Transcription de la vidéo
Déterminer l’ensemble de définition et l’ensemble image de la fonction 𝑓 telle que 𝑓 de 𝑥 égale valeur absolue de cinq 𝑥 plus cinq moins neuf.
Commençons par rappeler ce que nous entendons par ensemble de définition et ensemble image d’une fonction. L’ensemble de définition d’une fonction est l’ensemble des valeurs possibles pour notre variable indépendante, en d’autres termes, l’ensemble des valeurs 𝑥 qui peuvent être passées à la fonction et produiront essentiellement des valeurs réelles pour 𝑓 de 𝑥. Ensuite, l’ensemble image est l’ensemble des valeurs résultantes possibles de la variable dépendante lorsque l’ensemble de définition a été passé à la fonction. En d’autres termes, l’ensemble image est l’ensemble des valeurs de 𝑓 de 𝑥 que nous obtenons après avoir substitué toutes les valeurs de 𝑥 possibles.
Maintenant, réfléchissons à ce que la fonction 𝑓 effectue. Elle prend les valeurs de 𝑥, les substitue dans l’expression cinq 𝑥 plus cinq, puis rend cela positif. Enfin, elle soustrait neuf. Il n’existe pas de valeur de 𝑥 qui ne pourrait pas être passée à la fonction, donc l’ensemble de définition de notre fonction est simplement l’ensemble des nombres réels.
Et qu’en est-il de l’ensemble image ? Eh bien, il y a deux façons de calculer cela. Tout d’abord, examinons cela algébriquement. Si nous avons la valeur absolue de cinq 𝑥 plus cinq, qu’obtenons-nous lorsque nous y substituons des valeurs de 𝑥 ? Eh bien, si 𝑥 est égal à moins un, nous obtenons cinq fois moins un plus cinq, ce qui est égal à zéro. Et la valeur absolue de zéro est simplement zéro. Pour toutes les autres valeurs réelles de 𝑥, nous obtenons un résultat supérieur à zéro. Et donc, nous pouvons dire que l’ensemble image de la fonction valeur absolue de cinq 𝑥 plus cinq est supérieur ou égal à zéro.
Nous allons soustraire neuf des deux côtés de cette inégalité. Et nous constatons que la valeur absolue de cinq 𝑥 plus cinq moins neuf doit être supérieure ou égale à moins neuf. Et donc en utilisant la notation d’ensemble pour l’ensemble image, nous constatons qu’il s’agit de l’intervalle semi-fermé à gauche de moins neuf à plus l’infini.
Mais il existe une autre façon de trouver l’ensemble image. Et c’est en considérant la courbe de la fonction. Nous prenons la courbe de 𝑦 égale cinq 𝑥 plus cinq. C’est une droite qui passe par l’axe des ordonnées en cinq et l’axe des abscisses en moins un. Nous trouvons ensuite la valeur absolue de toutes nos sorties, de toutes nos valeurs de 𝑦. En d’autres termes, toutes les valeurs du graphique situées en dessous de l’axe des abscisses sont reflétées selon l’axe des abscisses comme indiqué. Notez que cela inclut 𝑦 égale zéro.
En soustrayant neuf de notre fonction, nous la translatons de neuf unités vers le bas. Le point le plus bas de notre graphique a pour coordonnées moins un, moins neuf. Et nous avons dit que l’ensemble image est l’ensemble de toutes les valeurs possibles de 𝑦 après avoir substitué nos valeurs possibles de 𝑥 dans l’expression. Nous voyons sur notre graphique que 𝑦 est toujours supérieur ou égal à moins neuf. Et donc nous nous retrouvons avec le même ensemble image que précédemment. C’est-à-dire l’intervalle semi-fermé à gauche de moins neuf à plus l’infini.
