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Fiche explicative de la leçon: Équilibre d'un corps rigide sous l'action de forces parallèles Mathématiques

Dans cette fiche explicative, nous allons apprendre à résoudre des problèmes portant sur l'équilibre d'un corps sous l'action de forces coplanaires parallèles.

Si un corps est rigide, alors les forces agissant sur le corps ne peuvent pas le déformer. Les forces ont seulement deux effets possibles sur le corps. Ces effets sont l’accélération du corps et la rotation du corps autour d’un point.

Si les forces exercées sur un corps rigide ne produisent pas d’accélération, alors le corps est en équilibre de translation. Dans ce cas, la somme des forces exercées sur le corps doit être nulle.

Si les forces exercées sur un corps rigide ne produisent pas de rotation, alors le corps est en équilibre de rotation. Dans ce cas, la somme des moments des forces exercées sur le corps doit être nulle.

Si la somme des forces et la somme des moments des forces exercées sur un corps rigide sont toutes deux nulles, alors le corps est en équilibre.

Définissons les conditions d’équilibre d’un corps rigide.

Définition : Conditions d’équilibre d’un corps rigide

Un corps rigide est en équilibre si la somme des forces et la somme des moments exercées sur le corps sont nulles.

Définissons également le moment d’une force.

Définition : Moment d’une force

Le moment d’une force par rapport à un point 𝑃 est la distance 𝑑 entre 𝑃 et le point d’application de la force, multipliée par la composante de la force perpendiculaire à la droite passant par 𝑃 et le point d’application de la force. Cela se traduit par 𝑀=𝐹𝑑𝜃,sin𝐹 est la force et 𝜃 est l’angle entre la direction de la force et la droite passant par 𝑃 et le point d’application de la force.

Cette fiche explicative traite exclusivement des exemples où les forces qui agissent sur un corps rigide sont parallèles et coplanaires.

Pour qu’un corps rigide soit en équilibre lorsque des forces parallèles agissent sur lui, l’une des deux conditions suivantes doit s’appliquer.

La première condition est le cas trivial où la ligne d’action de chacune des forces est parallèle à la longueur du corps et passe par le centre de masse du corps. La ligne d’action de ces forces est illustrée sur la figure suivante.

Toute force dirigée le long de la longueur du corps ne produit aucun moment par rapport aux points de cette ligne.

La deuxième condition est le cas où la ligne d’action de chacune des forces est perpendiculaire à la longueur du corps. Une ligne d’action possible de telles forces est illustrée sur la figure suivante.

L’angle 𝜃 qui correspond aux forces ayant cette ligne d’action ou toute autre ligne parallèle à celle-ci doit être égal à 90.

Puisque sin(90)=1, le calcul des moments des forces dans ce cas est obtenu à partir de la formule 𝑀=𝐹𝑑.

Voyons un tel exemple.

Exemple 1: Déterminer les réactions des supports d’une barre en équilibre

Une barre homogène ayant un poids de 35 N repose horizontalement sur deux supports 𝐴 et 𝐵 à ses extrémités, où la distance entre les supports est de 48 cm. Si un poids d’intensité 24 N est suspendu à un point qui se trouve à 38 cm de 𝐴, déterminez les réactions des deux supports 𝑅 et 𝑅.

Réponse

Il y a deux forces de réaction à déterminer. La barre est au repos, donc la somme de ces forces doit être égale à la somme du poids de la barre et du poids suspendu à la barre;ainsi, 𝑅+𝑅=35+24=59.NNN

Nous pouvons déterminer les moments soit par rapport à 𝐴, soit par rapport à 𝐵. Évaluons les moments par rapport à 𝐵.

La barre étant en équilibre, donc les moments dans le sens des aiguilles d’une montre et dans le sens opposé des aiguilles d’une montre par rapport à 𝐵 sont égaux.

La figure suivante montre les forces agissant sur la barre. La barre est homogène, par conséquent, son poids agit en son milieu. Les distances en centimètres sont converties en mètres.

Le seul moment dans le sens des aiguilles d’une montre par rapport à 𝐵 est dû à 𝑅. Les moments dans le sens opposé des aiguilles d’une montre autour de 𝐵 sont dus au poids de la barre et au poids suspendu à la barre.

Puisque les moments par rapport à 𝐵 sont égaux, on a (0,24×35)+((0,480,38)×24)=0,48×𝑅.

Ceci peut être simplifié pour donner:𝑅=(0,24×35)+((0,480,38)×24)0,48𝑅=8,4+2,40,48=22,5.N

Or, nous avons trouvé précédemment que 𝑅+𝑅=35+24=59,NNN et donc, 𝑅 est donné par 𝑅=59𝑅𝑅=36,5.N

Voyons un autre exemple, cette fois avec un corps non homogène.

Exemple 2: Déterminer le point d’application du poids d’une barre non homogène en déterminant la résultante des forces et en utilisant les moments

Une barre non homogène 𝐴𝐵 ayant un poids de 40 N et une longueur de 80 cm est suspendue verticalement à partir de son milieu par une corde légère, et atteint l’équilibre dans une position horizontale lorsqu’un poids d’intensité 29 N est suspendu à son extrémité 𝐴. Déterminez la distance, 𝑥, entre le point d’application du poids de la barre et l’extrémité 𝐴. Si l’on retire le poids en 𝐴, déterminez l’intensité de la force verticale agissant à l’extrémité 𝐵 qui serait nécessaire pour maintenir la barre en équilibre dans une position horizontale.

Réponse

Dans cet exemple, seule la force verticale dirigée vers le haut et exercée par la corde est inconnue. La corde est légère, ce qui signifie qu’elle a un poids négligeable, de sorte que la force vers le bas due au poids de cette corde est négligeable.

La force ascendante exercée sur la barre est égale à la somme des forces descendantes. Par conséquent, la tension dans la corde est donnée par 𝑇=40+29=69.NNN

La barre est non homogène et, par conséquent, la position du centre de masse de la barre est inconnue, à part qu’elle n’est pas au milieu de la barre.

Lorsqu’un poids est suspendu à la barre en 𝐴, celle-ci est en équilibre. Si les moments dans le sens des aiguilles d’une montre ou dans le sens opposé des aiguilles d’une montre sont pris par rapport au point 𝑃 où la corde suspend la barre, la force due à la corde produit un moment nul par rapport à 𝑃. Les seuls moments sur la barre par rapport à 𝑃 sont dues au poids suspendu en 𝐴 et au poids de la barre agissant au centre de masse de la barre. Comme la barre est en équilibre, ces moments doivent être égaux.

L’énoncé nous dit que la barre mesure 80 cm de long, de sorte que la distance de 𝑃 à 𝐴 est 40 cm. Par conséquent, les moments par rapport à 𝑃 sont donnés par 29×40=40𝑑,𝑑 est la distance entre 𝑃 et le centre de masse de la barre. Résolvons l’équation en isolant 𝑑:𝑑=29×4040=29.cm

Le centre de masse est à 29 cm du milieu de la barre. Or, le milieu est à 40 cm de 𝐴, donc la distance entre 𝐴 et le centre de masse de la barre est 29+40=69.cm

Lorsque le poids suspendu en 𝐴 est retiré, la barre cesse d’être en équilibre jusqu’à ce qu’une force vertical 𝐹 agisse en 𝐵.

Prenant à nouveau les moments par rapport à 𝑃, le moment dû au poids de la barre, qui s’applique à droite de 𝑃, agit dans le sens des aiguilles d’une montre. La force agissant en 𝐵 est encore plus à droite de 𝑃, donc la force agissant en 𝐵 doit agir dans le sens opposé au poids de la barre.

Les moments par rapport à 𝑃 sont maintenant donnés par 40×29=𝐹×40.Ncmcm

Résolvant l’équation en isolant 𝐹:𝐹=40×2940=29.N

Il est intéressant de remarquer que dans l’exemple précédent, il n’était pas nécessaire de prendre en compte les conditions d’équilibre de translation de la barre pour déterminer les valeurs inconnues, seulement les conditions d’équilibre de rotation de la barre.

Voyons un exemple avec des tensions de cordes supportant un corps. Cet exemple contient plus de forces que dans les exemples précédents, mais peut être résolu de la même manière.

Exemple 3: Déterminer les tensions dans un problème d’équilibre

Une barre homogène 𝐴𝐵 pèse 70 N et a une longueur de 95 cm. Elle est suspendue à ses extrémités par deux cordes verticales, où 𝑇 est la tension de la corde en 𝐴 et 𝑇 est la tension de la corde en 𝐵. Un poids de 100 N est suspendu à la barre à 30 cm de 𝐴 et un poids de 93 N est suspendu à la barre à 20 cm de 𝐵. Déterminez les valeurs de 𝑇 et 𝑇.

Réponse

Il y a deux forces de tension inconnues. La barre est au repos, donc la somme de ces forces doit être égale à la somme du poids de la barre et des deux poids suspendus à la barre;par conséquent, 𝑇+𝑇=70+100+93=263.NNNN

Nous pouvons déterminer les moments soit par rapport au point 𝐴 soit par rapport au point 𝐵. Choisissons le point 𝐴.

La barre est en équilibre, donc les moments dans le sens des aiguilles d’une montre et dans le sens inverse par rapport à 𝐴 sont égaux.

Étant donné que 𝑇 agit en 𝐴, cette force produit un moment nul par rapport à 𝐴. 𝑇 agit vers le haut et toutes les autres forces sur la barre agissent vers le bas, donc le moment dû à 𝑇 est égale à la somme des moments restants, 95×𝑇=(30×100)+952×70+((9520)×93)95×𝑇=3000+3325+6975=13300𝑇=1330095=140.N

Comme vu précédemment, 𝑇+𝑇=263,N donc 𝑇=263140=123.N

On considère en général que certaines forces agissant sur les corps ne varient pas. Par exemple, on ne considère pas, en général, que le poids d’un corps peut varier. Mais en réalité, si un corps s’éloigne suffisamment de la Terre, alors son poids varie. Par ailleurs, si un corps se fragmente, alors le poids des fragments qui se séparent du corps est soustrait au poids du corps. Ces types de situations ne sont pas prises en compte dans cette fiche explicative.

En revanche, lorsque plusieurs forces de réaction ou de tension agissent sur un corps rigide, l’intensité de ces forces peut seulement varier selon la position du point d’application de la force agissant sur le corps.

Considérons les forces agissant sur le corps homogène sur la figure suivante.

Deux forces de réaction agissent sur le corps. Pour que le corps soit en équilibre de translation, la somme des forces de réaction doit être égale à la somme du poids de l’objet 𝑊 et de la force appliquée vers le bas 𝐹. Cela doit être vrai quel que soit où 𝐹 agit.

Pour que le corps soit en équilibre de rotation, à moins que 𝐹 agisse au centre de la masse du corps, 𝑅 doit être différent de 𝑅. Lorsque l’on déplace le point d’application de 𝐹, 𝑅 et 𝑅 varient tous les deux. Plus la distance entre le point d’application de 𝐹 et 𝐴 est grande, plus l’intensité de 𝑅 diminue et plus l’intensité de 𝑅 augmente, afin que le corps soit toujours en équilibre de rotation.

En faisant varier la position du point d’application d’une force sur un corps, et en comparant les moments par rapport à un point du corps en fonction des différentes positions du point d’application de la force, il est possible de déterminer la position du point d’application du poids et son intensité.

Voyons maintenant un exemple où une force est appliquée sur un corps en différents points.

Exemple 4: Moments équilibrés

𝐴𝐵 est une barre non homogène de longueur 77 cm reposant en position horizontale sur un support, qui est à 26 cm de l’extrémité 𝐴. Elle est maintenue en équilibre grâce à un poids de 16 N suspendu à son extrémité 𝐴 et à un poids de 2 N suspendu à l’extrémité 𝐵. Si l’on fait varier la distance entre le support et l’extrémité 𝐴 pour la rendre égale à 23 cm, la barre sera maintenue en équilibre en suspendant un poids de 18 N en 𝐴 seulement. Déterminez l’intensité du poids de la barre 𝑊 et la distance, 𝑥, entre sa ligne d’action et le point 𝐴. Arrondissez les réponses au centième près.

Réponse

La situation décrite dans l’énoncé peut être représenté par la figure suivante, qui montre les deux dispositions de la barre. La barre est en équilibre dans les deux cas.

Au point où la force de réaction agit, la réaction du support est donnée par 𝑅=18+𝑊, mais 𝑊 et 𝑥 ne sont pas connus. Ces deux inconnues ne peuvent pas être déterminées de manière unique en considérant l’une disposition ou l’autre séparément, seulement en comparant les deux cas.

Pour les deux arrangements, la barre est en équilibre, et donc le moment net près de n’importe quel point de la barre est nul pour les deux arrangements. Considérons le moment résultant par rapport à 𝐴 pour les deux arrangements.

Dans le cas où des forces agissent à la fois en 𝐴 et en 𝐵, les moments par rapport à 𝐴 sont donnés par (26(18+𝑊))𝑥𝑊2(77)=0. Ce qui peut être réarrangé comme 468+26𝑊=𝑥𝑊+154314=𝑥𝑊26𝑊.

Dans le cas où une seule force agit en 𝐴, les moments autour de 𝐴 sont donnés par (23(18+𝑊))𝑥𝑊=0.

Ce qui peut être réarrangé comme 414=𝑥𝑊23𝑊.

Comme les moments résultants par rapport à 𝐴 sont nuls dans les deux cas, ils doivent également être égaux entre eux, ainsi 314+26𝑊𝑥𝑊=414+23𝑊𝑥𝑊.

Cela peut être réarrangé pour obtenir 𝑊 comme suit.

Soustraire 𝑥𝑊 de chaque membre de l’équation pour obtenir 314+26𝑊=414+23𝑊.

Soustraire 314 de chaque membre de l’équation pour obtenir 26𝑊=100+23𝑊.

Soustraire 23𝑊 de chaque membre de l’équation pour obtenir 3𝑊=100𝑊=1003.N

Au centième près, 𝑊=33,33.N

D’après l’énoncé, pour le cas avec une seule force agissant en 𝐴. La distance entre le point d’application du poids de la barre et l’extrémité 𝐴 est 𝑥 dans les deux cas. Pour déterminer 𝑥, on peut prendre les moments par rapport au point d’application de la force de réaction du support. La distance entre ce point et le point d’application du poids de la barre est 𝑑, donnée par (23×18)=𝑑1003414=𝑑10034143100=𝑑=12,42.cm

La distance entre 𝐴 et le point d’application du poids de la barre est donnée par 𝑥=23+12,42=35,42.cm

Nous terminons avec un exemple où un corps rigide est soumis à des forces jusqu'à ce qu'il soit sur le point de tourner.

Exemple 5: Trouver le poids attaché à une extrémité d'une barre qui la fait tourner

La longueur d'une barre 𝐴𝐵 est de 111 cm, et son poids est de 95 newtons, qui agit en son milieu. La barre repose horizontalement sur deux supports, dont l'un est au bout 𝐴, et l'autre au point 𝐶, qui est 30 cm de 𝐵. Un poids de 71 newtons est suspendu à la barre au point qui est 9 cm de 𝐵. Trouvez l'intensité du poids 𝑤 qui doit être suspendu à l'extrémité 𝐵 pour que la barre soit sur le point de tourner, et déterminez la valeur de la force descendante 𝑃 exercé sur 𝐶 dans cette situation.

Réponse

Nous commençons par dessiner une figure de l'arrangement décrit dans la question, comme indiqué ci-dessous.

La barre repose horizontalement sur les deux supports à 𝐴 et 𝐶;elle est sur le point de tourner mais n'a pas commencé à tourner. Par conséquent, la somme des forces et la somme des moments sont toutes deux nulles, donc le corps est en équilibre.

Puisque la force résultante dans n'importe quelle direction est nulle, la résolution verticale donne 𝑅+𝑅=95+71+𝑤𝑅+𝑅=166+𝑤,𝑤 n'est pas encore connu. Cependant, comme le poids 𝑤 est suspendu à l'extrémité 𝐵, cela signifie que la barre est sur le point de tourner dans le sens horaire par rapport au support à 𝐶. Par conséquent, il est sur le point de perdre le contact avec le support en 𝐴, ce qui implique que 𝑅=0. Cela donne 𝑅=166+𝑤.

De plus, le moment net autour de n'importe quel point de la barre est nul, donc en particulier les moments dans le sens horaire et antihoraire sur 𝐶 sont égaux. En écrivant toutes les longueurs dans mètres, nous avons (1,110,3)𝑅+(1,110,09)71+0,3𝑤=1,1120,3950,81𝑅+14,91+0,3𝑤=24,225.

En rappelant que 𝑅=0 et en soustrayant 14,91 des deux membres nous obtenons 0,3𝑤=9,315.

Enfin, diviser les deux membres par 0,3 implique que 𝑤=31,05.

Nous concluons que l'intensité du poids 𝑤 est de 31,05 N.

Pour déterminer la valeur de la force descendante 𝑃 exercée sur 𝐶 dans cette situation, notez que celle-ci sera de même intensité mais en sens inverse , à 𝑅. Par conséquent, en revenant à notre première équation, nous avons 𝑃=𝑅=166+𝑤=166+31,05=197,05.N

Points Clés

  • Les forces parallèles agissant sur un corps rigide en équilibre doivent être parallèles à la longueur du corps, passant par son centre de masse, ou perpendiculaire à cette direction.
  • La force résultante et le moment résultant dus aux forces parallèles doivent être nuls pour qu’un corps soit en équilibre.
  • Les valeurs de plusieurs forces de tension ou de réaction agissant sur un corps rigide en équilibre dépendent de leurs distances respectives du centre de masse du corps.

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