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Europe est le plus petit des quatre satellites galiléens en orbite autour de Jupiter. Il a une masse de 4,80 × 10²² kilogrammes et un rayon de 1560 kilomètres Quelle est l’accélération de la pesanteur à la surface d’Europe? Donnez votre réponse à deux décimales.
Dans cette question, nous parlons de la plus grande planète de notre système solaire, Jupiter. Nous examinons, en particulier, l’un de ses satellites. Jupiter a en fait beaucoup de satellites, dont certains sont représentés sur ce schéma, mais nous nous intéressons à l’un des quatre satellites galiléens. Les satellites galiléens Ganymède, Callisto, Io et Europe sont les quatre plus grandes lunes de Jupiter. Et ils ont été découverts par Galilée au début des années 1600. Le plus petit d’entre eux est Europa. Et la question nous dit qu’il a une masse de 4,80 fois 10 puissance 22 kilogrammes, que nous désignerons avec un 𝑀 majuscule, et un rayon de 1,560 kilomètres, que nous désignerons par 𝑟. La question nous demande de calculer l’accélération de la pesanteur à la surface d’Europe.
Nous pouvons résoudre ce problème en considérant la force qui agit sur un objet positionné à la surface d’Europe. Imaginons qu’un astronaute atterrisse à la surface et qu’il a une masse 𝑚. Parce que l’astronaute est à la surface d’Europe, nous savons qu’il est à une distance de 𝑟 de son centre de masse. Nous pouvons calculer la force gravitationnelle agissant sur l’astronaute en utilisant la loi de gravitation de Newton. Et cette loi nous dit que l’intensité de la force agissant sur deux objets massifs est égale à 𝐺 majuscule, la constante gravitationnelle, multipliée par le produit des masses de chacun des objets, divisé par la distance entre le centre des masses de l’objets au carré.
Une fois que nous avons calculé la force sur l’astronaute, nous pouvons ensuite utiliser la deuxième loi de Newton, qui nous dit que la force sur un objet est égale à la masse de l’objet multipliée par l’accélération que l’objet subit. Nous pouvons réorganiser en fonction de l’accélération de l’objet en divisant les deux côtés de l’équation par 𝑚, la masse de l’objet. Et ici, nous pouvons voir que les 𝑚 à droite s’annulent, ce qui nous laisse une expression en fonction de l’accélération de l’objet.
Et lorsque nous considérons un objet agissant par gravité, nous pouvons utiliser notre expression à la force gravitationnelle dans cette équation, ce qui nous donne 𝑎 est égal à 𝐺 multiplié par grand 𝑀 multiplié par petit 𝑚 divisé par 𝑟 au carré, le tout divisé par petit 𝑚. Nous pouvons voir que les 𝑚 minuscules au numérateur de cette fraction et au dénominateur de cette fraction s’annulent, ce qui nous donne une accélération due à la gravité 𝐺 multipliée par le 𝑀 majuscule divisé par 𝑟 au carré.
Dans notre cas, l’accélération de la pesanteur est égale à 𝐺 multiplié par la masse d’Europe divisée par le rayon d’Europe au carré. Et parce que nous connaissons que 𝑀 et 𝑟 et que 𝐺 a une valeur définie de 6,67 fois 10 puissance moins 11 mètres cubes par kilogramme seconde carré, tout ce que nous avons à faire est d’utiliser ces valeurs dans notre équation pour l’accélération, et nous obtiendrons notre réponse. En les utilisant, nous obtenons que 𝑎 est égal à 6,67 fois 10 puissance moins 11 mètres cube par kilogramme seconde carré multiplié par 4,80 fois 10 puissance 22 kilogrammes divisé par 1,560 kilomètres carrés.
Avant d’aller plus loin, nous devrions examiner nos unités. Au numérateur, nous avons des mètres cube par kilogramme seconde carré multiplié par des kilogrammes. Et au dénominateur, nous avons des kilomètres carrés. Au numérateur, nous avons utilisé les mètres pour exprimer la longueur, mais au dénominateur, nous avons des kilomètres. Pour pouvoir effectuer notre calcul, tout ils doivent être dans les mêmes unités. Nous allons donc convertir nos unités de kilomètres en mètres. On peut rappeler qu’un kilomètre équivaut à 1 000 mètres. Ou nous pourrions écrire ceci comme un kilomètre est égal à une fois 10 puissance trois mètres. Nous pouvons donc réécrire notre valeur pour le rayon d’Europe en mètres, qui est égale à 1 560 fois 10 puissance trois mètres.
En utilisant cela dans notre équation et en vérifiant à nouveau nos unités, nous pouvons voir que ces deux unités de kilogrammes s’annulent, nous laissant avec des mètres cubes par seconde au carré divisés par des mètres carrés. Nous pouvons alors amener les mètres carrés au dénominateur de la fraction supérieure, et nous pouvons remarquer que les mètres cube sont égaux à des mètres multipliés par des mètres multipliés par des mètres. Et les mètres carrés sont égaux à des mètres multipliés par des mètres. Nous pouvons donc annuler deux de ces termes du numérateur et du dénominateur de la fraction. Cela nous laisse juste avec des unités de mètres par seconde au carré. Et c’est exactement ce à quoi nous nous attendions pour une accélération.
Nous pouvons donc continuer notre calcul. En calculant notre expression pour l’accélération, nous obtenons 𝑎 est égal à 1,315… mètres par seconde au carré. Cependant, la question demande que ce soit à deux décimales près. Donc, nous pouvons simplement écrire 𝑎 est égal à 1,32 mètres par seconde au carré. Et voici notre réponse. L’accélération de la pesanteur à la surface d’Europe est égale à 1,32 mètre par seconde au carré.
