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Vidéo de la leçon : Équilibre d’un corps sur un plan horizontal rugueux Mathématiques

Dans cette vidéo, nous allons apprendre à résoudre des problèmes impliquant l’équilibre d’un corps sur un plan horizontal rugueux.

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Transcription de vidéo

Dans cette vidéo, nous allons apprendre à résoudre des problèmes impliquant l’équilibre d’un corps sur un plan horizontal rugueux. Nous commencerons par examiner quelques définitions clés, puis nous examinerons comment nous pouvons résoudre verticalement et horizontalement pour calculer des inconnues. Celles-ci incluront la force de réaction normale, la force de frottement entre le corps et le plan et le coefficient de frottement 𝜇. Nous considérerons également l’angle de frottement.

Commençons par considérer un corps reposant sur une surface horizontale rugueuse comme indiqué. Si le corps est en équilibre, aucune force résultante est exercée sur lui. Deux forces agissent sur le corps : tout d’abord, son poids, qui est égal à la masse du corps multipliée par l’accélération de la pesanteur. Deuxièmement, en raison de la troisième loi de Newton, nous avons la force de réaction normale 𝑁. Pour un corps sur une surface horizontale, elle agit verticalement vers le haut. Comme il n’y a aucune force résultante, ces deux forces doivent être égales telles que 𝑁 est égal à 𝑊, que nous pouvons également écrire comme 𝑁 est égal à 𝑚𝑔.

Si le corps était sur une surface lisse, toute force nette appliquée horizontalement sur le corps accélèrerait le corps horizontalement. Cependant, sur une surface rugueuse, le corps n’accélérera que si la force horizontale qui lui est appliquée possède une intensité supérieure à la force de frottement entre le corps et la surface. Dans cette vidéo, nous allons désigner cette force de frottement 𝐹𝑟. Cette force de frottement agit dans le sens opposé à la force appliquée 𝐹.

Dans cette vidéo, nous allons examiner les problèmes où le corps est sur le point de se déplacer et, à ce titre, la force de frottement sera maximale. À ce stade, le corps sera toujours en équilibre. Et lorsque nous résolvons horizontalement, la force appliquée 𝐹 sera égale à la force de frottement 𝐹𝑟. La force de frottement maximale est également appelée la force de frottement limite. Et cette force de frottement limite entre un corps au repos et la surface sur laquelle il repose vérifie la formule 𝐹𝑟 est égale à 𝜇𝑁. Et puisque 𝑁, la force de réaction normale, est égale à 𝑚𝑔, la force de frottement 𝐹𝑟 est égale à 𝜇𝑚𝑔.

Nous allons maintenant voir un exemple où la force maximale appliquée sur un corps qui reste en équilibre doit être déterminée.

Un corps pesant 25,5 newtons repose sur un plan horizontal rugueux. Une force horizontale agit sur le corps, le plaçant sur le point de se déplacer. Étant donné que le coefficient de frottement statique entre le corps et le plan est de trois dix-septièmes, déterminez l’intensité de la force.

Nous pouvons commencer par tracer un diagramme pour modéliser la situation. Nous savons que tout corps reposant sur un plan horizontal aura une force dirigée vers le bas égale à son poids. Et ce poids 𝑊 sera égal à la masse du corps multipliée par l’accélération de la pesanteur. Dans cette question, on nous dit que le corps pèse 25,5 newtons. Il y aura donc une force agissant verticalement vers le bas égale à 25,5 newtons. La troisième loi de Newton nous dit qu’il y aura une force de réaction normale agissant dans le sens opposé à celle-ci. Puisque le corps est en équilibre, nous savons que ces deux forces sont égales. La force de réaction normale 𝑁 est égale à 25,5 newtons.

On nous dit qu’une force horizontale 𝐹 agit sur le corps. Et comme le plan est rugueux, il y aura une force de frottement agissant entre le corps et le plan. Le corps est sur le point de se déplacer, ce qui signifie que la force de frottement sera maximale. C’est ce qu’on appelle la force de frottement limite de de sorte que 𝐹𝑟 est égal à 𝜇 multiplié par 𝑁, où 𝜇 est le coefficient de frottement statique entre le corps et le plan. Dans cette question, on nous dit que cela équivaut à trois dix-septièmes. La force de frottement 𝐹𝑟 est donc égale à trois dix-septièmes multipliée par 25,5, ce qui est égal à 4,5. La force de frottement maximale est égale à 4,5 newtons.

Puisque le corps est sur le point de se déplacer et qu’il est toujours en équilibre, les forces horizontales doivent également être égales les unes aux autres. La force appliquée 𝐹 doit être égale à la force de frottement 𝐹𝑟. Nous pouvons donc conclure que l’intensité de la force horizontale agissant sur le corps est de 4,5 newtons.

Dans notre exemple suivant, nous devons calculer une force résultante dont la force de frottement limite est une composante.

Un corps repose sur un plan horizontal rugueux. Le coefficient de frottement statique entre le corps et le plan est de 0,2, et la force de frottement limite qui agit sur le corps est de 80 newtons. Étant donné que 𝑅 est la résultante de la force de frottement et de la force de réaction normale, déterminez l’intensité de 𝑅.

Nous commencerons par tracer un diagramme pour modéliser la situation. Si le corps est en frottement limite, alors il aura quatre forces agissant sur lui. Tout d’abord, agissant verticalement vers le bas, nous avons la force de poids, qui est égale à la masse du corps multipliée par l’accélération de la pesanteur. Agissant verticalement vers le haut, nous avons la force de réaction normale 𝑁. Nous aurons une force appliquée 𝐹 qui entraîne le corps à se déplacer, et enfin une force de frottement 𝐹𝑟 entre le corps et le plan agissant dans le sens opposé à cela.

Bien que le poids et la force appliquée ne soient pas mentionnés dans cette question, nous savons que pour un corps au repos sur une surface, la force de réaction normale 𝑁 doit être égale au poids du corps. La force de frottement limite est la force de frottement maximale que la surface exerce sur le corps avant que le corps ne commence à se déplacer. Et nous savons donc que la force appliquée 𝐹 doit être égale à la force de frottement 𝐹𝑟. Cette force de frottement limite est égale à 𝜇 multiplié par 𝑁, où 𝜇 est le coefficient de frottement statique entre la surface et le corps.

Remplaçons maintenant les valeurs qui nous sont données dans cette question. On nous dit que 𝜇 est égal à 0,2. On nous dit également que la force de frottement limite est égale à 80 newtons. En les substituant dans 𝐹𝑟 égal à 𝜇𝑁, nous avons 80 égal à 0,2 multiplié par 𝑁. Nous pouvons alors diviser par 0,2. 𝑁 est égal à 80 divisé par 0,2, ce qui équivaut à 400. La force de réaction normale agissant sur le corps est de 400 newtons. Bien que cela ne soit pas requis dans cette question, nous pourrions alors calculer le poids et la force appliquée 𝐹. Celles-ci sont respectivement égales à 400 newtons et 80 newtons.

Nous devons calculer l’intensité de 𝑅, où 𝑅 est la résultante de la force de frottement et de la force de réaction normale. Cela agira dans la direction indiquée sur le diagramme. Nous pouvons calculer la valeur en créant un triangle rectangle. Et en utilisant le théorème de Pythagore, nous avons 𝑅 au carré est égal à 400 au carré plus 80 au carré. Le membre de droite est égal à 166400. Nous pouvons alors prendre la racine carrée des deux membres de cette équation. Et puisque la force résultante doit être positive, nous avons 𝑅 est égal à 80 racine de 26. L’intensité de la force résultante est égale à 80 racine de 26 newtons. Comme c’est une réponse décimale, cela équivaut à 407,92 newtons au centième près.

Cette question nous oriente à un fait clé sur tout corps sur une surface rugueuse. Un corps sur une surface rugueuse possède un angle de frottement. Il s’agit de l’angle entre la force de réaction normale et la résultante de la force de réaction normale et de la force de frottement limite. Si nous considérons le corps suivant sur une surface horizontale rugueuse, alors si le corps est en frottement limite et sur le point de se déplacer, il y aura quatre forces agissant sur lui dans les directions horizontale et verticale. Nous avons la force de réaction normale 𝑁, la poids 𝑊 qui est égale à 𝑚𝑔, la force appliquée 𝐹 et la force de frottement limite 𝐹𝑟.

Nous rappelons que cette force de frottement limite 𝐹𝑟 est égale à 𝜇 multipliée par 𝑁. Et bien que cela ne soit pas requis ici, il convient de rappeler que lors de la résolution verticale et horizontale, nos forces sont égales. En utilisant la force 𝑅, qui est la résultante de la force de réaction normale et de la force de frottement et non une force supplémentaire, nous voyons que l’angle de frottement 𝜃 est tel qu’indiqué. Nous pouvons tracer un triangle rectangle avec cette force résultante 𝑅 ainsi que la force de réaction normale et la force de frottement limite. En remplaçant 𝐹𝑟 par 𝜇𝑁, nous pouvons utiliser la tangente pour calculer 𝜃.

Nous savons que dans tout triangle rectangle, la tangente de l’angle 𝜃 est égal à l’opposé sur l’adjacent. Dans notre diagramme, tangente 𝜃 est égal à 𝜇𝑁 sur 𝑁. Et en divisant par 𝑁, nous avons tangente 𝜃 est égal à 𝜇. L’angle de frottement d’un corps sur une surface horizontale rugueuse peut donc être déterminé par tangente 𝜃 est égal à 𝜇.

Voyons maintenant un exemple spécifique où nous devons calculer l’angle de frottement.

Étant donné que le coefficient de frottement statique entre un corps et un plan est racine de trois sur quatre, quel est l’angle de frottement ? Arrondissez votre réponse à la minute près si nécessaire.

Nous commencerons par rappeler ce que nous entendons par angle de frottement. L’angle de frottement est l’angle entre la force de réaction normale sur un corps et la résultante de la force de réaction normale et de la force de frottement limite sur le corps. Puisque la force de frottement limite 𝐹𝑟 est égale à 𝜇𝑁, et en utilisant notre connaissance de la trigonométrie d’un triangle rectangle, nous savons que l’angle de frottement 𝜃 vérifie l’équation tangente 𝜃 est égale à 𝜇𝑁 sur 𝑁, qui est égale à 𝜇, où 𝜇 est le coefficient de frottement statique et dans cette question est égale à la racine de trois sur quatre. La tangente de l’angle 𝜃 est donc égal à trois sur quatre.

Prendre la réciproque de la tangente des deux membres de cette équation nous donne 𝜃 est égal à la réciproque de la tangente ou arctangente de racine de trois sur quatre. S’assurer que notre calculatrice est en mode degré, saisir le membre droit nous donne 23,4132 et ainsi de suite. On nous demande de donner notre réponse à la minute près. Nous pouvons le faire en utilisant le bouton des degrés, minutes et secondes de la calculatrice ou en multipliant la partie décimale de notre réponse par 60. Cela équivaut à 24,79 et ainsi de suite minutes, ce qui nous donne une réponse à la minute près de 23 degrés et 25 minutes. Il s’agit de l’angle de frottement lorsque le coefficient de frottement statique entre un corps et un plan est de trois sur quatre.

Nous allons maintenant résumer les points clés de cette vidéo. Nous avons vu dans cette vidéo que la force de réaction normale d’un corps sur une surface horizontale a une intensité égale au poids du corps. La force de frottement entre un corps et une surface rugueuse agit dans le sens opposé à la force nette sur le corps et parallèle au plan. La force de frottement maximale entre un corps et une surface rugueuse est donnée par 𝐹𝑟 est égal à 𝜇𝑁, où 𝑁 est la force de réaction normale sur le corps et 𝜇 est le coefficient de frottement statique entre le corps et la surface. Enfin, nous avons vu que l’angle de frottement pour un corps sur une surface horizontale rugueuse est donné par 𝜃, qui est égal à la réciproque de la tangente de 𝜇, où encore une fois 𝜇 est le coefficient de frottement statique entre le corps et la surface.

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