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Vidéo de la leçon : Suites géométriques Mathématiques

Dans cette vidéo, nous allons apprendre comment calculer la raison, déterminer les termes suivants dans une suite géométrique et vérifier si la suite est croissante ou décroissante.

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Transcription de vidéo

Dans cette vidéo sur les suites géométriques, nous allons apprendre comment calculer la raison entre les termes, déterminer les termes suivants dans une suite géométrique et vérifier si la suite est croissante ou décroissante.

Mais commençons par réfléchir à ce qu’est réellement une suite géométrique. L’une des suites géométriques que nous pourrions voir communément est la suite un, deux, quatre, huit, 16, etc. Chaque terme de la suite est le double du terme précédent. Nous pouvons dire que le rapport entre deux termes successifs dans la suite est deux. Nous pouvons voir toute une gamme de différentes suites géométriques. Par exemple, nous pourrions avoir des suites avec des valeurs non entières et des suites qui ont un rapport négatif entre les termes successifs. Ce type de suites est appelé suite géométrique alternée car les signes basculent entre positif et négatif.

Mais ce qui définit une suite géométrique, c’est que le rapport est commun entre les termes successifs. Nous pouvons utiliser la terminologie selon laquelle la suite peut être donnée comme termes 𝑎 indice un, 𝑎 indice deux, 𝑎 indice trois, 𝑎 indice quatre, et ainsi de suite. Nous pouvons également voir ceci avec des lettres alternatives autres que d’utiliser 𝑎, par exemple, la suite définie comme 𝑡 indice un, 𝑡 indice deux, et ainsi de suite. Certaines suites peuvent commencer par 𝑎 indice zéro, mais nous donnons simplement une valeur de position à chaque terme.

Nous pouvons définir une suite géométrique comme une suite de nombres non nuls 𝑎 indice un, 𝑎 indice deux, 𝑎 indice trois, 𝑎 indice quatre, et ainsi de suite qui a une raison non nulle 𝑟, qui n’est pas égale à un, entre deux termes consécutifs. La raison 𝑟 est égale à 𝑎 indice 𝑛 plus un sur 𝑎 indice 𝑛 pour des valeurs de 𝑛 égales à un, deux, trois, etc. Cette partie de l’équation 𝑎 indice 𝑛 plus un sur 𝑎 indice 𝑛 indique simplement un terme de la suite divisé par le terme qui le précède immédiatement.

Si nous prenons cet exemple de suite ci-dessous, nous pouvons dire que le rapport 𝑟 est égal à 𝑎 indice deux sur 𝑎 indice un. C’est 100 divisé par moins 10, ce qui est moins 10. Mais nous aurions pu également trouver le rapport en divisant 𝑎 indice quatre par 𝑎 indice trois. Et cela nous donnerait également le même rapport moins 10. Mais avant de regarder quelques questions, nous pouvons également définir des suites géométriques croissantes et décroissantes.

Nous disons qu’une suite géométrique est croissante si 𝑎 indice 𝑛 plus un est supérieur à 𝑎 indice 𝑛, et est décroissante si 𝑎 indice 𝑛 plus un est inférieur à 𝑎 indice 𝑛. Elle est croissante donc si chaque terme est supérieur au terme précédent et est décroissante si un terme est inférieur au terme précédent. Dans chaque cas, cela doit être vrai pour toutes les valeurs d’indice de 𝑛.

Nous pouvons maintenant regarder quelques exemples sur les suites géométriques, et nous commencerons par un exemple dans lequel nous devons trouver la raison.

Le tableau montre le nombre de bactéries dans une expérience de laboratoire sur quatre jours consécutifs. Le nombre de bactéries peut être décrit par une suite géométrique. Trouvez la raison de cette suite.

Dans le tableau, nous pouvons voir que sur quatre jours différents, un certain nombre de bactéries ont été enregistrées dans cette expérience. On nous dit que le nombre de bactéries forme une suite géométrique et c’est une suite qui a une raison entre deux termes consécutifs. Afin de trouver ce rapport, nous pourrions alors prendre n’importe quel terme et le diviser par le terme précédent. Par exemple, nous pourrions prendre le deuxième terme, qui pourrait être noté 𝑎 indice deux, et le diviser par le premier terme.

Ce serait 2572 divisé par 643. En mettant cela dans nos calculatrices ou en simplifiant la fraction, nous obtiendrions une réponse de quatre.

Pour vérifier notre réponse, nous avons pu trouver le rapport entre une autre paire de termes consécutifs. Par exemple, nous pourrions prendre le quatrième terme et le diviser par le troisième. Simplifier 41152 sur 10288 nous donnerait également une réponse de quatre. Parce que nous savons que c’est une suite géométrique, nous n’avons pas besoin de faire les deux ensembles de calculs. Le deuxième était une bonne vérification, cependant. Nous pouvons donc donner la réponse, que la raison est de quatre.

Dans l’exemple suivant, nous verrons comment trouver le terme suivant d’une suite géométrique.

Trouvez le terme suivant de la suite géométrique moins cinq, moins cinq sur quatre, moins cinq sur 16, moins cinq sur 64, quoi.

Parce qu’on nous donne que cette suite est géométrique, cela signifie que nous savons qu’il existe un rapport commun entre les termes consécutifs. En d’autres termes, il existe un certain rapport 𝑟 que nous pouvons multiplier par n’importe quel terme pour obtenir le terme suivant. Et donc, afin de trouver cette valeur de 𝑟, nous pouvons prendre n’importe quel terme de la suite, que nous pouvons appeler 𝑎 indice 𝑛 plus un, et le diviser par le terme précédent, que nous pouvons désigner par 𝑎 indice 𝑛.

Nous pouvons prendre deux termes dans la suite qui pourraient être les plus faciles à diviser. Alors prenons le deuxième terme et divisons-le par le premier. Nous avons donc moins cinq sur quatre sur moins cinq. Et il est utile de se rappeler que c’est la même chose que moins cinq sur quatre divisé par moins cinq. Si nous prenons moins cinq comme la fraction moins cinq sur un, alors nous pouvons nous rappeler que pour diviser par une fraction, nous multiplions par son inverse.

Nous pouvons retirer un facteur commun de cinq et ensuite observer que nous avons une fraction négative multipliée par une fraction négative. Nous avons donc calculé que le rapport 𝑟 est d’un quart.

Cela signifie que pour déterminer le cinquième terme, nous multiplions le quatrième terme par la fraction d’un quart. Nous calculons donc moins cinq sur 64 multiplié par un quart. Cela nous donne moins cinq sur 256. Nous ne pouvons pas simplifier davantage cette fraction, nous pouvons donc donner la réponse que le terme suivant de cette suite géométrique est moins cinq sur 256.

Dans l’exemple suivant, nous trouverons la raison d’une suite géométrique qui est définie dans une formule récursive.

Trouvez la raison de la suite géométrique qui satisfait la relation 𝑎 indice 𝑛 est égal à neuf huitièmes 𝑎 indice 𝑛 plus un, où 𝑛 est supérieur ou égal à un.

Commençons par rappeler qu’une suite géométrique est une suite qui a une raison 𝑟 entre deux termes consécutifs. Nous pouvons trouver cette raison en divisant tout terme, que nous notons 𝑎 indice 𝑛 plus un, par le terme juste avant, que nous notons 𝑎 indice 𝑛. Cela est généralement facile à faire si on nous donne les termes dans la suite, mais nous ne sommes pas dans cette question. Mais on nous donne une relation entre 𝑎 indice 𝑛 et 𝑎 indice 𝑛 plus un.

Alors regardons cette affirmation, cette équation que nous avons écrite concernant la raison. Si nous multiplions les deux membres de cette équation par 𝑎 indice 𝑛, nous obtenons l’équation 𝑟 fois 𝑎 indice 𝑛 égale 𝑎 indice 𝑛 plus un. En divisant par 𝑟, nous obtenons que 𝑎 indice 𝑛 est égal à 𝑎 indice 𝑛 plus un sur 𝑟. Nous pouvons alors relier cela à la relation dans la question, qui est écrite en fonction de 𝑎 indice 𝑛. Nous pouvons égaliser le membre droit de chacune de ces deux équations, donc nous avons 𝑎 indice 𝑛 plus un sur 𝑟 égale neuf huitièmes 𝑎 indice 𝑛 plus un.

En divisant les deux membres de cette équation par 𝑎 indice 𝑛 plus un, nous avons un sur 𝑟 égale neuf huitièmes. Et donc la réponse est que la raison 𝑟 est huit neuvièmes.

Cette question peut être un peu délicate à comprendre, surtout si nous nous demandons pourquoi le rapport n’est pas seulement neuf sur huit. Considérons donc cette question comme un diagramme. Imaginez que nous avons cette suite et que nous ne connaissons pas les valeurs de la suite. Nous connaissons, cependant, une relation entre un terme 𝑎 indice 𝑛 et 𝑎 indice 𝑛 plus un. Mais on nous donne presque la relation dans la mauvaise direction ; on nous dit comment obtenir 𝑎 indice 𝑛 à partir de 𝑎 indice 𝑛 plus un. Nous multiplions 𝑎 indice 𝑛 plus un par neuf sur huit pour obtenir 𝑎 indice 𝑛.

Mais lorsque nous pensons à des suites, nous réfléchissons à la façon dont nous passons d’un terme au terme suivant ce terme. L’inverse de la multiplication par neuf sur huit est la division par neuf sur huit. Mais lorsqu’on nous donne un rapport, il doit s’agir d’un multiplicateur. C’est l’inverse. Donc ici nous multiplions par huit neuvièmes. Et c’est pourquoi la raison de cette suite est huit sur neuf.

Dans l’exemple suivant, nous verrons comment nous pouvons générer les premiers termes d’une suite en fonction de son terme général.

Trouvez les cinq premiers termes de la suite 𝑎 indice 𝑛 sachant 𝑎 indice 𝑛 plus un égale un quart 𝑎 indice 𝑛, 𝑛 est supérieur ou égal à un, et 𝑎 indice un égale moins 27.

Dans cette question, on nous donne les informations que nous pouvons utiliser pour générer les termes de cette suite. Bien que cette notation de 𝑎 indice 𝑛 plus un et 𝑎 indice 𝑛 puisse paraître déroutante, tout ce que cette formule nous dit, c’est que si nous voulons générer n’importe quel terme de la suite, alors nous prenons le terme précèdent et le multiplions par un-quart. Les cinq premiers termes de la suite peuvent être donnés comme 𝑎 indice un, 𝑎 indice deux, 𝑎 indice trois, 𝑎 indice quatre, et 𝑎 indice cinq. Nous savons que la suite commencera par un indice 𝑛 de un parce qu’on nous dit que 𝑛 est supérieur ou égal à un.

Utilisons donc cette formule et disons, par exemple, que nous voulions calculer le troisième terme, 𝑎 indice trois. Nous pouvons utiliser la formule pour nous dire que 𝑎 indice trois est un quart de 𝑎 indice deux ; c’est un quart du deuxième terme. Mais le problème est que, nous ne connaissons pas encore le deuxième terme de la suite. Nous pourrions calculer le deuxième terme comme un quart du premier terme, mais quel est le premier terme ?

Eh bien, on nous dit que 𝑎 indice un est moins 27. Dans ce genre de formule, qui est une formule récursive, nous devons alors être donnés au moins l’un des termes afin de nous donner un endroit pour commencer avec la suite. En regardant le deuxième terme, comme mentionné précédemment, nous pouvons le trouver en prenant un quart du premier terme. Nous pouvons calculer un quart multiplié par moins 27. Et moins 27 sur quatre est la forme la plus simple de cette fraction, et c’est donc le deuxième terme.

Le troisième terme 𝑎 indice trois est un quart multiplié par le deuxième terme, qui est un quart fois moins 27 sur quatre. Nous avons donc moins 27 sur 16. Le quatrième terme est un quart fois le troisième terme de moins 27 sur 16, soit moins 27 sur 64. Enfin, le cinquième terme est un quart de moins 27 sur 64, soit moins 27 sur 256. Nous pouvons alors donner la réponse que les cinq premiers termes de la suite donnée sont moins 27, moins 27 sur quatre, moins 27 sur 16, moins 27 sur 64, et moins 27 sur 256.

Dans le dernier exemple, nous considérerons à quoi ressemblerait la courbe d’une suite géométrique.

Vrai ou Faux : Les termes d’une suite géométrique peuvent être tracés comme un ensemble de points colinéaires.

Commençons par cette question en rappelant qu’une suite géométrique est une suite qui a un rapport commun entre deux termes consécutifs. Afin de déterminer si une suite géométrique peut être colinéaire, ce qui signifie se trouver en ligne droite, il peut être utile de prendre quelques exemples de suites géométriques.

Prenons donc la suite un, trois, neuf, 27, etc. On peut dire que c’est géométrique parce que la raison est de trois. Tout terme peut être déterminé en multipliant le terme précédent par trois. Si nous devions représenter graphiquement ces valeurs, alors nous représenterions graphiquement le 𝑛 ou la valeur de l’indice à côté de la valeur du terme. Nous pourrions commencer par le point de coordonnées un, un parce que le premier terme a une valeur de un. Le deuxième point sera de coordonnées deux, trois. Le terme avec indice deux a une valeur de trois.

Cependant, un troisième point de coordonnées de trois, neuf pourrait commencer à révéler le motif dans cette suite géométrique. Nous n’aurions pas de ligne droite. En fait, nous aurions une représentation graphique exponentielle.

Essayons donc une autre suite géométrique. Cette fois, essayons une suite géométrique décroissante. La suite moins deux, moins quatre, moins huit, moins 16, etc a une raison de deux. Essayons de tracer ces valeurs. Encore une fois, nous pouvons voir que ces points ne se trouveraient pas en ligne droite.

Mais il y a un autre type de suite géométrique, et c’est une suite alternée. Les signes des termes alternent entre positif et négatif. En effet, le rapport est une valeur négative. Lorsque nous traçons cette suite géométrique, nous obtenons une représentation graphique qui ressemble à ceci. Jusqu’à présent, aucune des suites que nous avons considérées n’a créé un ensemble de points colinéaires. Voyons donc quel type de suite serait.

Eh bien, si nous avions une suite qui produit une droite, cela signifie que lorsque l’indice augmente, les termes augmentent d’une constante ou diminuent d’une constante. Ce type de suite est en fait une suite arithmétique. Et il est défini par une différence commune entre deux termes consécutifs. N’oubliez pas qu’une suite géométrique a un rapport entre les termes, et que ce rapport ne peut pas être égal à un. Il n’est donc pas possible qu’une suite géométrique puisse être tracée comme un ensemble de points colinéaires. Cela signifie que l’affirmation dans la question est fausse.

Il convient de noter que les suites arithmétiques sont toujours linéaires, mais que les suites géométriques ne sont jamais linéaires. En fait, elles créeraient une fonction exponentielle.

Nous pouvons maintenant résumer les points clés de cette vidéo. Nous avons commencé par considérer qu’une suite géométrique est une suite de nombres non nuls avec une raison 𝑟, qui n’égale pas un, entre deux termes consécutifs de la suite. Nous avons vu comment calculer cette raison 𝑟 en prenant n’importe quel terme de la suite et en le divisant par le terme précédent. Cela peut être écrit comme 𝑟 est égal à 𝑎 indice 𝑛 plus un sur 𝑎 indice 𝑛.

Nous avons également vu qu’une suite géométrique donnée peut être définie comme un ensemble de nombres 𝑎 indice un, 𝑎 indice deux, 𝑎 indice trois ; une formule récursive ; ou une formule explicite. Enfin, nous avons vu que les suites géométriques peuvent être croissantes, décroissantes ou alternées.

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