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Étant donné que la matrice 𝐴 est égale à quatre, zéro et moins trois, sept, calculez 𝐴 au cube moins trois 𝐴 au carré.
Eh bien, la première chose que nous allons vouloir calculer dans cette question est 𝐴 au carré. Et cela va être égal à la matrice quatre, zéro et moins trois, sept multipliée par la matrice quatre, zéro et moins trois, sept. Et nous savons que nous pouvons multiplier ces deux matrices parce que nous avons le même nombre de lignes dans la matrice un que de colonnes dans la matrice deux. Et c’est une condition requise lorsque nous multiplions des matrices.
Maintenant, pour déterminer les éléments dans notre nouvelle matrice, il faut alors multiplier les éléments correspondants de la première ligne de la première matrice et de la première colonne de la seconde matrice, puis les additionner. Et quand nous ferons ceci, cela nous donnera notre élément en haut à gauche dans notre matrice 𝐴 au carré. Donc, ce que nous allons avoir, ce sera quatre multiplié par quatre. Parce que c’est le premier élément de la première ligne de la première matrice multiplié par le premier élément de la première colonne de la seconde matrice. Ensuite, ajoutons zéro multiplié par moins trois, car il s’agit du deuxième élément de la première ligne de notre première matrice multiplié par le deuxième élément de la première colonne de notre seconde matrice.
Donc, maintenant, pour l’élément suivant dans la ligne supérieure de notre matrice 𝐴 au carré, ce que nous allons faire, c’est que nous allons multiplier les éléments de notre première ligne de notre première matrice par les éléments de notre seconde colonne de notre seconde matrice. Donc, tout d’abord, nous avons quatre multiplié par zéro, puis nous y ajoutons zéro multiplié par sept. Alors, nous passons à la ligne du bas. Et nous allons avoir moins trois multiplié par quatre plus sept multiplié par moins trois. Et puis, pour le dernier élément, nous allons avoir moins trois multiplié par zéro plus sept multiplié par sept.
Très bien, chacun de nos éléments est complété. Donc, maintenant, ce que nous pouvons faire c’est les calculer. Ainsi, nous commençons par 16 plus zéro, ce qui vaut 16. Ensuite, nous avons zéro plus zéro, ce qui vaut zéro. Puis, moins 12 plus moins 21. Eh bien, c’est la même chose que moins 12 moins 21, ce qui nous donne moins 33. Et puis, enfin, nous avons zéro plus 49, ce qui va nous donner 49. Donc, cela signifie que la matrice 𝐴 au carré est 16, zéro et moins 33, 49. Alors, maintenant, quelle est la prochaine étape ?
Eh bien, maintenant, ce que nous voulons savoir, c’est ce que vaut 𝐴 au cube. Eh bien, 𝐴 au cube va être égal à 𝐴 au carré multiplié par 𝐴, donc la matrice 16, zéro et moins 33, 49 multipliée par la matrice quatre, zéro et moins trois, sept. Et alors, pour calculer cela, ce que nous faisons c’est exactement la même chose que ce que nous venons de faire dans la partie précédente lorsque nous avons calculer 𝐴 au carré. Donc, on va faire 16 multiplié par quatre et zéro multiplié par moins trois. Donc, c’est notre premier élément.
Et puis, on va avoir 16 multiplié par zéro plus zéro multiplié par sept. Ensuite, passons à la rangée du bas, ce que nous allons obtenir est moins 33 multiplié par quatre plus 49 multiplié par moins trois. Et puis, le dernier élément va être moins 33 multiplié par zéro plus 49 multiplié par sept. Bon, très bien, maintenant, ce que nous devons faire, c’est savoir à quoi cela correspond, donc calculer chaque élément.
Ainsi, le premier élément va être 64 parce que c’est 64 plus zéro. Et puis, nous avons zéro plus zéro, ce qui vaut zéro. Puis, ensuite, nous avons moins 279. Et c’est parce que nous avons moins 132 plus moins 147. Eh bien, c’est la même chose que moins 132 moins 147. Et puis, pour finir, nous avons 343. Et c’est parce que nous avions zéro plus 343. Très bien, nous avons donc trouvé 𝐴 au cube. Maintenant, il ne reste plus qu’une chose à faire avant de tout rassembler.
Et cette dernière chose que nous devons trouver c’est trois 𝐴 au carré. Et cela va juste être égal à trois multiplié par notre matrice 16, zéro et moins 33, 49. Et pour ce faire, nous multiplions chacun de nos éléments par trois. Et quand nous faisons cela, nous obtenons 48, zéro et moins 99, 147. D’accord, très bien, nous avons donc maintenant toutes les valeurs dont nous avons besoin pour calculer 𝐴 au cube moins trois 𝐴 au carré.
Ainsi, maintenant que nous avons 𝐴 au carré, 𝐴 au cube et trois 𝐴 au carré, nous pouvons voir de quelles valeurs nous aurons besoin pour notre calcul. Eh bien, nous aurons seulement besoin de 𝐴 au cube et de trois 𝐴 au carré. Donc, ce que nous allons avoir, c’est la matrice 64, zéro et moins 279, 343 moins la matrice 48, zéro et moins 99, 147. Et ce que nous devons faire avec cela, c’est simplement soustraire les éléments correspondants de chacune de nos matrices.
Donc, ce que nous allons obtenir, c’est que notre premier élément sera 64 moins 48. L’élément suivant est zéro moins zéro. Ensuite, nous aurons moins 279 moins moins 99, puis 343 moins 147, ce qui nous donnera la matrice 16, zéro et moins 180, 196. Nous pouvons donc dire que, étant donné que la matrice 𝐴 est égale à quatre, zéro et moins trois, sept, alors 𝐴 au cube moins trois 𝐴 au carré est égal à la matrice 16, zéro et moins 180, 196.
