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Déterminez l’ensemble des valeurs 𝑥 qui vérifient un sur la racine carrée de cosinus carré de 𝑥 moins cosinus puissance quatre de 𝑥 égale deux, avec 𝑥 strictement supérieur à zéro degré et strictement inférieur à 360 degrés.
Afin de répondre à cette question, on commencera par simplifier le membre de gauche de notre équation en utilisant nos connaissances des identités trigonométriques de Pythagore et les formules d’angle double. Le dénominateur dans le membre de gauche est comme indiqué. En factorisant par cosinus carré de 𝑥 dans l'expression sous la racine carrée, on obtient la racine carrée de cosinus carré de 𝑥 multipliée par un moins cosinus carré de 𝑥.
L'une des identités trigonométriques de Pythagore stipule que la somme du sinus carré thêta et du cosinus carré thêta égale un. Ceci peut être donc réécrit comme sinus carré thêta égale un moins cosinus carré thêta. Ainsi, notre expression peut être réécrite comme racine carrée de cosinus carré 𝑥 sinus carré 𝑥. La prochaine étape consiste à décomposer la racine carrée des deux parties. Comme nous mettons au carré cosinus 𝑥 et sinus 𝑥 dans l'expression avant de prendre la racine carrée, l'un ou l'autre peut être positif ou négatif et nous donnera toujours un résultat positif une fois mis au carré. Ceci signifie que la racine carrée de cosinus carré 𝑥 et de sinus carré 𝑥 est la valeur absolue de cosinus 𝑥 et de sinus 𝑥.
Ensuite, on rappelle une des identités d’angle double : sinus deux thêta est égal à deux sinus thêta cosinus thêta. En divisant par deux, on peut réécrire l'expression : sinus deux thêta sur deux est égal à sinus thêta cosinus thêta. Et notre formule peut être réécrite comme la valeur absolue de sinus deux 𝑥 sur deux. En mettant la constante à l'extérieur, le dénominateur de notre équation sera égal à un demi multiplié par la valeur absolue de sinus deux 𝑥. Si on divise un par cette expression, on obtient deux sur la valeur absolue de sinus deux 𝑥. D'après l'équation initiale, cette valeur est égale à deux.
On peut donc résoudre notre équation en multipliant d'abord par la valeur absolue de sinus deux 𝑥. On divise ensuite par deux de sorte que la valeur absolue de sinus deux 𝑥 soit égale à un. Cela nous donne deux solutions possibles : soit sinus deux 𝑥 égale un, soit sinus deux 𝑥 égale moins un. Dans la question, on nous a dit que 𝑥 est compris entre zéro et 360 degrés. Cela signifie que deux 𝑥 doit être supérieur à zéro degré et inférieur à 720 degrés.
En dessinant le graphique de 𝑦 égale sinus thêta entre zéro et 720 degrés, on peut trouver les valeurs de thêta pour lesquelles sinus thêta est égal à plus ou moins un. Il existe deux valeurs de thêta, pour lesquelles sinus thêta égale un dans cet intervalle. Il s'agit de 90 et 450 degrés. De même, sinus thêta égale moins un lorsque thêta égale 270 et 630 degrés. On peut donc conclure que lorsque sinus deux 𝑥 égale un, deux 𝑥 égale 90 degrés et 450 degrés. Si on divise par deux, cela signifie que 𝑥 égale 45 degrés et 225 degrés. Quand sinus deux 𝑥 égale moins un, deux 𝑥 égale 270 degrés et 630 degrés Là encore, on peut diviser par deux pour obtenir 𝑥 égale 135 degrés et 315 degrés.
Il existe quatre valeurs possibles de 𝑥 satisfaisant l'équation dans l'intervalle donné. Il s'agit de 45 degrés, 135 degrés, 225 degrés et 315 degrés.
