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Dans le développement de 𝑥 au carré moins un demi le tout à la puissance huit suivant les puissances décroissantes de 𝑥, déterminez le deuxième terme en partant de la fin.
Dans cette question, on trouve une expression du binôme de la forme 𝑎 plus 𝑏 le tout élevé à la puissance 𝑛. On rappelle que la formule du binôme de Newton établit que cela est égal à zéro parmi 𝑛 multiplié par 𝑎 puissance 𝑛 plus un parmi 𝑛 multiplié par 𝑎 puissance 𝑛 moins un multiplié par 𝑏 puissance un, ainsi de suite.
Nous avons mis en évidence le terme général, où 𝑟 parmi 𝑛 égale factorielle 𝑛 divisée par factorielle 𝑛 moins 𝑟 multipliée par factorielle 𝑟. En allant terme à terme de gauche à droite, les puissances de 𝑎 diminuent et les puissances de 𝑏 augmentent. L'expression dans cette question est 𝑥 au carré moins un demi tout élevé à la puissance huit. Cela signifie que 𝑎 sera égal à 𝑥 au carré, 𝑏 sera égal à moins un demi, et 𝑛 sera égal à huit.
On peut écrire tout le développement. Mais nous ne sommes intéressés que par le deuxième terme en partant de la fin. À partir du développement général, celui-ci serait égal à sept parmi huit multiplié par 𝑎 puissance un multiplié par 𝑏 puissance sept. En substituant nos valeurs de 𝑎 et 𝑏, on obtient sept parmi huit multiplié par 𝑥 au carré puissance un multiplié par moins un demi puissance sept.
Sept parmi huit est égale à factorielle huit divisée par factorielle un multipliée par factorielle sept. On rappelle que factorielle huit peut être réécrite comme huit multiplié par factorielle sept. Et factorielle un est un. On peut donc simplifier par factorielle sept ce qui donne que sept parmi huit est égale à huit. Et 𝑥 au carré puissance un est juste 𝑥 au carré. Et comme moins deux puissance sept est moins 128, moins un demi puissance sept est moins un sur 128. Comme 128 égale huit fois 16, notre expression se simplifie en moins 𝑥 au carré sur 16. C'est le deuxième terme à partir de la fin du développement de 𝑥 au carré moins un demi le tout élevé à la puissance huit.
