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Vidéo de la leçon: Gravité de surface Physique • Première année secondaire

Dans cette vidéo, nous allons apprendre comment calculer la gravité de surface d’une planète ou d’une lune en fonction de sa masse et de son rayon.

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Transcription de la vidéo

Dans cette vidéo, nous traitons de la gravité de surface. Ce terme fait référence à une accélération due à la gravité que subissent tous les objets sur ou à proximité de la surface d’un grand objet sphérique. C’est la gravité de surface, par exemple, qui attire nous ainsi que les objets autour de nous vers le centre de la Terre.

Nous pouvons commencer à comprendre d’où vient la gravité de surface en considérant deux autres lois de la physique. Les deux provenant d’Isaac Newton, l’une d’elles est la loi de la gravitation. Celle-ci dit que la force gravitationnelle entre deux masses, l’une appelée 𝑀 majuscule et l’autre 𝑚 minuscule, est égale au produit de ces masses multiplié par la constante gravitationnelle universelle, grand 𝐺, divisée par la distance entre les centres de masse de nos masses au carré. C’est ce qu’on appelle parfois la loi de la gravitation universelle car ces deux masses, M majuscule et m minuscule, pourraient être n’importe quoi. Et, peu importe ce qu’ils représentent, cette équation nous indique la force gravitationnelle entre les masses.

L’autre loi de Newton que nous considérerons est sa deuxième loi du mouvement. Cette loi nous dit que la force nette sur un objet est égale à la masse de l’objet multipliée par son accélération. L’une des conditions importantes de la deuxième loi de Newton sur le mouvement est que cette force est ici la force nette sur notre masse 𝑚. Sachant cela, imaginons un scénario où nous avons une certaine masse 𝑚. Et la force nette, en effet la seule force agissant sur cet objet, est la force gravitationnelle qu’elle subit entre elle-même et une autre masse, 𝑀 majuscule. En d’autres mots, imaginons que ces deux masses, 𝑚 minuscule et M majuscule, sont les seules masses de l’univers.

Dans ce cas, la seule force agissant sur cette plus petite masse est la force gravitationnelle entre celle-ci et la plus grande. On peut donc dire que la force nette agissant sur notre masse, 𝑚 minuscule, est égale à la force gravitationnelle sur celle-ci. Et cela signifie que le côté droit de notre équation de la loi de la gravitation est égal au côté droit de notre équation de la deuxième loi de Newton. Et en regardant cette nouvelle équation, remarquez ce qui est commun aux deux côtés. C’est la masse 𝑚 minuscule. Cela signifie que si nous divisons les deux côtés de l’équation par cette masse, elle s’annulera complètement.

Et l’équation qui nous reste dit que la constante gravitationnelle universelle multipliée par la masse du plus grand objet 𝑀 divisé par la distance entre les centres de masse des deux masses au carré est égale à l’accélération subie par la plus petite masse, m minuscule. Et remarquez quelque chose d’intéressant à propos de cette équation. Elle ne dépend pas de la valeur de la plus petite masse; c’est-à-dire que 𝑚 minuscule n’est nulle part dans l’équation. Maintenant, cela ne signifie pas que la position de cet objet avec une masse m minuscule est sans importance. Parce que nous voyons dans le dénominateur à gauche cette valeur 𝑟. Rappelons que c’est la distance entre nos deux masses.

Ainsi, l’accélération de cet objet, qui a une masse 𝑚 minuscule, ne dépend pas de cette masse, mais elle dépend de la position de l’objet par rapport à la plus grande masse, M majuscule. Maintenant, pour rappel, cette force gravitationnelle dont nous parlons est une force mutuelle entre ces deux masses. L’intensité de la force agissant sur cet objet est la même que l’intensité de la force agissant sur celui-ci. Si nous avions écrit la deuxième loi du mouvement un peu différemment, dans ce cas, pour mettre en évidence la plus grande masse M majuscule. Alors, lorsque nous combinons cette équation de force avec la loi de la gravitation, nous aurions constaté que c’est la plus grande des deux masses, celle représentée par M majuscule, qui s’annule dans cette équation. Et puis, l’accélération 𝑎 dont nous parlerons est l’accélération subie par cette masse plus grande, 𝑀 majuscule.

Donc, pour être complet, nous pourrions venir ici et spécifier que cette accélération est celle subie par la plus petite masse, 𝑚 minuscule. L’important est que, en raison de la force de gravité mutuelle entre ces deux objets, chacun aura tendance à accélérer vers l’autre. Et l’accélération sur ces objets n’est pas la même, même si la grandeur de la force qui agit sur chacun d’eux l’est. L’accélération de chaque objet dépend de la masse de l’autre objet et de la distance entre les centres de masse des deux masses.

Maintenant, cette relation-ci, qui est vraie en général pour deux masses quelconques, nous est particulièrement utile lorsque notre masse plus grande - nous l’appelons 𝑀 majuscule - se réfère à la masse d’un très grand corps sphérique, comme une planète ou une lune. Et notre plus petit objet, avec la masse 𝑚 minuscule, est sur ou à proximité de la surface de notre plus grand objet. Un bon exemple de cela est quand il y a une personne, disons que c’est nous, qui se tient à la surface de la Terre. Si nous disons que notre masse est représentée par 𝑚 minuscule et la masse de la Terre par M majuscule, alors cette équation-ci décrit l’accélération que nous subissons en nous tenant à la surface de la Terre. En d’autres mots, c’est la gravité à la surface de la Terre.

Et remarquez que, comme nous l’avons dit précédemment, cette accélération ne dépend pas de notre masse. Donc, cette accélération 𝑎 est en fait l’accélération ressentie par tout objet sur ou à proximité de la surface de la Terre. Maintenant, nous devons être un peu prudents lorsque nous disons cela. Car rappelez-vous que ce 𝑟 représente ici la distance entre le centre de masse de la Terre, où pratiquement toute sa masse est concentrée, et notre position sur la surface de la Terre.

Donc, techniquement, si nous faisions quelque chose, comme grimper sur un escabeau, cette distance représentée par r augmenterait, et cela ferait diminuer l’accélération que nous subissons, la gravité à la surface de la Terre. Il s’avère cependant que pour de petits changements d’altitude comme celui-ci, cette équation est toujours si proche de la valeur correcte que nous la considérons comme étant essentiellement exacte. En d’autres termes, la différence de distance entre le rayon de la Terre et le rayon de la Terre plus cette petite distance que nous avons grimpée est si petite qu’elle n’a pas vraiment d’effet sur l’accélération que nous subissons.

Et donc, nous pouvons dire que cette accélération est égale à l’accélération due à la gravité subie par tout objet qui se trouve sur ou à proximité de la surface de la Terre. C’est pourquoi tous les objets situés près de cette surface tombent au même rythme, quelle que soit leur masse. Soit dit en passant, pour le cas spécifique où nous parlons de l’attraction gravitationnelle de la Terre, cette accélération, ce que nous avons appelé 𝑎 indice 𝑀, est indiqué par un symbole spécifique. Elle est représentée par un 𝑔 minuscule. La valeur de 𝑔 minuscule, rappelons-le, est d’environ 9,8 mètres par seconde au carré.

C’est ce que nous obtenons si nous prenons la masse de la Terre, la multiplions par la constante gravitationnelle universelle, puis divisons ce produit par le rayon de la Terre au carré. Essayez-le vous-même et voyez. Sachant tout cela à propos de l’accélération due à la gravité, nous allons nous entraîner avec ces concepts à travers un exemple.

Deux objets, l’objet A avec une masse de cinq kilogrammes et l’objet B avec une masse de 100 kilogrammes, se trouvent à proximité d’un objet encore plus grand avec une masse de 10 puissance 20 kilogrammes. L’objet A et l’objet B sont à égale distance, 100 kilomètres, du centre de masse du très grand objet. Quelle est l’intensité de la force gravitationnelle subie par l’objet A à cause du très grand objet? Donnez votre réponse à trois chiffres significatifs.

En regardant notre croquis, nous voyons un objet de cinq kilogrammes. Cela doit être l’objet A. Et aussi, nous voyons une masse de 100 kilogrammes. Cela doit être l’objet B. L’objet A et l’objet B interagissent par gravitation avec ce très grand objet sphérique. Maintenant, cet objet est représenté ici par un rectangle qui n’est pas beaucoup plus grand que A et B. Mais nous pouvons imaginer qu’en fait cet objet est si grand qu’il ne pourrait pas tenir sur l’écran à cette échelle. Nous en avons une indication grâce à la très grande masse de cet objet.

Donc, nous pourrions presque penser à ces trois objets, A et B et notre grand objet sphérique, comme si notre grand objet sphérique est la Terre, l’objet B, par exemple, est une personne, et l’objet A est un livre que la personne tient. C’est à peu près l’échelle dont nous parlons lorsque nous considérons ces trois objets. Notre première question liée à ce scénario dit: quelle est l’intensité de la force gravitationnelle que l’objet A subit à cause de l’objet très grand?

Pour commencer à élucider cela, notons certaines des informations qui nous ont été données. Tout d’abord, on nous a dit que notre grand objet sphérique a une masse, nous l’appellerons M majuscule, de 10 puissance 20 kilogrammes. Et on nous dit également que la distance entre le centre de masse de ce grand objet sphérique, c’est-à-dire là où pratiquement toute sa masse est concentrée, et nos deux autres objets, l’objet A et l’objet B, sont les mêmes. C’est 100 kilomètres. Nous appellerons cette distance 𝑟. Et comme nous le voyons, il en va de même pour l’objet A et l’objet B par rapport à notre grand objet sphérique. Une fois ces valeurs notées, libérons de l’espace et considérons à nouveau notre question.

Nous voulons connaître l’intensité de la force gravitationnelle ressentie par l’objet A, c’est cet objet ici, à cause de notre très grand objet sphérique. Alors, rappelons l’équation générale, appelée loi de Newton sur la gravitation, qui décrit la force de gravité entre deux objets de masse. Cette équation nous dit que cette force est égale au produit de ces masses. Nous les appellerons respectivement M majuscule et m minuscule. Multiplié par la constante gravitationnelle universelle, 𝐺 majuscule, divisé par la distance entre nos deux masses au carré.

Maintenant, la constante gravitationnelle, grand 𝐺, est approximativement égale à 6,67 fois 10 puissance moins onze mètres cubes par kilogramme seconde au carré. Donc, si nous voulons connaître la force gravitationnelle sur l’objet A causée par le très grand objet, nous pouvons appeler cette force 𝐹 indice A, puis nous prendrons cette constante et nous la multiplierons par la masse de notre grand objet. Et multiplierons cela par la masse de l’objet A, que nous appellerons 𝑚 indice A, et divisons tout cela par la distance entre les centres de masse de l’objet A et notre grand objet sphérique au carré.

Lorsque nous substituons les valeurs de toutes ces variables, nous pouvons calculer l’intensité de la force, sauf qu’il reste une chose à faire avant. Remarquez que la distance dans notre dénominateur est en kilomètres. Afin de l’accorder avec les unités de distance dans le reste de notre expression, nous aimerions convertir cela en mètres. On peut rappeler qu’un kilomètre est égal à 1000 mètres et donc 100 kilomètres font 100000 mètres. Avec tout cela réglé, lorsque nous calculons cette fraction, à trois chiffres significatifs, nous trouvons un résultat de 3,34 newtons. C’est l’intensité de la force gravitationnelle ressentie par l’objet A à cause du très grand objet.

Maintenant, considérons la question suivante dans cet exercice.

Quelle est l’accélération de l’objet A vers le très grand objet? Donnez votre réponse à trois chiffres significatifs.

D’accord, nous avons calculé la force gravitationnelle entre ces objets. Et maintenant, nous voulons calculer l’accélération subie par l’objet A. Nous pouvons commencer à le faire en rappelant la deuxième loi de Newton sur le mouvement. Selon cette loi, la force nette sur un objet est égale à la masse de cet objet multipliée par son accélération. L’accélération, dans le cas de l’objet A, est exactement ce que nous voulons calculer. Et voici comment nous pouvons le faire. Comme nous l’avons vu, la deuxième loi de Newton dit que la force nette sur un objet est égale à la masse de cet objet multipliée par son accélération.

Lorsque nous pensons aux forces agissant sur l’objet A, nous pouvons voir qu’il y en a deux. L’une est la force gravitationnelle due à l’objet B et l’autre est la force gravitationnelle due au grand objet sphérique. Mais attention à cela. La force entre A et B est beaucoup, beaucoup, beaucoup plus petite que la force entre A et le grand objet sphérique. C’est parce que la masse de notre grand objet dépasse de loin la masse de l’objet B. On peut alors dire que la force gravitationnelle sur l’objet A due au très grand objet est pratiquement la seule force sur l’objet A.

Et cela signifie que nous pouvons dire que cette équation est égale à la masse de l’objet A multipliée par l’accélération de l’objet A. Nous l’appellerons 𝑎 indice A. Et notez que nous avons obtenu cette expression-ci de la deuxième loi de Newton. Mais maintenant, alors que nous considérons cette équation, remarquez que la masse de l’objet A apparaît des deux côtés, et donc nous pouvons l’annuler. Si nous faisons cela, voilà l’équation qui en résulte. L’accélération de l’objet A est égale à la constante gravitationnelle universelle multipliée par la masse de notre très grand objet divisée par la distance entre les centres de masse de l’objet A et notre très grand objet au carré.

Maintenant, en considérant cette partie de notre expression ici, nous pouvons voir qu’elle est en fait égale à cette expression si nous supprimons la masse de notre objet, dans ce cas, l’objet A. Cette masse ayant disparue, voyez que nous avons la constante gravitationnelle, 𝐺 majuscule, multipliée par la masse de notre grand objet divisée par 𝑟 au carré. Qui sont identiques aux facteurs que nous voyons ici à droite de cette équation. Donc, si nous calculons tout cela, nous obtiendrons l’accélération de l’objet A due à l’objet très grand. A trois chiffres significatifs, c’est 0,667 mètre par seconde au carré. C’est l’accélération de l’objet A vers le très grand objet.

Maintenant, considérons la prochaine partie de notre exercice.

Quelle est l’intensité de la force gravitationnelle subie par l’objet B à cause du très grand objet? Donnez votre réponse à trois chiffres significatifs.

Bon, alors qu’auparavant, nous envisagions la force gravitationnelle entre l’objet A et le grand objet sphérique, nous considérons maintenant cette force entre le grand objet et l’objet B. Une fois de plus, nous nous servirons la loi de gravitation de Newton pour calculer cette force. Mais cette fois, au lieu de calculer la force ressentie par l’objet A, nous allons calculer celle ressentie par l’objet B. Et nous dirons que cet objet a une masse 𝑚 indice B. Parce que les deux objets A et B sont à la même distance du centre de masse de notre grand objet sphérique, nous ne changerons pas 𝑟, la distance entre les centres de masse des deux masses dans notre équation. Ce qui signifie que lorsque nous allons calculer cette force, 𝐹 indice B, en utilisant une expression comme celle-ci, tout ce que nous devons faire est de substituer la masse de l’objet B là où nous avions la masse de l’objet A.

Nous voyons que cette masse est de 100 kilogrammes. Et donc, maintenant, nous avons une expression qui, lorsque nous la calculons, nous donnera cette force ressentie par l’objet B à cause de l’attraction gravitationnelle du grand objet sphérique. À trois chiffres significatifs, cette force est de 66,7 newtons. Notez que cela est supérieur à la force subie par l’objet A. En fait, elle est 20 fois plus grande car l’objet B a une masse 20 fois plus grande que l’objet A.

Maintenant que nous avons trouvé cela, considérons la dernière partie de notre question.

Quelle est l’accélération de l’objet B vers le très grand objet? Donnez votre réponse à trois chiffres significatifs.

Pour répondre à cette question, encore une fois, nous utiliserons la deuxième loi de Newton sur le mouvement. Et comme pour l’objet A, nous supposerons également que la force gravitationnelle entre les objets A et B est négligeable par rapport à cette force entre l’objet B et le très grand objet. Cela signifie que nous pouvons dire que la masse de l’objet B multipliée par son accélération est égale à la force gravitationnelle subie par l’objet B due au très grand objet. Donc, nous pouvons prendre notre équation pour cette force, et nous pouvons l’assimiler à la masse de l’objet B fois l’accélération de l’objet B. Nous l’appellerons 𝑎 indice B.

Et puis, comme nous l’avons vu précédemment, la masse de notre objet, dans ce cas, l’objet B, est commune aux deux côtés. Et cela signifie que l’accélération ressentie par l’objet B est égale à 𝐺 majuscule fois la masse de notre très grand objet divisée par la distance entre B et notre très grand objet au carré. Et cette expression-ci est égale à cette expression-là si nous ignorons cette masse de notre objet B. Et donc, pour résoudre pour 𝑎 indice B, nous allons multiplier la constante gravitationnelle universelle par la masse de notre grand objet divisée par la distance entre cet objet et B au carré.

A trois chiffres significatifs, c’est 0,667 mètre par seconde au carré. Notez que celle-ci est la même que l’accélération ressentie par l’objet A. Et cela revient au fait que notre équation pour l’accélération d’un objet ne dépend pas de la masse de l’objet dont nous envisageons l’accélération. Donc, c’est ainsi que l’objet B et l’objet A, et tout autre objet, vont s’accélérer vers le très grand objet.

Rappelons maintenant quelques points clés sur la gravité de surface.

En partant de la loi de la gravitation de Newton et de sa deuxième loi sur le mouvement, nous avons vu que ces lois peuvent être combinées pour donner une expression de l’accélération que l’une des masses impliquées subirait. Nous avons noté que s’il s’agit d’une accélération de la masse indiquée par un m minuscule. Alors, de manière équivalente, l’autre masse, indiquée par un 𝑀 majuscule dans la loi de gravitation de Newton, subit également une accélération due dans ce cas à la plus petite masse, 𝑚 minuscule. En relation avec cela, nous avons vu que l’accélération que subit un objet ne dépend pas de sa masse. Et enfin, nous avons vu que la gravité de surface décrit l’accélération d’un objet quand il se trouve sur ou à proximité d’un objet sphérique beaucoup plus grand.

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