On ne peut pas mélanger les différentes valeurs. Nous avons également vu dans cette vidéo qu’on peut appliquer cette méthode à des problèmes numériques. Et une application particulièrement utile consiste à déterminer les coordonnées des points d’intersection entre une droite et une courbe.

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