Dans cette fiche explicative, nous allons apprendre à calculer la longueur d’onde de Broglie de particules massives qui ont une quantité de mouvement ou une vitesse données.
Rappelons que la lumière peut être décrite en utilisant à la fois un modèle d’onde et un modèle de particules. Des phénomènes tels que la réfraction et la diffraction peuvent être expliqués en utilisant le modèle d’onde de la lumière. Le modèle de particules de la lumière est utile pour décrire des phénomènes tels que l’effet photoélectrique. Rappelons que les particules de lumière sont sans masse et sont appelées photons.
Au 20e siècle, le physicien Louis De Broglie a suggéré qu’il n’y avait pas que la lumière qui pouvait présenter à la fois des caractéristiques d’ondes et de particules ; il a suggéré que les particules possédant une masse, telles que les électrons et les protons, pourraient aussi se comporter comme des ondes. Il a en outre proposé que certaines relations décrivant la dualité de la lumière s’appliquent également à la matière.
Rappelons que la quantité de mouvement d’un photon, , est donnée par où est la constante de Planck et est la longueur d’onde du photon. De Broglie a proposé que la même relation soit vraie pour les particules de matière. En réorganisant l’équation ci-dessus pour isoler la longueur d’onde, donne la longueur d’onde de De Broglie d’une particule, en fonction de sa quantité de mouvement.
Définition : Longueur d’onde De Broglie
La longueur d’onde de De Broglie, , d’une particule ayant une quantité de mouvement est donnée par où est la constante de Planck.
Rappelons que, pour une particule se déplaçant à une vitesse beaucoup plus lente que la vitesse de la lumière, la quantité de mouvement est égale au produit de la masse de la particule, , et de sa vitesse, . Ainsi, la longueur d’onde de De Broglie peut également être calculée en utilisant
Ce concept s’applique également aux ensembles de particules ou d’objets - même des objets très volumineux, tels que les objets avec lesquels nous interagissons dans la vie quotidienne. Ainsi, tout objet massif ayant une quantité de mouvement a une longueur d’onde de De Broglie. Il convient de noter que « massif » désigne tout ce qui a une masse et pas seulement les très gros objets.
Le concept admettant qu’un objet massif se comporte comme une onde est souvent déroutant car nous n’observons pas d’effets tels que la diffraction avec les objets de la vie quotidienne avec lesquels nous interagissons. Cela est dû au fait que la longueur d’onde de De Broglie des objets de grande taille est très petite.
Par exemple, on peut se demander pourquoi les gens, qui se déplacent et qui ont une masse, ne subissent pas de diffraction lorsqu’ils passent une porte. Pour comprendre pourquoi, calculons la longueur d’onde de De Broglie pour un homme moyen et rappelons que la diffraction est observée lorsqu’une onde rencontre un obstacle de la taille de sa longueur d’onde. En supposant qu’un être humain a une masse de 62 kg et une vitesse de marche de 1,5 m/s, sa longueur d’onde de De Broglie est
Même si la longueur d’onde de De Broglie pour un humain existe en théorie, sa valeur est beaucoup plus petite que tout ce que nous pouvons mesurer physiquement. Ainsi, nous n’observons pas d’effets d’onde pour les objets communs du quotidien. Cela est dû au fait que la longueur d’onde de De Broglie d’un objet est inversement proportionnelle à sa quantité de mouvement.
Étudions cette proportionnalité à travers quelques exemples.
Exemple 1: Relation graphique entre la quantité de mouvement et la longueur d’onde de De Broglie
Le graphique ci-dessous illustre un certain nombre de courbes. Quelle courbe indique la relation entre la quantité de mouvement d’une particule et sa longueur d’onde de De Broglie ?
Réponse
Commençons par rappeler l’équation de la longueur d’onde de De Broglie d’une particule,
Puisque représente la constante de Planck, qui est une valeur invariable, la relation de proportionnalité entre les deux variables de cette équation est
Ainsi, on peut dire que la longueur d’onde de De Broglie est inversement proportionnelle à la quantité de mouvement. Cette relation inverse signifie qu’une longueur d’onde plus grande correspond à une quantité de mouvement plus petite, donc on peut s’attendre à ce que la courbe des longueurs d’onde en fonction de la quantité de mouvement ne diminue que lorsque augmente. Ainsi, on peut déduire que les courbes violette, bleue et verte sont incorrectes.
Cela nous amène à comparer les courbes rouge et orange. Notons que la courbe orange coupe l’axe des , tandis que la courbe rouge a une asymptote verticale. Afin de déterminer quelle courbe est correcte, examinons le comportement de l’équation de la longueur d’onde de De Broglie quand on se rapproche de (axe des ).
Notons que apparaît au dénominateur de l’équation, et qu’il est impossible de diviser par zéro. Ainsi, puisque tend vers 0, la fonction de longueur d’onde de Broglie tend vers l’infini. Par conséquent, le graphique de la longueur d’onde de De Broglie en fonction de la quantité de mouvement ne peut pas avoir une valeur définie en . Par conséquent, la courbe rouge illustre correctement la relation entre la quantité de mouvement d’une particule et sa longueur d’onde de De Broglie.
Exemple 2: Relation entre la quantité de mouvement et la longueur d’onde de De Broglie
Si un électron et un muon ont la même vitesse, quelle particule a la plus grande longueur d’onde de De Broglie ?
Réponse
Commençons par rappeler l’équation de la longueur d’onde de De Broglie d’une particule,
De plus, rappelons que, pour une particule se déplaçant à une vitesse beaucoup plus lente que la vitesse de la lumière, sa quantité de mouvement est égale au produit de sa masse et de sa vitesse . Ainsi, la longueur d’onde de De Broglie peut être calculée en utilisant
La longueur d’onde de De Broglie est inversement proportionnelle à la quantité de mouvement. Ainsi, puisqu’on nous dit que les particules se déplacent à la même vitesse, on peut comparer leurs masses pour en apprendre davantage sur leurs quantités de mouvement respectives. Un muon a une masse de kg, alors qu’un électron a une masse de kg. Le muon a une plus grande masse, et donc une plus grande quantité de mouvement, que l’électron se déplaçant à la même vitesse. Comme la longueur d’onde de De Broglie est inversement proportionnelle à la quantité de mouvement, une quantité de mouvement plus grande indique une longueur d’onde de De Broglie plus petite. Ainsi, nous savons que le muon a une longueur d’onde de De Broglie plus petite.
Comme l’électron a la plus petite quantité de mouvement, on peut conclure que l’électron a la plus grande longueur d’onde de De Broglie.
Exemple 3: Calcul de la longueur d’onde de De Broglie d’une particule
Quelle est la longueur d’onde de De Broglie d’un électron ayant une quantité de mouvement de kg⋅m/s ? Utilisez une valeur de J⋅s pour la constante de Planck. Donnez votre réponse en notation scientifique, au centième près.
Réponse
On peut tout d’abord rappeler l’équation de la longueur d’onde de De Broglie,
On nous donne ici les valeurs de la constante de Planck, , et de la quantité de mouvement, , d’un électron. On a ici toutes les valeurs à remplacer dans l’équation :
Arrondis à deux décimales près, on trouve que la longueur d’onde de De Broglie de cet électron est de m.
Si on ne nous donne pas directement la valeur de la quantité de mouvement, il nous faut alors la calculer, comme illustré dans les deux exemples suivants.
Exemple 4: Calcul de la longueur d’onde de De Broglie d’une particule
Un muon a une masse au repos de kg. Si le muon se déplace à une vitesse de 20 m/s, quelle est sa longueur d’onde de De Broglie ? Utilisez une valeur de J⋅s pour la constante de Planck. Donnez votre réponse en notation scientifique, au centième près.
Réponse
Rappellons l’équation de la longueur d’onde de De Broglie, où est la constante de Planck et est la quantité de mouvement. On ne connait pas encore la quantité de mouvement du muon, mais on sait que, pour une particule de masse se déplaçant à une vitesse relativement faible , la quantité de mouvement peut être déterminée avec . Étant donné que l’on connait les valeurs de , , et de , on peut les remplacer dans l’équation de la quantité de mouvement et déduire :
En arrondissant à deux décimales près, on trouve que la longueur d’onde de De Broglie pour ce muon est de m.
Exemple 5: Calcul de la longueur d’onde de De Broglie d’une particule
Un électron a une masse au repos de kg. Si l’électron a une énergie cinétique de , quelle est sa longueur d’onde de De Broglie ? Utilisez une valeur de J⋅s pour la constante de Planck. Donnez votre réponse en notation scientifique, au centième près.
Réponse
On souhaite trouver la longueur d’onde de De Broglie, qui est donnée par où est la constante de Planck, et la quantité de mouvement , est égale au produit de la masse et de la vitesse . Comme on connait déjà les valeurs de et de , il suffit de trouver la valeur de pour trouver la longueur d’onde de De Broglie. On nous donne l’énergie cinétique d’un électron, on peut donc utiliser l’équation pour calculer la vitesse. Tout d’abord, réécrivons l’équation de l’énergie cinétique pour isoler , puis remplaçons les valeurs connues de et de :
On peut maintenant trouver la longueur d’onde de De Broglie de cet électron :
Arrondis à deux décimales près, on trouve que la longueur d’onde de De Broglie de cet électron est de m.
Pour finir, résumons quelques concepts importants.
Points clés
- Les particules ayant une masse telles que les électrons et les protons ont des propriétés ondulatoires.
- La longueur d’onde d’une particule massive est connue sous le nom de longueur d’onde de De Broglie.
- La longueur d’onde de De Broglie peut être calculée en utilisant où est la quantité mouvement d’un objet, et est la constante de Planck.
- Les longueurs d’ondes de De Broglie des objets du quotidien avec lesquels nous interagissons sont extrêmement petites, expliquant ainsi pourquoi leurs propriétés ondulatoires ne sont pas observées.
