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Dans cette question, utiliser une valeur de 6,63 fois 10 puissance moins 34 joule-secondes pour la constante de Planck. Un rayon gamma a généralement une fréquence d’environ trois fois 10 puissances 20 hertz. En utilisant cette valeur, trouver l’énergie d’un photon de rayon gamma. Donner la réponse en notation scientifique à deux décimales près.
Pour trouver l’énergie d’un photon en fonction de sa fréquence, nous rappelons une formule de quantification du rayonnement électromagnétique selon laquelle l’énergie d’un photon est égale à la constante de Planck multipliée par la fréquence du photon. Nous avons une valeur de la constante de Planck et aussi une valeur de la fréquence du photon. Il suffit donc de multiplier ces valeurs. Nous avons 6,63 fois 10 puissance moins 34 joule-secondes fois trois fois 10 puissances 20 hertz. Maintenant, nous cherchons une unité d’énergie mais en plus du joule, qui sont des unités d’énergie à droite, nous avons aussi des unités de seconde et de hertz.
Pour supprimer les secondes et le hertz afin que nos unités globales soient en joules, nous pouvons rappeler qu’un hertz est défini comme étant l’inverse d’une seconde. Cela signifie que les unités à droite de notre expression pour l’énergie sont en joules-secondes par seconde. Mais les secondes par seconde ne sont qu’une grandeur sans dimension. Donc, l’unité globale à droite est le joule, ce qui est exactement ce dont nous avons besoin pour une énergie. En multipliant 6,63 fois 10 puissance moins 34 par trois fois 10 puissance 20, nous obtenons 1,989 fois 10 puissance moins 13 avec pour unité les joules. Enfin, arrondi à deux décimales près, 1,989 devient 1,99. Et l’énergie de notre photon gamma est 1,99 fois 10 puissance moins 13 joules.
Il convient de mentionner que nous avons donné notre réponse à deux décimales près. Et cela est cohérent avec les deux décimales qui nous sont données pour la constante de Planck. Cependant, cela semble incompatible avec notre valeur de la fréquence, donnée sans décimales. Ce qui se passe, c’est qu’on nous dit d’utiliser la valeur exacte dans nos calculs. En d’autres termes, ce nombre est exact. Donc, même si nous ne l’avons pas écrit avec des décimales, cela ne limite pas la précision de notre réponse finale.
Ce qui rend les deux nombres différents dans cette question, c’est que nous avons choisi exactement trois fois 10 puissance 20 hertz comme étant fréquence typique d’un photon gamma. Cependant, notre valeur de la constante de Planck est déterminée expérimentalement, ce qui signifie que la précision de la valeur est limitée par nature.
Quoi qu’il en soit, passons à la deuxième partie de cette question.
Une onde radio a généralement une fréquence d’environ 1,5 fois 10 puissance six hertz. En utilisant cette valeur, trouver l’énergie d’un photon d’onde radio. Donner la réponse en notation scientifique à deux décimales près.
Cette question est fondamentalement la même que celle à laquelle nous venons de répondre. Nous cherchons l’énergie d’un photon compte tenu de sa fréquence. Cette question est fondamentalement identique à celle à laquelle nous venons de répondre. La seule différence est que nous utilisons une fréquence différente, 1,5 fois 10 puissance six hertz, qui est typique pour les ondes radio. Nous notons également que cette fréquence est une valeur exacte, elle ne limitera donc pas notre précision finale lorsque nous arrondirons à deux décimales. Grâce à la formule de l’énergie d’un seul photon, nous savons que tout ce que nous devons faire est de multiplier la valeur donnée pour la constante de Planck par la fréquence donnée du photon d’onde radio.
Comme nous l’avons vu précédemment, nous pouvons ajuster les unités si nous remplaçons hertz par l’inverse d’une seconde. Nous avons donc 6,63 fois 10 puissance moins 34 joule-secondes fois 1,5 fois 10 puissance six par seconde. Seconde par seconde est juste un. Il nous reste donc des joules, ce que nous voulons parce que nous recherchons une énergie. En effectuant la multiplication, nous trouvons que l’énergie du photon est de 9,945 fois 10 puissance moins 28 joules, qui arrondi à la deuxième décimale est 9,95 fois 10 puissance moins 28 joules.
Nous sommes maintenant prêts à répondre à la troisième partie de notre question.
Combien de fois un photon de rayons gamma d’une fréquence donnée est-il plus énergétique qu’un photon d’ondes radio d’une fréquence donnée? Donner la réponse en notation scientifique à deux décimales.
Rappelons qu’avec les deux premières parties de cette question, nous avons trouvé l’énergie d’un photon typique de rayon gamma et d’un photon typique d’onde radio. Donc, pour trouver combien de fois le photon de rayon gamma est plus énergétique que le photon d’onde radio, tout ce que nous devons faire est de trouver le rapport entre ces deux énergies. Si nous utilisons les indices 𝑔 et 𝑟 pour représenter le rayon gamma et l’onde radio, respectivement, nous avons que 𝐸 indice 𝑔 divisé par 𝐸 indice 𝑟 est égal à 1,99 fois 10 puissance moins 13 joules divisé par 9,95 fois 10 puissance moins 28 joules. Et c’est exactement le rapport que nous recherchons.
Notons que le numérateur et le dénominateur ont une unité de joule. Et joule divisé par joule est un. Donc, c’est un nombre sans dimension, ce qui est bien parce que nous recherchons un rapport d’une énergie sur une énergie qui devrait être sans dimension.
Maintenant, 1,99 fois 10 à la puissance moins 13 divisé par 9,95 fois 10 à la puissance moins 28 est exactement 2,00 fois 10 à la puissance 14. Et c’est combien de fois le photon de rayon gamma est plus énergétique que le photon d’onde radio. Ce nombre est aussi exactement égal à trois fois 10 à la puissance 20 divisé par 1,5 fois 10 à la puissance six, qui est la fréquence du photon de rayon gamma divisé par la fréquence du photon d’onde radio. Ce n’est pas un accident. L’énergie d’un photon est directement proportionnelle à sa fréquence. Ainsi, le rapport de l’énergie de deux photons sera exactement égal au rapport des fréquences de ces photons.
