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Indiquez si c’est vrai ou faux : une suite géométrique est décroissante si sa raison 𝑞 appartient à l’intervalle ouvert moins un, zéro.
Rappelons qu’une suite géométrique s’obtient en multipliant chaque terme par une raison non nulle : le 𝑛-ième terme est 𝑎 fois 𝑞 puissance 𝑛 moins un, où 𝑎 est le premier terme et 𝑞 est la raison. On dit que la suite est décroissante si pour tout 𝑛, 𝑎 𝑛 plus un est inférieur à 𝑎 𝑛. Autrement dit, chaque terme de la suite doit être plus petit que le terme précédent.
Alors, prenons une suite géométrique de premier terme 𝑎 et de raison comprise entre moins un et zéro. Si le premier terme est 𝑎, le deuxième terme est 𝑎𝑞 puissance deux moins un, soit simplement 𝑎𝑞. Alors, si 𝑎 est un nombre positif, et qu’on le multiplie par la raison qui est comprise entre moins un et zéro, c’est-à-dire un petit nombre négatif, on obtient que 𝑎𝑞 est négatif. Ainsi, si le premier terme est positif, le deuxième terme est négatif, ce qui implique que 𝑎 deux est inférieur à 𝑎 un.
Mais que se passe-t-il si 𝑎 est un nombre négatif, si le premier terme de la suite est négatif ? Eh bien, dans ce cas, on multiplie un nombre négatif par un deuxième nombre négatif, donc 𝑎𝑞 est positif. Dans ce cas, 𝑎 deux est supérieur à 𝑎 un, et la suite n’est donc pas décroissante. Et maintenant, voyons ce qui arrive au troisième terme de la suite, même si le premier terme est positif. Si le premier terme est positif, 𝑎𝑞 au carré est le produit d’un nombre positif par le carré d’un nombre négatif. Donc, c’est positif. Cela implique que le troisième terme est supérieur au deuxième terme, car le deuxième terme est négatif.
Donc, en fait, quelle que soit la valeur de départ de la suite, si la raison est comprise entre moins un et zéro, le signe des termes va alterner. La valeur absolue de chaque terme, comme on le multiplie par un nombre compris entre moins un et zéro, va diminuer. Ainsi, le signe alternera et les termes se rapprocheront de plus en plus de zéro.
La réponse à la question est donc que c’est faux. Une suite géométrique n’est pas décroissante si sa raison 𝑞 appartient à l’intervalle ouvert moins un, zéro.
