Transcription de la vidéo
Simplifiez sinus 𝜃 cosinus 𝜃 sur tangente 𝜃 plus tangente 𝜃 sur sécante 𝜃 cosécante 𝜃.
Pour commencer, il faut réécrire cette expression en utilisant uniquement sinus 𝜃 et cosinus 𝜃. Nous utilisons le fait que tangente 𝜃 veut sinus 𝜃 sur cosinus 𝜃, que sécante 𝜃 vaut un sur cosinus 𝜃 et que cosécante 𝜃 vaut un sur sinus 𝜃. En appliquant ces identités, nous obtenons l'expression écrite uniquement en fonction de sinus 𝜃 et cosinus 𝜃.
Il faut ensuite simplifier. Nous avons des fractions dans nos fractions et nous aimerions bien ne pas en avoir. Nous multiplions le numérateur et le dénominateur de la première fraction par cosinus 𝜃. Les cosinus 𝜃 du dénominateur se simplifient, il ne reste donc que le sinus 𝜃 au dénominateur ; il n'y a plus de fraction.
Dans la deuxième fraction, nous multiplions le numérateur et le dénominateur par cosinus 𝜃 fois sinus 𝜃. Bien évidemment, cela ne change pas la valeur de la fraction, cela permet surtout de simplifier celle-ci. Au dénominateur, nous simplifions par cosinus 𝜃, ainsi que par sinus 𝜃 et nous nous retrouvons avec un dénominateur de un fois un, ce qui donne un. Au numérateur, nous simplifions aussi par cosinus 𝜃.
Nous pouvons maintenant arranger tout ça. Pour la première fraction, le dénominateur n'est plus que sinus 𝜃 après les simplifications et nous pouvons aussi réduire le numérateur, en multipliant le cosinus 𝜃 par cosinus 𝜃 pour obtenir cosinus au carré 𝜃. Enfin, pour la deuxième fraction, après simplification, nous obtenons juste sinus 𝜃 fois sinus 𝜃 et les simplifications du dénominateur nous donnent juste un.
Nous remarquons que, pour la première fraction, nous pouvons simplifier par sinus 𝜃, ce qui donne cosinus au carré 𝜃. Si nous faisons de même pour la deuxième fraction, le produit de sinus 𝜃 et sinus 𝜃 sur un est simplement sinus 𝜃 fois sinus 𝜃 ou sinus au carré 𝜃. Après avoir simplifié, nous pouvons reconnaître cette expression : cosinus au carré 𝜃 plus sinus au carré 𝜃 ou, en permutant les termes, sinus au carré 𝜃 plus cosinus au carré 𝜃 égale un.
Il s'agit d'une identité connue, qui mérite d'être rappelée. Notre réponse finale est donc un. Sinus 𝜃 fois cosinus 𝜃 sur tangente 𝜃 plus tangente 𝜃 sur sécante 𝜃 fois cosécante 𝜃 est égale à un pour toutes les valeurs de 𝜃. Nous avons utilisé ces techniques standards de simplification d'une expression trigonométrique comme celle-ci. Nous avons tout réécrit en fonction de sinus 𝜃 et cosinus 𝜃.
Même si nous n'en avons pas besoin dans cette question, il convient de préciser, à titre d'information, que cotangente 𝜃 égale cosinus 𝜃 sur sinus 𝜃. Après avoir écrit cette expression en fonction de sinus 𝜃 et cosinus 𝜃 uniquement, nous avons constaté que nous pouvons simplifier par de nombreux facteurs. Après avoir simplifié le plus possible, nous avons appliqué la formule d'identité : la somme du carré de sinus 𝜃 et du carré de cosinus 𝜃 est égale à un.
