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Le graphique comporte un certain nombre de courbes. Quelle courbe illustre la relation entre la quantité de mouvement d’une particule et sa longueur d’onde de Broglie?
Le graphique auquel la question fait référence est celui-ci, avec la quantité de mouvement sur l’axe horizontal et la longueur d’onde sur l’axe vertical. On s’intéresse particulièrement à savoir quelle courbe est la représentation graphique correcte de la relation mathématique entre la quantité de mouvement d’une particule et sa longueur d’onde de Broglie. Donc, pour comprendre cela, il faut connaître leur relation mathématique.
Cette relation particulière est que 𝜆, la longueur d’onde de la particule, est égale à ℎ, la constante de Planck, divisée par 𝑝, la quantité de mouvement de la particule. On voit immédiatement à partir de cette formule que la longueur d’onde d’une particule et sa quantité de mouvement sont inversement proportionnelles. Qualitativement, cela signifie que plus la quantité de mouvement augmente, plus la longueur d’onde diminue et plus la quantité de mouvement diminue, plus la longueur d’onde augmente. Plus précisément, la longueur d’onde s’approche de zéro lorsque la quantité de mouvement augmente, et lorsque la quantité de mouvement diminue, la longueur d’onde augmente sans limite.
En regardant notre graphique, seules les courbes rouge et jaune illustrent une longueur d’onde qui se rapproche de zéro lorsque la quantité de mouvement augmente. Ainsi, seules les courbes rouge et jaune remplissent notre première condition. Mais entre les courbes rouge et jaune, seule la courbe rouge semble augmenter sans limite lorsque la quantité de mouvement se rapproche de zéro. La courbe jaune varie clairement et atteint une valeur finie pour une quantité de mouvement nulle. Ainsi, entre les courbes rouge et jaune, seule la courbe rouge remplit également la deuxième condition. Ainsi, puisque la courbe rouge est la seule courbe du graphique qui illustre une relation inversement proportionnelle, elle doit être la courbe qui représente la relation entre la quantité de mouvement d’une particule et sa longueur d’onde de Broglie.
Il y a une autre subtilité que l’on aurait pu exploiter pour nous aider à répondre à cette question. Et c’est une idée majeure en physique, il vaut donc la peine de l’explorer. Si on multiplie les deux côtés de la relation de Broglie par la quantité de mouvement, on obtient que 𝜆 fois 𝑝 est égal à ℎ. C’est juste une autre façon d’écrire une relation inversement proportionnelle. Le produit de nos deux grandeurs est égal à une constante. Ce que l’on peut remarquer, cependant, c’est que si on échange 𝜆 et 𝑝, on obtient exactement la même formule. Cela signifie que cette relation est symétrique en 𝜆 et 𝑝.
Ce que cette symétrie nous dit, c’est que si on représente graphiquement 𝜆 sur l’axe vertical et 𝑝 sur l’axe horizontal ou 𝑝 sur l’axe vertical et 𝜆 sur l’axe horizontal, notre graphique sera identique. Inversement, cela nous indique que quel que soit le graphique que l’on choisit de regarder, le graphique doit être symétrique par rapport à la droite 𝜆 égal 𝑝. En regardant notre graphique, on voit que seules la courbe bleue et la courbe rouge présentent cette symétrie. Toutes les autres courbes sembleraient différentes si on échangeait les grandeurs sur les axes horizontal et vertical.
Ainsi, simplement en remarquant une symétrie dans notre équation, nous avons pu simplifier considérablement notre tâche, en réduisant le nombre de réponses possibles à deux. Pour conclure, on peut choisir la bonne réponse comme étant la courbe rouge en notant que la courbe bleue ne peut pas être la bonne réponse car elle passe par le point zéro, zéro. Or, zéro fois zéro n’est pas égal à la constante de Planck. Cette approche alternative nous montre qu’en examinant attentivement les symétries dans une équation, on peut grandement simplifier les problèmes de la physique.
