Question Video: Utiliser les rapports trigonométriques pour résoudre des problèmes impliquant des cercles Mathématiques • Third Year of Preparatory School

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Le segment 𝐴𝐵 est un diamètre d’un cercle de rayon 62 centimètres et demi. Le point 𝐶 est sur la circonférence du cercle où le segment 𝐴𝐶 est perpendiculaire au segment 𝐶𝐵 et 𝐴𝐶 égal à 75 centimètres. Déterminez les valeurs exactes de cosinus 𝐴 et sinus 𝐵.

La première chose que nous pouvons faire est d’ajouter sur cette figure les informations que nous connaissons. La figure a déjà les points 𝐴, 𝐵 et 𝐶. Elle a également déjà l’intersection perpendiculaire de 𝐴𝐶 et 𝐶𝐵. Il s’agit de cet angle droit. On nous dit que le rayon est de 62 et demi. Nous pouvons utiliser cela pour trouver le diamètre. Le diamètre est égal à deux fois le rayon. Deux fois 62 et demi égale 125. Et cela signifie que le segment 𝐴𝐵 mesure 125 centimètres. 𝐴𝐶 mesure 75 centimètres. Nous voulons connaître le cosinus de 𝐴 et le sinus de 𝐵.

Nous utilisons parfois l’acronyme SOH CAH TOA pour nous aider à nous souvenir des relations sinus, cosinus et tangente. Le sinus de 𝜃 est égal à la longueur de son côté opposé sur l’hypoténuse. Et le cosinus de 𝜃 est égal à la longueur du côté adjacent sur l’hypoténuse.

Considérons d’abord le cosinus de l’angle 𝐴. La longueur du côté adjacent à l’angle 𝐴 mesure 75 centimètres. 75 est le numérateur. L’hypoténuse d’un triangle rectangle est son côté le plus long. Et elle est toujours l’opposé de l’angle droit. Dans le cas présent, l’hypoténuse mesure 125. Donc 125 est le dénominateur. Nous pouvons simplifier cette fraction. 75 et 125 sont tous deux divisibles par 25. Donc nous divisons le numérateur et le dénominateur par 25. 75 divisé par 25 égale trois. Et 125 divisé par 25 égale cinq. Le cosinus de 𝐴 est trois cinquièmes.

Maintenant, nous allons considérer le sinus de l’angle 𝐵. La longueur du côté opposé de l’angle 𝐵 est de 75 centimètres. 75 est le numérateur. Et parce que l’angle 𝐵 fait partie du même triangle que l’angle 𝐴, ils ont la même hypoténuse, qui mesure 125. 75 sur 125 peut, encore une fois, être simplifié en trois cinquièmes. Le cosinus de 𝐴 et le sinus de 𝐵 sont égaux. Ils sont tous les deux égaux à trois sur cinq.