Vidéo de la leçon: Équilibre d’un corps rigide sous l'action de forces parallèles Mathématiques

Transcription de la vidéo

Dans cette vidéo, nous allons apprendre à résoudre des problèmes impliquant l'équilibre d'un corps sous l'action de forces coplanaires parallèles. Commençons par rappeler certains concepts et termes clés que nous utilisons quand il s’agit de forces. Nous considérons, de manière informelle, que lorsqu’un corps est en équilibre, il est en quelque sorte équilibré. Et donc, formellement, nous disons que pour qu’un corps soit en équilibre, la somme des forces agissant sur ce corps doit être égale à zéro.

Maintenant, vu que la force peut avoir un sens ainsi qu’une intensité, on pourrait dire que la somme vectorielle des forces est nulle. Ou bien, si nous pensons à une force agissant dans deux directions, nous pouvons définir un sens pour la force en fonction des axes des 𝑥 et 𝑦. Et nous pouvons dire que la somme des forces dans chaque direction est nulle. La somme de 𝐹 𝑥 est zéro, et la somme de 𝐹𝑦 est zéro.

De même, pour qu’un corps soit en équilibre, on dit que la somme des moments doit être égale à zéro, où le moment est l’effet de rotation de la force. La formule que nous utilisons pour calculer un moment est 𝐹𝑑. Maintenant, 𝐹 ici est la force qui agit en un point, alors que 𝑑 est la distance perpendiculaire à partir de la ligne d’action de la force jusqu’au point par rapport auquel l’objet va tourner. Lorsque nous pensons à l’équilibre d’un corps rigide, tel qu’une barre, sous un système de forces, nous devons souvent combiner ces deux idées pour nous aider à trouver les informations manquantes. Voyons à quoi cela pourrait ressembler.

Une barre homogène ayant un poids de 35 newtons est au repos horizontalement sur deux supports 𝐴 et 𝐵 à ses extrémités, où la distance entre les supports est de 48 centimètres. Si un poids d’intensité 24 newtons est suspendu en un point situé à 38 centimètres de 𝐴, déterminez les réactions des deux supports 𝑅 indice 𝐴 et 𝑅 indice 𝐵.

Lorsqu’on nous pose une question comme celle-ci, avant de faire quoi que ce soit, nous commençons par tracer un diagramme de corps libre. Voici un diagramme très simple qui met en évidence les forces clés qui agissent sur notre corps. Voici notre barre de 48 centimètres reposant sur les supports 𝐴 et 𝐵 à ses extrémités.

Ensuite, on nous dit que la barre est homogène. Et ceci signifie que la force vers le bas de son poids, à savoir 35 newtons ici, doit agir en un point exactement à mi-chemin le long de la barre elle-même, soit 24 centimètres puis de l’une ou l’autre extrémité. Nous avons alors une autre force vers le bas. Il y a un poids d’intensité 24 newtons suspendu en un point situé à 38 centimètres de 𝐴.

Donc c’est tout ce que nous avons dans la question, mais nous n’avons pas encore terminé notre diagramme. La troisième loi de Newton sur le mouvement, qui est souvent énoncée de manière informelle que chaque action a une réaction égale et opposée, nous dit que comme la barre exerce une force vers le bas sur les deux supports 𝐴 et 𝐵, il doit y avoir une force de réaction des supports sur la barre elle-même. Ces forces de réaction sont normales, c’est-à-dire perpendiculaires, à la barre. Et nous allons les appeler 𝑅 indice 𝐴 et 𝑅 indice 𝐵. Et maintenant nous avons toutes nos forces, que faisons-nous ensuite ?

Eh bien, on nous dit que la barre est au repos, nous allons donc faire une hypothèse. Et cette hypothèse est que la barre elle-même soit en équilibre. Pour qu’un corps soit en équilibre, il y a deux critères importants. Le premier est que la somme de toutes les forces agissant sur ce corps doit être égale à zéro. Et le second est que la somme de tous les moments doit également être égale à zéro, où le moment qui est essentiellement l’effet de rotation de la force, est calculé en multipliant 𝐹 par 𝑑. 𝐹 ici est la force qui agit en un point, et 𝑑 est la distance perpendiculaire à partir de la ligne d’action de cette force jusqu’au point par rapport auquel l’objet va tourner.

Commençons donc par former une équation impliquant la somme des forces. Dans ce cas, les forces n’agissent que dans le sens vertical. Nous allons donc définir un sens positif ici. Nous allons définir « vers le haut » par le fait d’être positif de sorte que 𝑅 indice 𝐴 et 𝑅 indice 𝐵 agissent dans le sens positif. Puis 35 et 24 agissent dans le sens négatif. On peut donc dire que la somme des forces agissant dans cette direction doit être 𝑅 indice 𝐴 plus 𝑅 indice 𝐵 moins 35 moins 24. Et bien sûr, nous savons que la somme de ces forces doit être égale à zéro pour que le corps soit en équilibre. Moins 35 moins 24 est moins 59. Nous allons donc ajouter 59 aux deux membres de cette équation. Et nous trouvons que 𝑅 indice 𝐴 plus 𝑅 indice 𝐵 est égal à 59.

Nous ne pouvons pas faire grand-chose avec la somme des forces. Nous passons donc à la deuxième information. La somme des moments de nos forces doit également être égale à zéro. Donc nous choisissons un point par rapport auquel on calcule les moments. Maintenant, peu importe le point par rapport auquel nous choisissons de prendre des moments tant que nous faisons très attention à définir un sens. Dans ce cas, nous allons prendre des moments par rapport à l’une des extrémités de notre barre.

Prenons quelques moments par rapport à 𝐴 puisque nous avons défini toutes les distances à partir de ce point. Et nous allons définir le sens antihoraire pour être le sens positif ici. Bien sûr nous définissons un moment comme une force multipliée par la distance perpendiculaire à la ligne d’action de la force au point par rapport auquel l'objet va tourner.

Il convient de noter que nous calculons généralement les moments en fonction de newtons-mètres. Et donc nos forces sont en newtons et notre distance est en mètres. Cependant, dans ce cas, nous effectuons nos calculs en newtons et en centimètres. Et c’est tout à fait correct de procéder en newtons-centimètres tant que c’est cohérent. Commençons donc par calculer le moment de cette force de 35 newtons. Il s’agit d’essayer de tourner le corps dans le sens des aiguilles d’une montre, donc le moment sera négatif. Et il agit en un point situé à 24 centimètres de 𝐴. Donc le moment va être moins 35 fois 24.

En travaillant de gauche à droite, nous voyons maintenant que nous devons traiter cette force de 24 newtons. Encore une fois, ceci essaie de déplacer le corps dans le sens des aiguilles d’une montre. Son moment sera donc négatif. La force fois la distance ici est de 24 fois 38. Ensuite il y a un moment de plus que nous devons considérer. Et c’est le moment de la force de réaction en 𝐵. Cette fois, ceci agit dans le sens antihoraire, donc le moment sera positif. C’est 𝑅 indice 𝐵 fois la distance de 𝐴, qui est 48. Voilà donc la somme de nos moments. Et bien sûr nous savons que ceux-ci sont égaux à zéro. Moins 35 fois 24 moins 24 fois 38 est moins 1752. Notre équation se simplifie donc comme indiqué.

Nous pouvons maintenant résoudre cette équation pour 𝑅 indice 𝐵 en ajoutant 1752 aux deux membres. Donc, 48 𝑅 indice 𝐵 est 1752. Puis, enfin, nous divisons par 48. 1752 divisé par 48 est 36,5. Et donc nous pouvons dire que 𝑅 indice 𝐵 est de 36,5 newtons. Nous devons encore calculer la valeur de 𝑅 indice 𝐴. Nous allons donc libérer de l’espace et revenir à cette équation ici. 𝑅 indice 𝐴 plus 𝑅 indice 𝐵 est 59. Nous pouvons maintenant remplacer 𝑅 indice 𝐵 par 36,5. Et donc cette équation devient 𝑅 indice 𝐴 plus 36,5 est égal à 59. Résolvons pour 𝑅 indice 𝐴 en soustrayant 36,5 des deux membres. Donc 𝑅 indice 𝐴 est 59 moins 36,5, soit 22,5. Nous avons donc calculé les réactions des deux supports. 𝑅 indice 𝐴 est de 22,5 newtons, et 𝑅 indice 𝐵 est de 36,5 newtons.

Nous avons donc vu qu’en considérant les forces et les moments agissant simultanément sur le corps, nous pourrions créer un système d’équations linéaires que nous pourrions résoudre pour trouver les forces manquantes. Nous pouvons également utiliser cette même démarche pour trouver d’autres informations manquantes, telles que la longueur de la barre. Voyons un exemple.

Sur la figure, des forces d’intensités 61, 43, 100 et 𝐹 newtons agissent sur la barre légère, et la barre est en équilibre horizontalement. Déterminez la longueur du segment 𝐷𝐴 et l’intensité de 𝐹.

La clé pour répondre à cette question est de repérer que la barre est en équilibre. Alors qu’est-ce que cela signifie ? Eh bien, ceci signifie deux choses. Premièrement, la somme de toutes les forces agissant sur la barre est égale à zéro. Dans ce cas, nous considérerons la somme des forces agissant dans un sens vertical. Deuxièmement, ceci signifie également que la somme des moments de nos forces est également égale à zéro, où le moment est calculé en multipliant la force agissant en un point par la distance perpendiculaire à partir de la ligne d’action de cette force jusqu’au point par rapport auquel l’objet va tourner.

Commençons donc par considérer la somme des forces agissant sur notre diagramme. Définissons le sens positif comme étant vers le haut de sorte que 𝐹 agit dans le sens positif, tandis que 61,43 et 100 agissent dans le sens négatif. On peut donc dire que la somme de nos forces doit être 𝐹 moins 61 moins 43 moins 100. Et bien sûr nous savons que cette somme est égale à zéro.

Maintenant, en fait, l’expression sur le membre de gauche se simplifie en 𝐹 moins 204. Donc 𝐹 moins 204 est égal à zéro. Nous allons déterminer la valeur de 𝐹 en ajoutant 204 aux deux membres. Donc 𝐹 est égal à 204 ou 204 newtons. Nous avons donc maintenant calculé la valeur de 𝐹 et nous avons fait tout notre possible avec la somme de nos forces. Nous passons donc au deuxième critère. La somme des moments de nos forces est égale à zéro.

Maintenant, nous avons défini un sens positif ici. C’est le sens antihoraire. Et nous savons qu’un moment est calculé en multipliant la force par la distance perpendiculaire de cette force au point par rapport auquel l’objet tente de tourner. Nous avons quelques distances ici, mais il en manque une.

Définissons la distance entre 𝐴 et 𝐷, donc la longueur du segment 𝐷𝐴, que nous essayons accidentellement de trouver, est égale à centimètres. Puis une fois que nous avons cette information, nous choisissons un point qui va servir à calculer nos moments. Maintenant, nous pouvons choisir n’importe quel point de la barre elle-même. Nous allons choisir 𝐷 ici. Maintenant, la raison pour laquelle nous allons choisir 𝐷 est parce que la force 𝐹 agit en ce point. Et si nous n’avions pas encore calculé 𝐹, nous aurions quand même pu calculer les moments par rapport à ce point puisque le moment 𝐹 aurait été nul.

Il convient également de noter que nous choisissons généralement d’utiliser newtons-mètres lors du calcul des moments. Mais en fait, nos dimensions sont en centimètres. Nous allons donc travailler en newtons-centimètres. Et c’est tout à fait correct tant que c’est cohérent. Alors trouvons le moment de notre force de 61 newtons. Cette force tente de retourner l’objet dans le sens antihoraire. Donc, son moment sera positif. Il est à 100 centimètres de 𝐷, donc le moment est égal à 61 fois 100.

En allant de gauche à droite, nous allons maintenant traiter la force en 𝐶. Encore une fois, ceci correspond à déplacer l’objet dans le sens antihoraire. Donc, son moment sera positif. Mais maintenant c’est 43 fois 50. Comme nous l’avons dit, la force 𝐹 est à zéro centimètre de 𝐷. Nous n’avons donc pas besoin de nous inquiéter à propos de ce moment. Et au lieu de cela nous passons à la force en 𝐴.

Maintenant, cette force essaie de déplacer l’objet dans le sens des aiguilles d’une montre. Son moment sera donc positif. Et c’est 100 fois la distance de 𝐷, qui est 𝑥. Nous savons bien sûr que la somme de ces moments est nulle. Ainsi nous pouvons former une équation en 𝑥. Cette équation se simplifie à 8250 moins 100𝑥 est égal à zéro. Ensuite nous ajoutons 100𝑥 aux deux membres et nous divisons enfin par 100. Donc 𝑥 est 82,5. Et nous voyons que la longueur du segment 𝐷𝐴 est de 82,5 centimètres.

Dans notre dernier exemple, nous verrons comment utiliser les informations sur un objet en équilibre et un peu d’intuition pour modéliser des problèmes où une barre est sur le point de tourner.

La longueur d’une barre 𝐴𝐵 est de 111 centimètres, et son poids est de 95 newtons, ce qui agit en son milieu. La barre repose horizontalement sur deux supports, l’un d’entre eux se trouve à l’extrémité 𝐴 et l’autre en un point 𝐶, à 30 centimètres de 𝐵. Un poids de 71 newtons est suspendu à partir de la barre en un point situé à neuf centimètres de 𝐵. Trouvez l’intensité du poids qui devrait être suspendu à partir de l’extrémité 𝐵 de sorte que la barre soit sur le point de tourner, et déterminez la valeur de la pression 𝑃 exercée sur 𝐶 dans cette situation.

Commençons par dessiner un diagramme du corps libre illustrant cette situation. Voici notre barre. Maintenant, la force descendante de son poids agit en son milieu. Donc c’est 55,5 centimètres de chaque extrémité. Maintenant, nous avons aussi cette force de 71 newtons. Maintenant, ceci agit vers le bas en un point situé à neuf centimètres de 𝐵. Nous voulons ajouter un poids au point 𝐵. Nous ajoutons donc cela au diagramme ainsi que deux autres forces. C’est la force de réaction du support sur la barre. Nous les appellerons respectivement 𝑅 indice 𝐴 et 𝑅 indice 𝐵.

Maintenant, la barre est sur le point de tourner, elle est donc essentiellement en équilibre limite. On peut donc dire deux choses. Premièrement, la somme de toutes les forces agissant sur le corps est nulle. Et deuxièmement, la somme des moments est égale à zéro. Nous allons donc commencer par considérer la somme des forces. Nous allons prendre le sens vers lequel les forces de réaction agissent comme étant positives.

Et ceci signifie donc que la force de 95 newtons, la force de 71 newtons et le poids doivent agir dans le sens opposé. Nous pouvons donc dire que la somme des forces, que nous connaissons, est égale à zéro, c’est 𝑅 indice 𝐴 plus 𝑅 indice 𝐶 moins 95 moins 71 moins égale zéro. Et si nous ajoutons 95 et 71 aux deux membres de cette équation, nous obtenons 𝑅 indice 𝐴 plus 𝑅 indice 𝐶 moins égale 166.

Nous ne pouvons pas faire grand-chose avec cela. Alors nous passons à la prochaine information. Et c’est la somme des moments de nos forces qui est égale à zéro aussi. Libérons de l’espace et trouvons un point où nous voulons prendre des moments.

Maintenant, puisque nous avons cette force inconnue en 𝐵, prenons des moments par rapport à 𝐵. Et bien sûr, nous définissons un sens positif. Cette fois, choisissons le sens antihoraire. Nous commençons par penser à la force de réaction en 𝐴. Nous savons que ceci essaye de déplacer le corps dans le sens des aiguilles d’une montre. Et donc son moment va être négatif. C’est moins 𝑅 indice 𝐴 fois 111.

Le moment de la force du poids agit dans le sens antihoraire, il est donc positif. C’est 95 fois 55,5. Nous avons alors moins 𝑅 indice 𝐶 fois 30. C’est le moment de la force de réaction en 𝐶. Puis nous avons 71 fois neuf. C’est le moment de cette force de 71 newtons. La somme de ces moments, que nous mesurons bien sûr en newtons-centimètres, est égale à zéro. Et ceci se simplifie comme indiqué.

Maintenant, il y a une information que nous n’avons pas encore utilisée. Et c’est que la barre est sur le point de tourner. Maintenant, puisque nous ajoutons un poids en 𝐵, nous savons que l’objet va tourner par rapport à 𝐶. Ceci signifie donc, qu’à ce moment précis, il ne doit y avoir aucune force vers le bas de la barre au point 𝐴. Donc, de même, la force de réaction en 𝐴 doit également être égale à zéro. Nous pouvons donc réécrire notre équation en laissant 𝑅 indice 𝐴 égal à zéro. Et nous allons résoudre en ajoutant 30𝑅 indice 𝐶 aux deux membres. Donc, 30 𝑅 indice 𝐶 est 5911,5. Et lorsque nous divisons les deux membres par 30, nous obtenons 𝑅 indice 𝐶 égal à 197,05. Mais comment est-ce utile ?

Nous essayions de trouver la valeur de la pression 𝑃. Mais bien sûr, la pression est la quantité de force agissant sur une zone. Donc, puisque cette force agit en un point, on peut dire que 𝑅 indice 𝐶 doit en fait être égal à 𝑃. Et donc 𝑃 doit être égal à 197,05 newtons. Libérons de l’espace et utilisons cette information dans notre première équation ici. En utilisant 𝑅 indice 𝐴 égal à zéro et 𝑅 indice 𝐶 comme 197,05, notre équation est la suivante. Nous ajoutons des deux membres, puis soustrayons 166. Et donc nous obtenons est 31,05 ou 31,05 newtons.

Nous allons maintenant récapituler les points clés de cette leçon. Dans cette vidéo, nous avons vu que si un corps est en équilibre, nous pouvons dire que la somme de toutes les forces agissant sur ce corps doit être égale à zéro. Comme la force peut avoir un sens ainsi qu’une intensité, nous définissons un sens pour nos forces et disons que la somme des forces dans chaque sens est nulle. On peut aussi dire que la somme des moments doit également être égale à zéro. Nous avons vu que nous pouvons considérer les forces et les moments agissant sur le corps pour nous aider à créer un système d’équations linéaires, que nous pouvons résoudre pour trouver les valeurs manquantes.