Dans cette fiche explicative, nous allons apprendre à résoudre les problèmes impliquant un corps en équilibre sur un plan horizontal rugueux.
La force résultante des forces s’exerçant sur un corps en équilibre sur une surface horizontale est nulle. Le corps est soumis à deux forces : son poids, d’intensité , et la force normale de la surface, d’intensité , comme illustré sur la figure ci-dessous.
Selon la deuxième loi de Newton, l’intensité de la force résultante des forces s’exerçant sur un corps est égale au produit de la masse du corps par son accélération. Dans notre cas, le corps est au repos donc la force résultante est nulle. Même au repos, le corps est soumis à la force gravitationnelle. La force gravitationnelle, d’intensité , est verticale et orientée vers le bas, son intensité est donnée par où est la masse du corps et l’accélération de la pesanteur.
La réaction normale de la surface sur le corps est une conséquence de la troisième loi de Newton. La force d’intensité est normale à la surface. Donc, si le corps se trouve sur une surface horizontale, la force d’intensité est verticale et orientée vers le haut. Pour un corps non suspendu, en équilibre sur une surface horizontale, on a
Un corps placé sur une surface lisse et soumis à une force résultante horizontale accélère horizontalement. Si la surface est rugueuse, le corps n’accélère que si l’intensité de la force horizontale est supérieure à celle de la force de frottement entre le corps et la surface. La force de frottement s’exerce dans le sens opposé à la force appliquée au corps.
L’intensité de la force de frottement admet une valeur maximale, définie ci-dessous, appelée force maximale de frottement.
Définition : Force maximale de frottement pour un corps placé sur une surface horizontale rugueuse
L’intensité de la force maximale de frottement, , entre un corps au repos et la surface sur laquelle il repose est donnée par où est le coefficient de frottement statique entre le corps et la surface.
Dans le cas d’une surface horizontale, et donc
Passons maintenant à un exemple dans lequel nous déterminerons la force maximale pouvant s’exercer sur un corps sans que celui-ci ne bouge.
Exemple 1: Trouver l’intensité d’une force s’exerçant sur un corps en équilibre limite sur un plan horizontal rugueux
Un corps pesant 25,5 N repose sur un plan horizontal rugueux. En raison d’une force horizontale s’exerçant sur lui, il est sur le point de bouger. Déterminez l’intensité de cette force sachant que le coefficient de frottement entre le corps et le plan est égal à .
Réponse
L’intensité de la force maximale de frottement pouvant s’exercer sur le corps est donnée par
Par ailleurs, donc,
La valeur de est . On a donc
Pour que le corps soit à l’équilibre limite, la force à laquelle il est soumis doit avoir la même intensité que la force maximale de frottement, soit 4,5 N.
Passons maintenant à un exemple dans lequel nous déterminerons une force résultante impliquant la force maximale de frottement.
Exemple 2: Trouver la force résultante de la force normale et de la force de frottement
Un corps est au repos sur un plan horizontal rugueux. Le coefficient de frottement entre le corps et le plan est égal à 0,2 et la force maximale de frottement s’exerçant sur le corps est de 80 N. Sachant que est l’intensité la force résultante de la force de frottement et de la force normale, déterminez .
Réponse
Les forces exercées sur le corps sont représentées sur la figure suivante.
N’oublions pas que c’est en raison de la force de son poids qu’un corps reposant sur une surface horizontale est soumis à une force normale, par ailleurs, le fait qu’une force de frottement soit mentionnée implique que le corps est soumis à une autre force, ainsi, la force du poids et la force appliquée, bien que non citées dans l’énoncé, existent.
La force maximale de frottement est la plus grande force de frottement que la surface peut exercer sur le corps sans que celui-ci ne bouge. La force maximale de frottement est donnée par où est l’intensité de la force normale s’exerçant sur le corps et est le coefficient de frottement statique entre la surface et le corps.
L’énoncé indique que la force maximale de frottement est de 80 N et que est égal à 0,2. Ainsi, l’intensité de la force normale est donnée par
La force d’intensité est la force résultante de la force normale et de la force maximale de frottement, comme illustré sur la figure suivante.
On peut déterminer l’intensité en utilisant le théorème de Pythagore :
Pour un corps sur une surface rugueuse, on définit un angle appelé angle de frottement. Il s’agit de l’angle formé par la force normale et par la force résultante de la force normale et de la force maximale de frottement.
La figure suivante montre un corps sur une surface horizontale rugueuse et indique les forces auxquelles il est soumis. La force d’intensité est la force résultante de la force normale et de la force de frottement ; il ne s’agit pas d’une force supplémentaire s’exerçant sur le corps.
Le corps est soumis à une force horizontale d’intensité . Pour les valeurs de telles que l’intensité de la force de frottement s’exerçant sur le corps est égale à celle de . Quand la force de frottement est égale à la force maximale de frottement, on a donc
La force normale et la force maximale de frottement sont orthogonales d’intensités données sur la figure ci-dessous.
On constate sur la figure ci-dessus que l’on peut définir comme suit la tangente de l’angle formé par la force normale et par la force résultante de la force normale et de la force de frottement.
Définition : Angle de frottement
On peut déterminer l’angle de frottement d’un corps placé sur une surface horizontale rugueuse à l’aide de la formule où est le coefficient de frottement statique entre le corps et la surface et est l’intensité de la réaction normale de la surface sur le corps.
Passons à un exemple dans lequel nous déterminerons l’angle de frottement.
Exemple 3: Trouver l’angle de frottement
Sachant que le coefficient de frottement statique entre un corps et la surface sur laquelle il est placé est égal à , quel est l’angle de frottement ? Arrondissez votre réponse à la minute d’arc près si nécessaire.
Réponse
On peut déterminer l’angle de frottement en utilisant la formule suivante :
Donc, la valeur de est donnée par
En arrondissant à la minute d’arc près, on obtient
La force de frottement entre un corps et une surface n’existe que si le corps est soumis à une force normale. Cette force normale n’est pas forcément due au poids du corps. Examinons un exemple dans lequel le poids du corps n’est pas responsable de la force normale s’exerçant sur le corps.
Exemple 4: Trouver l’intensité minimale nécessaire pour qu’une force horizontale maintienne à l’équilibre un corps pressé contre un mur vertical rugueux
La figure ci-dessous montre un corps d’une masse de 30 kg pressé contre un mur vertical rugueux sous l’effet d’une force horizontale s’exerçant sur lui. Sachant que le coefficient de frottement statique entre le corps et le mur est égal à , déterminez , la force horizontale minimale permettant de maintenir le corps en équilibre.
Réponse
Ici, le corps est pressé contre une surface verticale, cette situation peut être modélisée de manière équivalente par un corps reposant sur une surface horizontale, tel que montré sur la figure ci-dessous.
La réaction de la surface sur le corps est normale à la surface, donc elle est de même direction que , mais de sens opposé, de plus, son intensité est égale à celle de . L’intensité de la force maximale de frottement, , est donnée par
Le poids du corps est donné par
Pour que le corps soit à l’équilibre, les intensités du poids et de la force maximale de frottement doivent être égales, on a donc
L’énoncé ne précise pas quelle valeur utiliser pour . On peut donc exprimer notre résultat en utilisant l’unité du kilogramme-poids, ainsi, notre réponse est 36 kgp.
Passons maintenant à un exemple qui nous permettra de constater que la force de frottement entre un corps et une surface rugueuse peut s’exercer dans un sens comme dans l’autre.
Exemple 5: Trouver le poids nécessaire pour que le système soit en équilibre limite
Un corps pesant 79 N repose sur une table horizontale rugueuse. Il est attaché à un fil inextensible et de masse négligeable qui passe sans frottement sur une poulie fixée à un bord de la table, et à son autre extrémité est attaché un poids pesant 41 N, le poids est donc suspendu librement sous la poulie. Dans ces conditions, le mouvement est imminent : le système est en équilibre limite. Le corps est ensuite attaché à un second fil inextensible passant sur une seconde poulie fixée à l’extrémité opposée de la table, un second poids pesant est attaché à l’autre extrémité du fil et se trouve ainsi librement suspendu sous la poulie. Déterminez le poids qui provoquera la mise en mouvement du système.
Réponse
La figure ci-dessous montre quelques-unes des forces s’exerçant sur le système dans la situation initiale, lorsque le corps pesant 79 newton n’est attaché qu’au corps pesant 41 newton.
Pour que le corps soit à l’équilibre, la force de frottement s’exerçant sur le corps doit être égale à la tension dans le fil, la tension dans le fil, quant à elle, est égale au poids du corps suspendu au fil. Le système étant à l’équilibre limite, la force de frottement de 41 N correspond à la force maximale de frottement entre le corps et la surface.
Dans un second temps, on attache le corps pesant 79 newton au corps de poids inconnu, ce dernier est à nouveau à l’équilibre limite, mais cette fois dans le sens de la tension dans le fil due au poids de valeur inconnue, donc, la force résultante des forces s’exerçant sur le corps pesant 79 newton est orientée vers le côté du corps de poids inconnu. La force de frottement s’exerçant sur le corps pesant 79 newton est toujours de 41 N, mais est maintenant orientée dans le sens opposé à la tension dans le fil attaché au corps de poids inconnu, tel qu’illustré sur la figure ci-dessous.
Le poids du corps inconnu est égal à la tension dans son fil. Cette tension est égale à la somme de la tension dans le fil attaché au poids pesant 41 N et de la force de frottement s’exerçant sur le corps pesant 79 N. On obtient donc le poids inconnu, , en calculant
Résumons ce que ces différents exemples nous ont appris.
Points clés
- Un corps placé sur une surface horizontale est soumis à une force normale d’intensité égale à celle du poids du corps.
- La force de frottement entre un corps et une surface rugueuse est parallèle au plan et de sens opposé à la force résultante des forces s’exerçant sur le corps.
- L’intensité de la force maximale de frottement entre un corps et une surface rugueuse est donnée par où est l’intensité de la force normale s’exerçant sur le corps et est le coefficient de frottement statique entre le corps et la surface.
- L’angle de frottement d’un corps placé sur une surface horizontale rugueuse est donné par où est le coefficient de frottement statique entre le corps et la surface.
