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Déterminez la mesure de l'angle aigu formé par les deux droites 𝐿₁ et 𝐿₂ d’équations 𝐫 égale deux, moins sept plus 𝑘 fois moins un, huit et 𝑥 égale trois plus 12𝑑, 𝑦 égale quatre 𝑑 moins cinq, en degrés, minutes et secondes d’arc, à la seconde d’arc près.
Dans cette question, on nous donne les équations de deux droites, l'une sous forme vectorielle et l'autre sous forme paramétrique. On veut utiliser ces équations pour déterminer la mesure de l'angle aigu entre les deux droites. Notre réponse doit être exprimée en degrés, minutes et secondes d’arc, à la seconde d’arc près.
Nous rappelons pour cela que si 𝛼 est la mesure de l'angle aigu entre deux droites de pentes 𝑚 un et 𝑚 deux, alors alpha satisfait à l'équation tangente alpha égale valeur absolue de 𝑚 un moins 𝑚 deux sur un plus 𝑚 un fois 𝑚 deux. On peut donc trouver la mesure de l'angle aigu entre les droites en trouvant les pentes de chaque droite. Commençons par la droite donnée sous forme vectorielle.
Rappelons que le vecteur directeur de la droite nous indique les composantes horizontale et verticale d'un vecteur parallèle à la droite. En particulier, la pente de la droite est donnée par 𝑦 un sur 𝑥 un, à condition que 𝑥 un soit non nul. Selon l'équation vectorielle donnée, on voit que 𝑥 un est moins un et 𝑦 un est égal à huit. Il suffit donc de substituer ces valeurs dans la formule pour trouver que la pente de la droite est moins huit.
De la même manière, on peut rappeler que si un couple d'équations paramétriques, 𝑥 égale 𝑎 zéro plus 𝑏 zéro 𝑑 et 𝑦 égale 𝑎 un plus 𝑏 un 𝑑, représente une droite, alors le quotient des coefficients du paramètre 𝑑 nous indique la pente de la droite, sous condition que 𝑏 zéro soit non nul. On a donc que 𝑚 deux sera égal à 𝑏 un divisé par 𝑏 zéro. On peut maintenant substituer les valeurs de la paire d'équations paramétriques donnée dans cette formule. On voit que 𝑏 zéro est 12 et 𝑏 un est quatre. On trouve donc que 𝑚 deux est égal à un tiers.
On peut maintenant trouver une équation pour alpha en substituant ces pentes dans la formule de la mesure de l'angle aigu entre les deux droites. On obtient que tangente alpha est égale à la valeur absolue de moins huit moins un tiers divisé par un plus moins huit fois un tiers. On peut ensuite évaluer séparément le numérateur et le dénominateur pour obtenir la valeur absolue de moins 25 sur trois divisé par moins cinq sur trois. On peut évaluer cela en simplifiant par le facteur commun de moins cinq tiers dans le numérateur et le dénominateur et trouver que tangente alpha est égale à cinq.
Puisque nous voulons la mesure de l'angle aigu entre les droites, on peut directement déterminer alpha en appliquant la fonction réciproque de la tangente aux deux côtés de l'équation. Il n'est pas nécessaire de se préoccuper des autres solutions de cette équation. Nous avons que alpha est égal à la fonction réciproque de tangente cinq. Pour trouver cette valeur, nous pouvons utiliser une calculatrice réglée en mode degrés. On obtient alors que alpha est égal à 78,69 ainsi de suite degrés.
On veut donner notre réponse en degrés, minutes et secondes. Et nous pouvons le faire en appuyant sur le bouton de conversion de notre calculatrice. Cela nous donne 78 degrés, 41 minutes, et 24,24 ainsi de suite secondes. Il nous faut maintenant arrondir à la seconde d’arc la plus proche. Nous obtenons ainsi notre réponse finale : la mesure de l'angle aigu entre les deux droites données est de 78 degrés, 41 minutes et 24 secondes à la seconde d’arc près.
