Dans cette fiche explicative, nous allons apprendre à calculer la gravité de surface d’une planète ou d’une lune en fonction de sa masse et de son rayon.
D’après la deuxième loi du mouvement de Newton, si des forces agissent sur un objet, alors cet objet subit une accélération proportionnelle à l’intensité de la résultante des forces. Sous forme d’équation, nous avons
où est la force résultante agissant sur l’objet, est la masse de l’objet, et est l’accélération. Notez que et sont des vecteurs, ce qui signifie qu’ils ont une intensité, une direction et un sens. L’équation indique que l’accélération associée est dans la même direction et orientée dans le même sens que la force.
Imaginez deux objets isolés dans l’espace, sans étoiles, planètes ou autre chose à proximité, de sorte que seules les forces gravitationnelles réciproques agissent sur chacun d’eux. Rappelons-nous la loi de la gravitation universelle, formalisée par Isaac Newton, qui dit que la force gravitationnelle est données par
où est la constante gravitationnelle universelle , et sont les masses des deux objets, et est la distance entre les centres de masse des deux objets. est la notation pour a norme d’un vecteur ; dans ce cas, est la distance. Pour spécifier la direction, nous avons , qui est le vecteur unitaire suivant la direction qui relie les centres de masse des deux objets. Ceci nous indique que la force agit suivant la ligne qui relie les centres de masse des deux objets.
Notez que les forces réciproques subies/exercées par les deux objets ont la même intensité et sont proportionnelles au produit des masses des deux objets.
Si la force gravitationnelle est la seule force qui agit sur les objets, alors la force de l’équation(2) est identique à la force résultante de l’équation(1). Donc en remplaçant par leurs expressions, nous avons
La masse de l’objet dont nous considérons l’accélération, apparaît des deux côtés de cette équation. En divisant les deux côtés par , nous avons
Donc l’accélération subie par un objet, , dépend uniquement de la masse de l’autre objet, que nous avons appelé , et de l’inverse du carré de la distance entre les centres de masse. Cela signifie que l’accélération subie par un objet et due à une force gravitationnelle ne dépend pas de la masse de l’objet-même, mais de la masse de l’objet qui exerce la force.
Notez qu’ici également, et sont des vecteurs, de sorte qu’ils ont une intensité, une direction et un sens. Nous mesurons entre les centres de masse des objets, et l’accélération agit le long de cette même ligne : chaque objet subit une accélération dirigée vers le centre de masse de l’autre objet.
Dans la plupart des situations, nous nous intéressons seulement à l’intensité de l’accélération. On peut donc écrire l’équation(3) sous forme scalaire :
où l’intensité de l’accélération et la distance sont des scalaires, imprimés en police de caractères normales. La notation est équivalente à . Écrite sous cette forme, nous nous intéressons seulement à l’intensité de l’accélération, en sachant que le sens est toujours dirigé vers le centre de masse de l’autre objet.
Regardons un exemple.
Exemple 1: Déterminer la force et l’accélération gravitationnelles subies par des objets de différentes masses
L’objet A et l’objet B, ayant respectivement une masse de 5 kg et 100 kg, sont à proximité d’un objet sphérique et massif de . Les objets A et B sont à égale distance du centre de masse de l’objet massif, soit 100 km.
- Quelle est l’intensité de la force gravitationnelle subie par l’objet A en raison de l’objet massif ? Donnez la réponse avec deux décimales.
- Que vaut l’accélération de l’objet A vers l’objet massif ? Donnez la réponse arrondie à deux décimales prés.
- Quelle est l’intensité de la force gravitationnelle subie par l’objet B en raison de l’objet massif ? Donnez la réponse arrondie à deux décimales prés.
- Que vaut l’accélération de l’objet B vers l’objet massif ? Donnez la réponse arrondie à deux décimales prés.
Réponse
Dans cet exemple, nous avons un objet de très grand dimension et dont la masse est de loin supérieure à celles des deux objets A et B. Il est sphérique, mais représenté sur le schéma par un rectangle, car à l’échelle du schéma, on ne voit qu’une toute petite portion de sa surface.
Pour donner une idée de l’ordre des grandeurs, la masse de l’objet massif équivaut à celle d’une petite lune, l’objet B a un peu plus la masse d’une personne, et l’objet A a la masse d’un grand livre. Ce corps massif est beaucoup plus grand en masse que les objets A et B, de sorte que nous pouvons négliger les forces gravitationnelles que les objets A et B s’exercent l’un sur l’autre. Les forces prépondérantes ici sont celles entre chacun des objets A et B et le corps massif.
Partie 1
La première partie de la question demande l’intensité de la force gravitationnelle subie par A en raison du grand corps, nous allons faire appel à l’équation(2) qui donne la force gravitationnelle : où est la constante gravitationnelle universelle, est la masse de l’objet massif, est la masse de A, et est la distance entre A et le centre de masse de l’objet massif.
Pour exprimer la force en newton, nous devons nous assurer que les autres grandeurs qui interviennent dans l’équation sont bien exprimées dans les unités de base du Système International. Les unités de masse dans et pour les masses et sont bien en kilogrammes, mais la distance est donnée en kilomètres au lieu de mètres. Pour convertir la valeur de à la bonne unité, on a , donc .
Maintenant, nous pouvons remplacer les valeurs numériques dans l’équation de , et nous avons
Arrondie à deux décimales prés, la réponse finale est donc
Partie 2
Cette partie de la question demande l’intensité de l’accélération de A vers le corps céleste. Pour résoudre ce problème, nous devons nous référer à l’équation(4) pour l’intensité de l’accéléraion due à la gravité : où est la constante gravitationnelle universelle, est la masse du corps massif, et . Comme pour la partie précédente, nous devons utiliser la valeur de en mètres pour que l’accélération soit en mètres par seconde carrée (m/s2).
En remplaçant les valeurs numériques dans l’expression de , nous avons
Arrondie à deux décimales prés, nous obtenons
Partie 3
Pour cette troisième partie de la question, nous devons calculer l’intensité de la force gravitationnelle subie par B due à l’objet massif. Nous utilisons la même approche que pour l’objet A, en faisant appel à l’équation de la force gravitationnelle : mais cette fois, est la masse de B, donc nous devons utiliser la valeur de 100 kg. En substituant cette valeur et les mêmes valeurs de , , et que pour la première partie de la question, nous trouvons
En arrondissant à deux décimales prés, nous avons
Remarquez que comme la masse de B est 20 fois celle de A, la force gravitationnelle que B subit est également 20 fois celle subie par l’objet A.
Partie 4
Dans cette dernière partie de la question, nous devons trouver l’intensité de l’accélération de B vers le corps céleste. Comme pour l’objet A, on fait appel à l’équation où , , et . Comme l’intensité de l’accélération ne dépend pas de la masse de l’objet qui subit l’accélération, elle sera la même pour A et B, et nous avons à nouveau .
En résumé, nous savons maintenant que deux objets, de masses différentes et situées à la même distance d’une masse beaucoup plus grande, subissent la même intensité d’accélération gravitationnelle.
Le fait que l’accélération gravitationnelle ne dépend pas de la masse de l’objet qui subit l’accélération implique que des objets à la même distance d’un corps céleste tels qu’une lune ou une planète, subissent la même accélération due à la gravité.
Rappelons que l’accélération gravitationnelle à la surface de la Terre est approximativement . Nous pouvons maintenant voir d’où vient cette valeur, à l’aide de l’équation(4) avec la masse de la Terre . Pour un objet ou une personne au niveau de la surface de la Terre, sa distance par rapport au centre de masse de la Terre est approximativement égale au rayon de la Terre, . Nous devons nous rappeler de convertir la distance en mètres, de sorte que . En remplaçant ces valeurs dans l’équation nous obtenons arrondie à deux décimales près.
Strictement parlant, devrait être la distance entre le centre de la Terre et le centre de masse de l’objet. Cependant, pour tout objet sur ou près de la surface de la Terre, le supplément en distance que représente la hauteur ou l’altitude du centre de masse de l’objet est tout à fait négligeable devant le rayon de la Terre.
Nous pouvons illustrons ceci en considérant un objet au sommet de l'Everest, la plus haute montagne sur Terre, dont la hauteur est de 8 848 m. Pour calculer l’accélération gravitationnelle de cet objet haut perché, il aurait fallu ajouter la hauteur du mont Everest au rayon de la Terre, soit . Si nous utilisons cette valeur améliorée de , nous obtenons arrondie à deux décimales près.
Ceci est légèrement inférieur à la gravité ressentie à la surface de la Terre, et si on arrondit à une décimale près, les deux valeurs deviennent les mêmes, . Suivant le degré de précision requise, nous pouvons utiliser cette valeur pour l’accélération due à la gravité partout sur la Terre, que l’objet considéré soit au niveau de la mer ou aux sommets des montagnes.
L’accélération gravitationnelle terrestre s’emploie très fréquemment, on lui a donné le symbole spécial . Plus généralement, l’intensité du champ d’accélération due à la gravité sur ou près de la surface de tout corps céleste est appelée gravité de surface.
Définition: Gravité de surface
La gravité de surface est l’intensité du champ gravitationnel à la surface ou près de la surface d’un corps céleste tels qu’une lune ou une planète.
Nous pouvons calculer la gravité de surface de tout corps matériel en utilisant l’équation où est la constante gravitationnelle universelle, est la masse du corps céleste en kilogrammes, et est le rayon en mètres. La gravité de surface est une accélération et son unité est le mètres par seconde carrée (m/s2).
La gravité de surface est la même pour tout objet se trouvant à la surface (ou près de la surface) du corps céleste, quelle que soit la masse de l’objet.
Dans le cas de la Terre, la gravité de surface est .
Nous pouvons calculer la gravité de surface pour n’importe quel corps céleste sphérique, du moment que l’on connaît sa masse et son rayon. Nous allons voir tout de suite un exemple avec Ganymède, le plus gros satellite naturel de Jupiter.
Exemple 2: Déterminer la gravité de surface d’une lune
Ganymède est la plus grande lune de tout le Système solaire, avec une masse de et un rayon de 2 630 km. Quelle est la gravité de surface sur Ganymède ? Donnez la réponse arrondie à deux décimales près.
Réponse
Ganymède est un grand corps à peu près sphérique, nous pouvons calculer sa gravité de surface en utilisant où la constante gravitationnelle universelle , la masse de Ganymède , et le rayon de Ganymède .
Nous devons d’abord convertir le rayon en mètres, nous avons . Nous pouvons alors remplacer ces valeurs dans l’équation de ci-dessus, et nous trouvons
En arrondissant à deux décimales prés, nous trouvons
Comme l’accélération gravitationnelle qu’un objet subit ne dépend pas de la masse de cet objet, nous pouvons dire que c’est une propriété des points de l’espace à proximité d’un corps céleste, elle dépend uniquement de la masse du corps céleste et la distance depuis son centre de masse.
L’expression de l’équation(4) montre qu’à mesure que l’on s’éloigne du centre de masse du corps céleste, l’intensité du champ gravitationnelle diminue selon le carré de la distance. Souvent, des objets sont situés suffisamment loin d’un corps céleste pour qu’ils subissent significativement moins d’accélération gravitationnelle que s’ils se trouvaient plus près. Le terme général pour l’accélération due à la gravité en un point donné de l’espace est le champ gravitationnel local .
La gravité de surface n’est rien d’autre que l’accélération gravitationnelle locale à la surface d’un corps céleste sphérique.
Nous allons regarder tout de suite un exemple du champ gravitationnel local pour une position d’un satellite.
Exemple 3: Déterminer l’intensité du champ gravitationnel local en une position au-dessus de la surface de la Terre
La Station spatiale internationale est en orbite autour de la Terre à une distance de 409 km au-dessus de la surface terrestre. La Terre a une masse de et un rayon de 6 370 km. Quelle est l’intensité du champ gravitationnel à l’altitude de l’orbite de la Station spatiale internationale ? Donnez la réponse arrondie à deux décimales prés.
Réponse
La Station spatiale internationale (ou ISS d'après l'anglais International Space Station) est une station spatiale en orbite autour de la Terre. Elle est suffisamment éloignée de la surface de la Terre pour que l’accélération locale due à la gravité soit inférieure à la gravité à la surface de la Terre.
Afin de calculer l’accélération locale due à la gravité à l’altitude de l’orbite de la Station spatiale internationale, nous faisons appel à l’équation de l’intensité de l’accélération : où est la constante gravitationnelle universelle, et la masse de la Terre est donnée par l’énoncé de la question. Pour , nous devons déterminer la distance entre la Station spatiale internationale et le centre de masse de la Terre.
On nous donne le rayon de la Terre, que nous appellerons , et l’altitude de l’orbite de la Station spatiale internationale au-dessus de la surface de la Terre, que nous appellerons . Un schéma (non à l’échelle) est utile pour visualiser la configuration :
Nous pouvons voir que la distance entre la Station spatiale internationale et le centre de masse de la Terre est donné par .
Pour exprimer le résultat dans les unités du Système International, soit en mètres par seconde carrée (m/s2) pour l’accélération, doit être en mètres, donc .
Nous pouvons alors substituer cette valeur, avec celles de et , dans l’équation de , nous avons
En arrondissant à deux décimales prés, nous avons
Comme on s’attendait, cette valeur est inférieure à la gravité de surface de la Terre , de sorte que la Station spatiale internationale subit une accélération gravitationnelle moins intense que pour un objet au niveau de la surface de la Terre.
Parfois, il est utile de comparer l’accélération locale de gravité en différents points de l’espace. Dans le prochain exemple, nous allons comparer l’intensité de l’accélération locale de la gravité pour un satellite par rapport à la gravité de surface de la Terre.
Exemple 4: Déterminer le rapport des intensités du champ gravitationnel en deux points
Les satellites géostationnaires sont en orbite autour de la Terre à une distance de 35 786 km au-dessus de l’équateur. La Terre a une masse de et un rayon de 6 370 km. Quel est le rapport de l’intensité du champ gravitationnel à l’altitude du satellite géostationnaire sur celle à la surface de la Terre ? Donnez la réponse arrondie à trois décimales près.
Réponse
Un satellite géostationnaire est un satellite qui reste constamment au-dessus du même point de la surface de la Terre tout au long de son orbite. Nous parlerons de leurs orbites plus en détail dans d’autres fiches explicatives, mais pour l’instant, nous nous contentons de savoir qu’ils orbitent au-dessus de l’équateur à une altitude de 53 786 km.
Pour cette question, nous allons déterminer l’accélération locale due à la gravité à cette hauteur rapportée à la gravité de surface de la Terre. Si nous désignons par le rayon de la Terre et par la hauteur de l’orbite du satellite au-dessus de la surface de la Terre, alors la distance entre le satellite et le centre de masse de la Terre sera .
Pour calculer l’intensité du champ gravitationnel à l’altitude du satellite, nous avons l’équation où est la masse de la Terre, égale à , et est la distance entre le satellite et le centre de masse de la Terre.
Nous pouvons calculer la gravité de surface de la Terre à partir de cette même équation, en écrivant à la place de et en utilisant le rayon de la Terre comme distance, de sorte que
Nous pouvons alors trouver le rapport en divisant les membres de droite de ces expressions. Nous pouvons procéder par étape, d’abord écrivons l’expression de , en inversant le numérateur et le dénominateur, nous avons
Ensuite en explicitant et , nous avons :
En simplifiant qui apparaît au numérateur et au dénominateur de la fraction, nous obtenons avec le rayon de la Terre et la hauteur du satellite au-dessus du centre de masse de la Terre.
L’énoncé donne et nous pouvons calculer .
Normalement nous devons convertir les distances en mètres avant de substituer les valeurs dans l’équation, mais dans le cas présent, nous avons un rapport de deux longueurs, comme elles sont toutes les deux en kilomètres, les unités sont homogènes et se simplifient.
Dans ce cas, nous pouvons donc substituer directement les valeurs de et dans l’expression de et nous obtenons
Arrondie à trois décimales prés, nous avons
Comme il s’agit d’un rapport de deux grandeurs de même dimension, en occurrence deux accélérations, il est normal que le quotient soit un nombre adimensionnel, donc sans unité.
L’exemple ci-dessus montre que le rapport des intensités de l’accélération gravitationnelle à deux distances différentes du centre du corps massif qui génère le champ d’accélération, disons de l’accélération à la distance et de l’accélération à la distance , n’est fonction que du rapport des distances, de sorte que
Rappelez-vous que l’accélération gravitationnelle est inversement proportionnelle au carré de la distance, de sorte que si est au numérateur dans le membre de gauche, alors doit être au dénominateur dans le membre de droite, et vice versa pour et .
Jusqu’à présent, quand nous étudions un système composé d’un petit objet au voisinage d’un grand corps sphérique tel qu’une lune ou une planète, nous avons seulement considéré l’accélération gravitationnelle pour le petit objet. En réalité, le petit objet et le grand corps subissent une accélération due à la masse de l’autre.
Si nous avons un grand corps de masse , l’accélération de ce corps est lié à la force résultante agissant sur celui-ci par où la force résultante est la force gravitationnelle due à la présence du petit objet de masse . Cette force est donnée par la loi de la gravitation de Newton, c’est-à-dire l’équation(2) :
Comme il s’agit de la même force, les membres de droite des deux expressions sont égaux :
Cette fois, nous pouvons diviser les deux côtés de l’équation par , d’où
Ainsi, le grand corps subit une accélération due à la gravité générée par la masse du petit objet de la même manière que le petit objet est accéléré vers le grand corps.
Dans les deux cas, l’accélération agit le long de la ligne reliant les centres de masse des deux objets, et tente de les rapprocher. Il est crucial de noter que, bien que la force gravitationnelle soit la même pour les deux objets, les accélérations subies par les deux objets ne sont pas les mêmes. L’accélération subie par un objet est proportionnelle à la masse de l’autre objet. Cela signifie que pour deux objets en interaction gravitationnelle, celui avec la plus petite masse subit la plus grande accélération.
Cela peut nous aider à comprendre pourquoi la Terre ne bouge pas en raison de la gravité des personnes, des bus sur sa surface ou des satellites dans son voisinage. Voyons cela avec un exemple numérique dans lequel on considère la réaction de la Terre à la gravité d’une personne.
Exemple 5: Déterminer l’accélération de la Terre due à la gravité d’une personne
Une personne de 75 kg saute au sol depuis une table de 1 m de haut. Si la Terre a un rayon de 6 370 km, quelle est l’accélération de la Terre due à la force gravitationnelle entre la Terre et la personne pendant que la personne est en l’air ? Donnez la réponse en notation scientifique, arrondie à deux décimales près.
Réponse
Ici, nous considérons l’accélération de la Terre due à la gravité d’une personne à 1 m au-dessus de la surface de la Terre. Nous pouvons utiliser un schéma pour faire apparaître les longueurs.
Ce schéma n’est bien sûr pas à l’échelle, et en réalité nous n’avons pas besoin de considérer la courbure de la Terre ; la surface est essentiellement plate à l’échelle de la table et d’une personne.
Pour trouver l’accélération de la Terre due à la gravité, nous faisons appel à l’équation où est la constante gravitationnelle universelle, est la masse de la personne, donnée dans l’énoncé de la question, égale à , et est la distance entre la personne et le centre de masse de la Terre. Sur le schéma, nous pouvons voir que si le rayon de la Terre est , soit 6 370 000 m, et la hauteur de la personne au-dessus de la surface est 1 m, alors .
En pratique, est si petite par rapport à que nous pouvons simplement utiliser et obtenir la même réponse pour la précision requise.
En substituant ces valeurs, nous trouvons
En notation scientifique arrondie à deux décimales près, cela devient
Nous pouvons voir que l’accélération de la Terre due à la gravité d’une personne est extrêmement faible ; cela montre pourquoi la Terre n’est pas affectée par le mouvement des personnes et des bus.
De la même manière que la Terre n’est pas accélérée vers les petits objets de sa surface, le Soleil ne subit qu’une petite accélération gravitationnelle vers la Terre. En effet, la masse du Soleil est environ un million de fois plus grande que celle de la Terre, donc l’accélération qu’il subit est beaucoup plus petite que l’accélération subit par la Terre vers le Soleil, mais l’influence gravitationnelle de la Terre sur le Soleil est toute même suffisante pour que l’on puisse mesurer de très légers vacillements dans la position du Soleil. Au-delà du système solaire, l’accélération gravitationnelle des étoiles due à leurs planètes est l’une des mesures qui permettent aux astrophysiciens de détecter des planètes en orbite autour des étoiles. Les planètes elles-mêmes sont trop petites et trop ternes pour être visibles, mais les légères oscillations des étoiles sont suffisantes pour déduire leur présence.
Points clés
- L’accélération gravitationnelle d’un objet dans les voisinages d’un autre objet de masse dépend de et du carré de la distance entre les centres de masse des deux objets, suivant la relation
- L’accélération gravitationnelle subie par un objet ne dépend pas de la masse de cet objet.
- La gravité de surface est l’accélération gravitationnelle sur ou près de la surface d’un corps massif sphérique.
- La gravité de surface de la Terre, , c’est l’accélération gravitationnelle subie par un objet quelconque sur ou près de la surface de la Terre.
- Le nom général pour l’accélération en différents points autour d’un corps massif est le champ gravitationnel local.
- Les corps massifs, tels que la Terre, subissent également des accélérations dues à la gravité des petits objets à sa surface et à leur proximité, mais elles sont généralement trop petites pour être mesurables.
