Dans cette fiche explicative, nous allons apprendre à calculer la raison, les termes suivants d’une suite géométrique, et à déterminer si une suite croît ou décroît.
Une suite est une liste numérotée de nombres (ou d’autres objets) qui suivent en général un même modèle. Chaque élément d’une suite, pour , s’appelle un terme et est repéré par un indice , qui indique la position de ce terme dans la suite.
Il existe de nombreuses applications des suites géométriques dans les domaines des sciences, du commerce, des finances personnelles et de la santé. Par exemple, les physiciens utilisent des suites géométriques pour calculer la quantité restante de matière radioactive après un certain nombre de demi-vies du matériau. En une demi-vie, la quantité de matériau diminue de .
Avant de décrire mathématiquement une suite géométrique, examinons quelques exemples simples afin de mieux visualiser la structure d’une suite géométrique dans le monde réel. L’un des exemples les plus célèbres de suite géométrique concerne l’invention du jeu d’échecs. Selon la légende, le sage Sissa Ibn Dahir aurait inventé le jeu d’échecs et offert un échiquier au roi indien Shaim. Pour le remercier de ce cadeau, le sage Sissa obtint de pouvoir demander la récompense qui lui plairait et qui soit jugée raisonnable par le roi. Le sage fit une demande modeste en apparence : du riz sur un échiquier. Il demanda qu’on pose un grain de riz sur la première case, deux sur la deuxième, quatre sur la troisième, etc., en doublant le nombre de grains de riz dans chaque case par rapport à la case précédente, et ce pour toutes les cases de l’échiquier (64 cases).
Le roi, impressionné par la modestie de la demande, accepta et ordonna qu’on apporte le riz dans des sacs. Pour les premières cases, tout semblait bien se passer, mais dans la 21e case, il y avait plus d’un million (1 048 576) de grains de riz ; le sac était vide et un autre dut être apporté, qui fut immédiatement vidé dans la case suivante. Dans la 41e case, il y avait plus d’un billion (1 099 511 627 776) de grains de riz et, au fur et à mesure de cette progression, en doublant à chaque fois, il faudrait plus de grains de riz dans les dernières cases que dans le monde entier, même sans compter les grains de riz des cases précédentes. Les seuls grains de la dernière case dépasseraient la production mondiale de riz pendant plus de 1 000 ans. Le nombre de grains de riz sur chaque case de l’échiquier représente la suite géométrique où chaque terme de la suite est le double du précédent ; c’est une suite géométrique croissante.
On peut également la représenter par
On souhaite à présent étudier les rebonds d’une balle de tennis. Si on laisse tomber la balle d’une hauteur de 10 m, en mesurant sa position au cours du temps, on remarque que la balle perd en hauteur après chaque rebond.
La balle perd de son énergie chaque fois qu’elle rebondit, et l’énergie cinétique est proportionnelle à la hauteur de laquelle elle tombe. Cela signifie que la balle perd de sa hauteur après chaque rebond ; autrement dit, chaque hauteur vaut de la précédente. Cela nous permet de prévoir la hauteur de la balle après chaque rebond. Après le premier rebond, la hauteur de la balle est de 10 m :
Et après le deuxième rebond, c’est de 8 m :
En continuant ainsi, la hauteur de la balle après chaque rebond forme une suite : qu’on peut également représenter par
Il s’agit d’une suite géométrique décroissante, où chaque terme diminue par rapport au précédent, qu’on multiplie par un nombre donné ; ici, par le nombre 0,8.
Maintenant, définissons mathématiquement une suite géométrique.
Définition : Suite géométrique
Une suite géométrique, ou progression géométrique, est une suite de nombres non nuls tels que deux termes consécutifs ont un ratio constant et non nul appelé raison :
Une suite géométrique en général peut aussi être représentée par
Pour les grains de riz sur chaque case de l’échiquier, le ratio entre deux termes consécutifs est la raison , qui est le nombre par lequel on multiplie chaque terme de la suite pour obtenir le terme suivant.
Notez qu’une suite géométrique n’est pas forcément croissante ; elle peut aussi être décroissante, comme dans le cas de la hauteur de la balle de tennis ; ou bien de signes alternés. Voici un autre exemple de suite géométrique décroissante : et un exemple de suite alternée :
La suite décroissante est de raison et la suite alternée est de raison . En général, la raison décrit le comportement des termes de la suite géométrique, bien qu’il faille également tenir compte du signe du premier terme pour savoir si elle est croissante ou décroissante.
- Si (ce qui équivaut à ou ), la valeur absolue des termes de la suite géométrique, , croît jusqu’à l’infini ; c’est ce qu’on appelle une suite divergente.
- Si et , les termes de la suite géométrique sont croissants et divergent vers l’infini. Par exemple, avec et , la suite géométrique est :
- Si et , les termes de la suite géométrique sont décroissants et divergent vers moins l’infini. Par exemple, avec et , la suite géométrique est :
- Si , quel que soit le premier terme , les signes des termes de la suite géométrique alternent, mais leur valeur absolue est croissante et diverge vers l’infini. Par exemple, avec et , la suite géométrique est : ou avec et , la suite géométrique est :
- Si (ce qui équivaut à ), la valeur absolue des termes de la suite géométrique, , tend vers zéro ; c’est ce qu’on appelle une suite convergente.
- Si et , les termes de la suite géométrique sont décroissants et convergent vers zéro. Par exemple, avec et , la suite géométrique est :
- Si et , les termes de la suite géométrique croissent et convergent vers zéro. Par exemple, avec et , la suite géométrique est :
- Si , quel que soit le premier terme , les signes des termes de la suite géométrique alternent, mais leur valeur absolue est décroissante et converge vers zéro. Par exemple, avec et , la suite géométrique est : ou avec et , la suite géométrique est :
Pour déterminer la raison d’une suite géométrique donnée, on divise n’importe quel terme de la suite par le terme précédent. Par exemple, on peut diviser le troisième terme par le deuxième terme ou le deuxième terme par le premier terme ; dans les deux cas, on trouve le même nombre si la suite est géométrique.
Dans le premier exemple, nous déterminerons la raison d’une suite géométrique qui donne le nombre de bactéries lors d’une expérience scientifique.
Exemple 1: Déterminer la raison d’une suite géométrique
Ce tableau donne le nombre de bactéries lors d’une expérience scientifique d’une durée de quatre jours consécutifs. Le nombre de bactéries est représenté par une suite géométrique. Déterminez la raison de cette suite.
| Jour | 1er | 2e | 3e | 4e |
|---|---|---|---|---|
| Nombre de bactéries | 643 | 2 572 | 10 288 | 41 152 |
Réponse
Dans cet exemple, on cherche la raison d’une suite qui donne le nombre de bactéries lors d’une expérience scientifique.
Rappelons qu’une suite est géométrique si deux termes consécutifs ont toujours le même ratio. Comme on nous dit qu’il s’agit d’une suite géométrique, il n’y a pas besoin de vérifier que la raison est la même entre deux termes consécutifs. À la place, on peut choisir deux termes consécutifs. La raison peut se calculer à partir du 2e terme et du 1er terme :
On aurait aussi pu la calculer à partir du ratio des 3e et 2e termes ou des 4e et 3e termes, on aurait obtenu le même résultat. Notez aussi que comme et , la suite géométrique est croissante et divergente.
Ainsi, la raison de cette suite géométrique est 4.
Dans le dernier exemple, on a calculé la raison à partir des 2e et 1er termes, mais on aurait aussi pu utiliser les 3e et 2e ou 4e et 3e termes, on aurait obtenu le même résultat : ou
On pourrait aussi nous demander les termes suivants d’une suite géométrique. Cela implique de commencer par déterminer la raison, puis de l’utiliser pour calculer les termes suivants en multipliant les termes précédents par .
Considérons à présent un exemple où on détermine le terme suivant d’une suite géométrique décroissante.
Exemple 2: Déterminer le terme suivant d’une suite géométrique
Déterminez le terme suivant de la suite géométrique .
Réponse
Dans cet exemple, on cherche le terme suivant d’une suite géométrique donnée.
Rappelons qu’une suite est géométrique si le ratio entre deux termes consécutifs est constant. La première étape consiste à déterminer la raison de la suite géométrique, qu’on peut calculer à partir du ratio entre deux termes consécutifs. On peut utiliser le ratio entre le 2e et le 1er terme de la suite, ce qui donne
On note que, comme et , la suite géométrique est croissante et converge vers zéro.
Enfin, on peut déterminer le terme suivant de la suite, , en multipliant le terme précédent par ce qui donne
Dans le dernier exemple, on a vu qu’on pouvait trouver le terme suivant d’une suite en déterminant d’abord la raison et en la multipliant par le dernier terme. En répétant cette procédure, on peut calculer autant de termes que demandé.
Dans l’exemple suivant, on détermine les quatre termes suivants d’une suite géométrique croissante.
Exemple 3: Déterminer les termes manquants d’une suite géométrique
Déterminez les quatre termes suivants de la suite géométrique .
Réponse
Dans cet exemple, on cherche à déterminer les quatre termes suivants d’une suite géométrique donnée.
Rappelons qu’une suite est géométrique si le ratio entre deux termes consécutifs est constant. La première étape consiste à calculer la raison de la suite géométrique, qui se calcule en prenant le ratio entre deux termes consécutifs. On peut utiliser le ratio entre les 2e et le 1er terme de la suite, ce qui donne
Notez que comme et , la suite géométrique est croissante et divergente. Les quatre termes suivants, , s’obtiennent en multipliant les termes précédents par la raison :
Ainsi, les quatre termes suivants de la suite géométrique sont
Comme on le constate à partir de la définition et des exemples précédents, la formule de récurrence pour une suite géométrique est
Dans certains cas, on nous donne une suite géométrique sous cette forme, qu’on peut utiliser pour déterminer la raison.
Dans l’exemple suivant, nous déterminerons la raison d’une suite géométrique définie à l’aide d’une formule de récurrence.
Exemple 4: Déterminer la raison d’une suite géométrique à partir de son terme général
Déterminez la raison de la suite géométrique qui vérifie la relation , où .
Réponse
Dans cet exemple, on cherche la raison d’une suite géométrique définie par une relation de récurrence.
Rappelons qu’une suite est géométrique si le ratio entre deux termes consécutifs est constant :
On peut réécrire cette formule de récurrence pour la suite géométrique ainsi :
On note que c’est différent de la forme donnée dans la question où la raison est multipliée par . Si on réécrit la relation sous cette forme, on obtient
Ainsi, la raison est
Notez que, comme , cette suite géométrique converge vers zéro ; elle croît ou décroît selon la valeur de son premier terme .
Si on nous donne aussi le premier terme en plus de la formule de récurrence, on peut trouver les termes de la suite ; c’est la même chose que les exemples précédents où on multiplie la raison par un terme de la suite pour obtenir le terme suivant.
Examinons à présent un exemple de calcul des cinq premiers termes d’une suite géométrique donnée dont on a le premier terme.
Exemple 5: Déterminer les termes d’une suite en fonction de son terme général et de la valeur du premier terme
Déterminez les cinq premiers termes de la suite , sachant que , , et .
Réponse
Dans cet exemple, on cherche les termes d’une suite géométrique à partir d’une relation donnée et du premier terme.
On note que, comme et d’après la formule de récurrence on a , la suite géométrique est croissante et converge vers zéro.
On commence par trouver le 2e terme en posant dans la relation :
Ensuite, on procède de même pour trouver les trois autres termes en posant :
Ainsi, les cinq premiers termes de la suite sont
Il est également possible de faire le contraire du dernier exemple. C’est-à-dire, en supposant qu’on connaisse les premiers termes d’une suite, on peut trouver sa raison et son premier terme. En fait, si on note le premier terme pour simplifier, la forme générale d’une suite géométrique est
Le deuxième terme de la suite géométrique se calcule en multipliant le premier terme par ce qui donne ; le troisième terme est alors le deuxième terme multiplié par , ce qui donne , et ainsi de suite.
Autrement dit, on multiplie chaque terme par le même nombre pour trouver le terme suivant. L’exemple suivant donne une application de cette idée.
Exemple 6: Calcul du premier terme et de la raison d’une suite géométrique convergente
Une suite géométrique est une liste de termes qui peuvent s’écrire sous la forme où est le premier terme et est la raison (le nombre par lequel on multiplie un terme pour obtenir le suivant, ).
Déterminez et pour la suite .
Réponse
Dans cet exemple, on cherche le premier terme et la raison d’une suite géométrique donnée.
On observe que le premier terme est . Le deuxième terme est de la forme . En substituant la valeur de dans la deuxième expression, en cherchant on trouve la raison, qu’on peut également déterminer à partir de deux termes consécutifs :
Notez que, comme et , la suite géométrique est décroissante et converge vers zéro.
Ainsi, on a
De même qu’on peut utiliser les propriétés d’une suite géométrique pour déterminer la raison ou divers termes, on peut établir si une suite est ou non géométrique en étudiant ses propriétés. Dans l’exemple suivant, nous verrons une application de ceci.
Exemple 7: Identification de suites géométriques
Laquelle de ces suites n’est pas une suite géométrique ?
Réponse
Dans cet exemple, il s’agit d’examiner chaque réponse proposée pour voir si elle vérifie la définition d’une suite géométrique.
Rappelons qu’une suite géométrique est définie comme une suite dont le ratio entre deux termes consécutifs est constant. C’est-à-dire
À première vue, ça peut sembler pénible de déterminer quelles suites (dont certaines semblent assez compliquées) vérifient ce principe. Mais il existe un moyen simple de vérifier chacune de ces suites ; à savoir, on peut diviser le deuxième terme par le premier terme pour obtenir la raison, puis on peut multiplier le deuxième terme par cette raison pour voir si on obtient ou non le troisième terme. Si on obtient le troisième terme, alors le ratio est une raison, et la suite est géométrique.
Appliquons donc cette méthode. Pour la réponse A, est et est , donc le ratio est
Ensuite, on multiplie le deuxième terme par ce ratio :
Comme vaut en effet , ça confirme que le ratio est constant entre les trois premiers termes. De plus, on peut vérifier que est bien égal à . Ainsi, la réponse A est une suite géométrique.
Pour la réponse B, le ratio entre et est
Ensuite, on multiplie par le ratio, ce qui donne qui est . De plus, (car ), ce qui montre que B est aussi une suite géométrique.
Pour la réponse C, le ratio entre les deux premiers termes est sachant qu’on a utilisé la propriété pour simplifier l’expression. Mais si on multiplie par on obtient
Ceci n’est pas égal à , mais à . Ainsi, cette suite n’est pas géométrique, car le ratio entre deux termes consécutifs n’est pas constant.
Pour être sûr, examinons la réponse D. On calcule le ratio entre les deux premiers termes, c’est
On multiplie ce ratio par , on obtient
Ceci est égal à . On peut aussi vérifier que . Ainsi, cette suite est géométrique.
En conclusion, C est la seule suite non géométrique.
On peut également déterminer les valeurs de paramètres qui apparaissent dans les termes d’une suite géométrique en utilisant les propriétés des suites géométriques, en particulier la raison constante entre deux termes consécutifs.
Maintenant, considérons un exemple où on nous donne trois termes d’une suite géométrique exprimés en fonction d’un paramètre inconnu, qu’il s’agit de déterminer à l’aide des propriétés des suites géométriques.
Exemple 8: Utilisation des propriétés des suites géométriques pour déterminer un terme inconnu
Déterminez la valeur de pour la suite géométrique .
Réponse
Dans cet exemple, nous utiliserons les propriétés d’une suite géométrique pour déterminer un paramètre inconnu qui apparaît dans les termes de la suite.
Rappelons qu’une suite est géométrique si le ratio entre deux termes consécutifs est constant. Comme cette suite doit être géométrique, le ratio entre deux termes consécutifs est un nombre constant . À partir du 2e et du 1er terme, on a alors qu’à partir du 3e et du 2e terme, on a
Ces deux ratios étant égaux pour une suite géométrique, on obtient l’équation du second degré
La solution est donc ou . On note que ces solutions donnent lieu à différents types de suites géométriques. Pour , la raison est et, comme et , on a une suite géométrique décroissante et divergente. Pour , la raison est et comme et , c’est une suite géométrique croissante et convergente.
Dans l’exemple précédent, on a vu qu’un paramètre inconnu apparaissant dans les termes d’une suite géométrique avait deux solutions, chacune associée à un type différent de suite géométrique, croissante ou décroissante.
Dans le dernier exemple, nous déterminerons la valeur de deux paramètres inconnus qui apparaissent dans deux des quatre termes d’une suite géométrique, en utilisant ses propriétés.
Exemple 9: Utilisation des propriétés des suites géométriques pour déterminer les valeurs de termes inconnus
Déterminez et pour la suite géométrique .
Réponse
Dans cet exemple, nous utiliserons les propriétés d’une suite géométrique afin de déterminer les paramètres inconnus et qui apparaissent dans les termes de la suite.
Rappelons qu’une suite est géométrique si le ratio entre deux termes consécutifs est constant. Comme on sait qu’on a une suite géométrique, le ratio entre deux termes consécutifs est un nombre constant . À partir du 4e et du 3e terme, on a à partir du 3e et du 2e terme, on a et à partir du 2e et du 1er terme, on a
Ces ratios sont tous égaux pour une suite géométrique ; on obtient les équations du second degré
En les réécrivant, ces équations deviennent
Par substitution de la deuxième équation dans la troisième, on trouve l’équation du second degré
Ainsi, on a et , mais on peut ignorer la première solution car elle ne vérifie pas la première équation . En utilisant la première équation, on en déduit , c’est .
Ainsi, les valeurs de et de dans cette suite géométrique sont
Notez que, pour cette solution, la raison vaut . Et comme et , on a une suite géométrique croissante et divergente.
Pour terminer, récapitulons les points clés appris dans cette fiche explicative.
Points clés
- Une suite géométrique est une suite de nombres non nuls, définie par une raison constante non nulle entre deux termes consécutifs de la suite Une suite géométrique peut être définie par une collection de nombres , par une formule de récurrence ou par une formule explicite.
- De manière générale, la raison définit le comportement des termes de la suite géométrique, mais il faut aussi tenir compte du signe du premier terme pour savoir si elle est croissante ou décroissante.
- Si (ce qui équivaut à ou ), la valeur absolue des termes de la suite géométrique, , croît jusqu’à l’infini ; c’est ce qu’on appelle une suite divergente.
- Si et , les termes de la suite géométrique sont croissants et divergent vers plus l’infini.
- Si et , les termes de la suite géométrique sont décroissants, et divergent vers moins l’infini.
- Si , quel que soit le premier terme , les signes des termes de la suite géométrique alternent, mais leur valeur absolue est croissante et diverge vers plus l’infini.
- Si (ce qui équivaut à ), la valeur absolue des termes de la suite géométrique, , tend vers zéro ; c’est ce qu’on appelle une suite convergente.
- Si et , les termes de la suite géométrique sont décroissants et convergent vers zéro.
- Si et , les termes de la suite géométrique sont croissants et convergent vers zéro.
- Si , quel que soit le premier terme , les signes des termes de la suite géométrique alternent mais leur valeur absolue est décroissante et converge vers zéro.
- Si (ce qui équivaut à ou ), la valeur absolue des termes de la suite géométrique, , croît jusqu’à l’infini ; c’est ce qu’on appelle une suite divergente.
- Si on nous donne une relation de récurrence, qui découle de la définition de la raison, ainsi que le premier terme , on peut trouver les termes d’une suite géométrique : Cela signifie que chaque terme d’une suite géométrique se trouve en multipliant le terme précédent par la raison.
- Si on note le premier terme pour simplifier, la forme générale d’une suite géométrique est
- À l’aide des propriétés des suites géométriques, on peut également déterminer les valeurs de paramètres inconnus qui apparaissent dans certains termes d’une suite géométrique donnée.
