Transcription de la vidéo
Une planche de bois non homogène 𝐴𝐵, d’une longueur de 16 mètres est au repos à l’horizontale sur deux supports en 𝐶 et 𝐷 tels que 𝐴𝐶 mesure trois mètres et 𝐵𝐷 mesure quatre mètres. Si la distance maximale qu’un homme dont le poids est de 639 newtons peut se déplacer sur la planche de 𝐴 à 𝐵 sans déséquilibrer la planche est de 14,2 mètres et la distance maximale que le même homme peut se déplacer de 𝐵 à 𝐴 est de 14,8 mètres, trouvez le poids 𝑃 de la planche et la distance 𝑥 entre sa ligne d’action et le point 𝐴.
Il y a beaucoup d’informations qui nous sont données dans cette question. L’information la plus importante est que la planche est au repos, ce qui signifie qu’elle est en équilibre. Et cela nous dit deux conditions sur les forces agissant sur la planche. Les conditions sont que la somme de toutes les forces agissant sur la planche soit nulle. Et pour tout point, la somme de tous les moments de force autour d’un point est également nulle. Dans ce cas particulier, notre point de référence sera toujours sur la planche, et toutes les forces agissent perpendiculairement à la planche. Nous pouvons donc exprimer le moment de chaque force comme l’intensité de la force multipliée par la distance entre le point d’action de la force et le point de référence. Comme nous le découvrirons, nous pouvons trouver tout ce que nous recherchons en utilisant uniquement notre condition pour le moment de la force, la définition d’un moment de force et quelques calculs algébriques.
Avant d’y arriver, nous devons tracer un schéma pour organiser les informations que nous avons. En fait, nous allons tracer deux schémas, l’un correspondant à l’homme passant de 𝐴 à 𝐵 et l’autre correspondant à l’homme passant de 𝐵 à 𝐴. Nous avons notre planche de bois 𝐴𝐵, les deux supports 𝐶 et 𝐷. Et aussi, la longueur de la planche est de 16 mètres, la distance de 𝐴 à 𝐶 trois mètres et la distance de 𝐷 à 𝐵 quatre mètres. En termes de forces, nous savons que le poids 𝑃 agit sur la planche quelque part entre 𝐶 et 𝐷. Nous ne savons pas où parce que la planche est non homogène, mais nous savons qu’il se situe entre 𝐶 et 𝐷 parce qu’elle ne bascule pas.
Le poids est l’une des quantités que nous recherchons. L’autre quantité que nous recherchons est la distance 𝑥 entre le point d’action du poids et le point 𝐴. Cela vaut également la peine d’inclure les distances à partir du point auquel le poids agit et chaque support de notre schéma. Parce que nous ne connaissons pas 𝑥, nous ne connaissons pas non plus la distance entre le point auquel le poids agit et le support 𝐶. Appelons donc cette distance 𝑑.
Il y a maintenant des autres distances que nous pouvons étiqueter en fonction de 𝑑. D’une part, la distance entre 𝐴 et le support 𝐶 est de trois mètres et la distance entre le support 𝐶 et l’endroit où le poids agit est 𝑑. Donc, trois plus 𝑑 est 𝑥. En outre, la distance totale entre le support 𝐶 et le support 𝐷 est de 16 mètres pour l’ensemble de la planche moins quatre mètres pour 𝐷𝐵 moins trois mètres pour 𝐴𝐶 ou 16 moins sept ou neuf mètres. Mais comme la distance entre le support 𝐶 et le point où le poids agit est 𝑑 minuscule, la distance entre le point d’action du poids et le support 𝐷 doit être de neuf mètres moins 𝑑 minuscule.
Pour que la planche soit en équilibre, chaque support doit également exercer une force de réaction dirigée vers le haut, que nous appellerons 𝑅 indice 𝐶 et 𝑅 indice 𝐷. La seule autre force que nous devons considérer est le poids de 639 newtons de l’homme. Nous aurons ce poids agissant en deux points différents dans les deux schémas différents. Dans le premier schéma, nous allons placer l’homme à 14,2 mètres de 𝐴, c’est-à-dire jusqu’à ce qu’il puisse passer de 𝐴 à 𝐵 sans déséquilibrer la planche. Puisque la planche mesure 16 mètres de long, à 14,2 mètres de 𝐴 est le même que 1,8 mètres de 𝐵. Dans le deuxième schéma, nous placerons l’homme à 14,8 mètres de 𝐵 puisque c’est aussi loin que l’homme peut passer de 𝐵 à 𝐴 sans basculer sur la planche.
Comme précédemment, la longueur totale de la planche étant de 16 mètres, être à 14,8 mètres de 𝐵 équivaut à 16 moins 14,8 ou 1,2 mètres de 𝐴. Alors, nos schémas sont finis. Bien qu’ils soient assez complets et qu’il y ait beaucoup d’informations, nous verrons qu’en utilisant ce que nous savons déjà et en faisant quelques choix intelligents, nous pouvons utiliser chaque schéma pour produire une équation simple. Tout d’abord, utilisons ce que nous savons.
Nous savons que nous avons placé l’homme à la distance maximale possible sans déséquilibrer la planche. Voyons ce qui se passerait si l’homme s’était déplacé un peu plus loin, disons dans le deuxième schéma un peu plus près de l’extrémité en 𝐴. Si cela se produisait, la planche commencerait à pivoter autour du support en 𝐶 et, en fait, se détacherait directement du support en 𝐷. Si la planche se détache du support, elle n’exerce évidemment aucune pression sur le support. Mais si la planche n’exerce aucune pression sur le support, alors le support n’exerce aucune force de réaction sur le support. Mais comme il n’y a pas de pression lorsque la planche s’éloigne de 𝐷, il n’y a pas non plus de pression lorsque la planche est parfaitement équilibrée et que l’homme est à 1,2 mètre de 𝐴.
Donc, dans notre deuxième schéma où la planche est exactement équilibrée autour du support 𝐶, 𝑅 𝐷 est nul. De même, dans le premier schéma où la planche est exactement équilibrée autour du support en 𝐷 avec l’homme d’un côté et le poids de l’autre, il n’y a pas de pression sur le support en 𝐶 et notre 𝑅 𝐶 est nul. Nous avons maintenant éliminé une force de réaction de chacun de nos schémas. Prenons maintenant un moment pour réfléchir à nos conditions d’équilibre.
Dans notre expression pour un moment de force, si la force agit au point de référence, la distance entre la force et le point de référence est égale à zéro et le moment de la force autour de ce point de référence est égal à zéro. Donc, dans notre premier schéma, si nous choisissons le point de référence où le support 𝐷 rencontre la planche, alors le moment de 𝑅 𝐷 autour de ce point de référence sera zéro. De même, dans le deuxième schéma, si nous choisissons le point de référence où le support en 𝐶 rencontre la planche, alors le moment de 𝑅 𝐶 autour de ce point de référence sera zéro. En outre, si la valeur d’une force est nulle, le moment de cette force autour de tout point de référence est également nul.
Ainsi, dans le premier schéma, la réaction en 𝐶 est nulle. Et dans le deuxième, la réaction en 𝐷 est nulle. Et ainsi ces deux réactions fournissent un moment nul autour de leurs points de référence respectifs. Cela nous laisse dans les deux schémas avec le poids de la planche et le poids de l’homme comme les deux seules forces dont nous devons tenir compte lors de l’application de notre condition pour le moment de force totale. Notez également que, dans les deux schémas, le poids de la planche et le poids de l’homme agissent dans le même sens, mais des côtés opposés du point de référence. Donc, leurs moments ont des signes opposés.
Très bien, calculons le moment total pour chaque schéma. Dans le premier schéma, le poids 𝑃 agit à neuf mètres moins 𝑑 minuscule du point de référence. Son moment est donc 𝑃 fois neuf moins 𝑑 minuscule, que nous avons choisi arbitrairement pour être positif. Cela signifie que le moment de 639 newtons, le poids de l’homme, sera négatif. Eh bien, nous devons connaître la distance entre l’endroit où cette force agit et le point de référence.
Puisque l’homme est à 1,8 mètres de 𝐵 et que 𝐵 est à quatre mètres du point de référence, l’homme doit être à 2,2 mètres, quatre moins 1,8, du point de référence. Ainsi, le moment total dans notre premier schéma par rapport au point 𝐷 est 𝑃 fois neuf moins 𝑑 moins 639 fois 2,2, ce qui, dans nos conditions d’équilibre, doit être égal à zéro.
Dans notre deuxième schéma, le point de référence est où le support 𝐶 rencontre la planche. Donc, le poids de la planche est à une distance 𝑑 de ce point de référence. Cette fois, le poids de l’homme est à 1,2 mètres de 𝐴, et 𝐴 est à trois mètres du point de référence. L’homme se trouve donc à 1,8 mètre du point de référence. En combinant tout cela, nous avons un moment total de 𝑃 fois 𝑑 moins 639 fois 1,8, ce qui est égal à zéro.
Notez que nous avons de nouveau veillé à ce que les moments des deux forces aient des signes différents lorsqu’elles agissent dans le même sens mais sur des côtés opposés du point de référence. Et encore une fois, nous avons choisi arbitrairement notre convention de signes pour que le poids de la planche ait un moment positif. Comme nous l’avons mentionné précédemment, nous sommes autorisés à le faire aussi longtemps que nous choisissons de manière cohérente avec un schéma particulier.
Ensuite, nous avons deux équations à deux inconnues. Et tout ce qui reste à faire est d’utiliser l’algèbre pour les résoudre. Réorganisons ces deux équations sous une forme plus simple. Dans la première équation, nous allons développer 𝑃 sur neuf moins 𝑑, et nous ajouterons également 639 fois 2,2 aux deux côtés. Et dans la deuxième équation, nous ajouterons 639 fois 1,8 aux deux côtés. Nous avons neuf 𝑃 moins 𝑃𝑑 égale 639 fois 2,2 et 𝑃𝑑 égale 639 fois 1,8. Sous cette forme, nous voyons que nous pouvons éliminer 𝑑, plus précisément 𝑃 𝑑, de notre première équation en ajoutant notre deuxième équation.
Libérons de l’espace pour faire ce calcul. Nous allons supprimer les équations originales que nous avons écrites et conserver ces deuxièmes formes car elles véhiculent les mêmes informations mais de manière plus utile. Lorsque nous additionnons ces équations, sur le côté gauche, 𝑃𝑑 plus moins 𝑃𝑑 est zéro. Il ne nous reste donc plus que neuf 𝑃. Sur le côté droit, nous avons 639 fois 2,2 plus 639 fois 1,8, que lorsque nous introduisons dans une calculatrice donnent 2556.
Pour isoler 𝑃, tout ce que nous devons faire est de diviser 2556 par neuf. Lorsque nous faisons cela, nous constatons que 𝑃, le poids de la planche que nous recherchons, est de 284 newtons. Finalement, nous utilisons l’une ou l’autre de nos deux équations en substituant 𝑃 pour trouver 𝑑. Et puis à partir de 𝑑, nous pouvons trouver 𝑥, qui est l’autre quantité que nous recherchons. Utilisons notre deuxième équation 𝑃𝑑 égale 639 fois 1,8, en remplaçant 𝑃 par 284. Nous isolons 𝑑 en divisant 639 fois 1,8 par 284. Cela nous donne 𝑑 est exactement 4,05. Et en ajoutant trois pour trouver 𝑥, 𝑥 est de 7,05 mètres.
Donc, même si nous avons commencé avec beaucoup d’informations et un schéma assez compliqué, nous avons pu extraire ces deux équations relativement simples, puis nous avons calculé le poids de la planche et la position où il agit.
