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Un corps de 45 newtons est au repos sur un plan horizontal rugueux. Si une force horizontale de 11 newtons agit sur le corps, celui-ci serait sur le point de bouger. Au lieu de cela, une force dont la ligne d’action était inclinée par rapport à l’horizontale à un angle de 60 degrés agit sur le corps. Étant donné que le corps est sur le point de bouger, trouvez l’intensité de cette force en arrondissant votre réponse au centième près si nécessaire.
Il y a deux scénarios que nous devons considérer dans cette question. Dans les deux cas, le corps est sur le point de bouger et donc il est en équilibre. Cela signifie que lorsque nous décomposons les forces à la verticale et à l’horizontale, la somme des forces sera égale à zéro. Nous savons également que la force de frottement maximale 𝐹 𝑟 entre un corps et une surface rugueuse est égale à 𝜇 multipliée par 𝑅, où 𝜇 est le coefficient de frottement et 𝑅 est la force de réaction normale.
Commençons par faire un diagramme de corps libre du premier scénario. On nous dit que le corps pèse 45 newtons. Par conséquent, cette force agira verticalement vers le bas. En considérant la troisième loi de Newton, il y aura une force de réaction normale agissant verticalement vers le haut. Une force horizontale de 11 newtons agit sur le corps. Et la force de frottement 𝐹 𝑟 agira dans le sens opposé à cela. En décomposant verticalement, nous avons 𝑅 moins 45 est égal à zéro, où le sens positif est la verticale vers le haut. En ajoutant 45 aux deux côtés de cette équation, nous avons 𝑅 est égal à 45. La force de réaction normale agissant sur le corps est de 45 newtons.
Après, en décomposant horizontalement, nous avons 11 moins 𝐹 𝑟 est égal à zéro. En ajoutant la force de frottement aux deux côtés de cette équation, nous avons 𝐹 𝑟 est égal à 11. La force de frottement est égale à 11 newtons. Nous pouvons utiliser ces valeurs pour calculer le coefficient de frottement 𝜇. Nous avons l’équation 11 égale 𝜇 multipliée par 45. Et en divisant les deux côtés de l’équation par 45, on obtient 𝜇 égale 11 sur 45.
Voyons maintenant le deuxième scénario où, au lieu d’une force de 11 newtons, nous avons une force inclinée par rapport à l’horizontale d’un angle de 60 degrés. Cette force 𝐹 aura une composante horizontale et une composante verticale. Et nous pouvons les calculer en utilisant nos connaissances de trigonométrie. La composante horizontale 𝑥 est adjacente à l’angle de 60 degrés, tandis que la composante verticale est opposée à l’angle de 60 degrés. Nous savons que le cos de tout angle 𝜃 dans un triangle rectangle est égal au côté adjacent sur l’hypoténuse. Cela signifie que le cos de 60 degrés est égal à 𝑥 sur 𝐹.
Le cos de 60 degrés est égal à un demi. Et en multipliant par 𝐹, nous avons 𝑥 est égal à un demi 𝐹. La composante horizontale de notre force est un demi 𝐹. De la même manière, puisque le sin de l’angle 𝜃 est égal au côté opposé sur l’hypoténuse, nous avons le sin de 60 degrés est égal à 𝑦 sur 𝐹. Le sin de 60 degrés est la racine de trois sur deux. Par conséquent, 𝑦 est égal à la racine de trois sur deux 𝐹. C’est la composante verticale de la force.
Nous pouvons ensuite analyser les forces à la verticale et à l’horizontale. Comme le corps est toujours en équilibre, pour la verticale, nous avons 𝑅 plus la racine trois sur deux 𝐹 moins 45 est égal à zéro. Et pour l’horizontale, nous avons un demi 𝐹 moins la force de frottement 𝐹 𝑟 égale zéro. Puisque cette force de frottement est égale à 𝜇 multipliée par 𝑅 et 𝜇 est égale à 11 sur 45, cela peut être réécrit comme un demi 𝐹 moins 11 sur 45 𝑅 est égal à zéro.
Nous avons une paire d’équations simultanées que nous pouvons résoudre pour calculer la valeur de 𝐹. Une façon de le faire est par substitution. Et nous commençons par isoler 𝑅 dans la première équation. Nous ajoutons 45 et soustrayons la racine de trois sur deux 𝐹 des deux côtés de sorte que 𝑅 soit égal à 45 moins la racine de trois sur deux 𝐹. Nous pouvons alors substituer cette expression à 𝑅 dans la deuxième équation. Cela nous donne un demi 𝐹 moins 11 sur 45 multiplié par 45 moins racine trois sur deux 𝐹 est égal à zéro. Nous pouvons alors éliminer les parenthèses, ce qui nous donne un demi 𝐹 moins 11 plus 11 racine trois sur 90 𝐹 est égal à zéro.
Nous allons libérer de l’espace et résoudre cette équation. Tout d’abord, nous pouvons ajouter 11 des deux côtés. On peut alors ajouter les coefficients de 𝐹 tels que 45 plus 11 racine de trois sur 90 𝐹 est égal à 11. Nous pouvons alors diviser par 45 plus 11 fois racine de trois sur 90, ce qui nous donne 𝐹 est égal à 15,4560 et cetera. On nous demande d’arrondir notre réponse au centième près. Cela signifie que 𝐹 est approximativement égal à 15,46. L’intensité de la force 𝐹 est 15,46 newtons.
