Vidéo de la leçon: Fonction valeur absolue Mathématiques

Transcription de la vidéo

Dans cette vidéo, nous allons apprendre à évaluer et représenter graphiquement des fonctions valeur absolue et à identifier leur ensemble de définition et leur ensemble image. Nous commencerons par rappeler ce que nous entendons par une fonction valeur absolue. Une fonction valeur absolue contient une fonction algébrique entre des symboles de valeur absolue. La valeur absolue de tout nombre est sa distance à zéro sur la droite graduée.

Considérons la fonction 𝑓 de 𝑥 qui est égale à la valeur absolue, parfois appelée module, de 𝑥. Pour représenter graphiquement cette fonction, nous choisirons des valeurs entières de 𝑥 et trouverons les coordonnées des points correspondants. La valeur absolue de moins deux est égale à deux car moins deux est à une distance de deux de zéro sur la droite graduée. La valeur absolue de moins un est égale à un car moins un est à une distance de un de zéro sur la droite graduée. Cela nous amène au fait que la valeur absolue d’un nombre ne peut pas être négative. Nous ne nous intéressons pas au signe mais seulement à la distance du nombre à partir de zéro. La valeur absolue de zéro, un et deux est zéro, un et deux, respectivement.

Nous pouvons alors représenter graphiquement cette fonction sur un repère où 𝑦 est égal à 𝑓 de 𝑥. Notre première paire de coordonnées est moins deux, deux. Nous avons ensuite moins un, un. Nos trois autres points sont zéro, zéro ; un, un ; et deux, deux. En reliant ces points, nous créons un graphique en forme de V. Cela sera vrai pour la valeur absolue de toute fonction linéaire de la forme 𝑚𝑥 plus 𝑏. Voyons maintenant quelques points clés ou informations de ce graphique. Le sommet du graphique a les coordonnées zéro, zéro. C’est le point minimum de la fonction valeur absolue de 𝑥. L’axe des 𝑦 est un axe de symétrie. Cela signifie que l’équation de l’axe de symétrie est 𝑥 égal zéro.

Nous savons que l’ensemble de définition de toute fonction est l’ensemble de valeurs d’entrée possibles de la fonction. Comme nous pouvons substituer n’importe quelle valeur de 𝑥 dans notre fonction, l’ensemble de définition est l’ensemble de tous les nombres réels. Cela peut également être écrit comme l’intervalle ouvert moins l’∞, l’∞. L’ensemble image correspond aux valeurs de sortie de la fonction. Ce sont toutes les valeurs de 𝑦 ou 𝑓 de 𝑥. Celles-ci sont toutes situées au-dessus ou sur l’axe des 𝑥. Par conséquent, 𝑓 de 𝑥 est supérieure ou égale à zéro. Encore une fois, cela peut s’écrire comme un intervalle, l’intervalle fermé en zéro ouvert à l’∞. Enfin, nous voyons que l’intersection avec l’axe des 𝑦 et l’intersection avec l’axe des 𝑥 sont toutes deux à l’origine.

Nous allons maintenant examiner quelques questions où nous devons trouver l’ensemble de définition et l’ensemble image d’une fonction valeur absolue à partir de son graphique.

Trouver l’ensemble image de la fonction 𝑓 de 𝑥 égal valeur absolue de moins deux 𝑥 moins deux.

L’ensemble image d’une fonction 𝑦 égal 𝑓 de 𝑥 est l’ensemble des valeurs que 𝑦 prend pour toutes les valeurs de 𝑥 dans l’ensemble de définition de 𝑓. Pour tout graphique tracé dans un repère, l’ensemble image ou l’étendue est l’ensemble des valeurs que 𝑦 prend. Pour la fonction 𝑓 de 𝑥 qui est égale à la valeur absolue de moins deux 𝑥 moins deux, toutes nos valeurs de 𝑦 sont au-dessus ou sur l’axe des 𝑥. On peut donc dire que 𝑦 ou 𝑓 de 𝑥 doit être supérieur ou égal à zéro. Cela peut être écrit, en utilisant la notation d’intervalle, l’intervalle fermé à gauche, ouvert à droite allant de zéro à l’∞. L’intervalle est fermé en zéro car la fonction peut être égale à zéro. Ceci est indiqué par le cercle plein ou le point en moins un, zéro. Comme 𝑓 de 𝑥 ne peut jamais atteindre l’∞, nous utilisons un intervalle ouvert pour la limite supérieure.

Déterminer l’ensemble de définition et l’ensemble image de la fonction 𝑓 de 𝑥 est égal à valeur absolue de moins 𝑥 moins un plus un.

L’ensemble de définition de toute fonction est l’ensemble de toutes les valeurs d’entrée possibles. Lorsque le graphique est tracé dans un repère ceci est indiqué par toutes les valeurs 𝑥 pouvant être substituées dans la fonction. Comme nous pouvons substituer n’importe quelle valeur de 𝑥 dans la fonction, l’ensemble de définition est l’ensemble de toutes les valeurs réelles. Cela peut également être écrit comme l’ensemble de valeurs de l’intervalle ouvert moins l’∞, l’∞. L’ensemble image d’une fonction est l’ensemble de toutes les valeurs de sortie possibles. Dans le repère, ce sont toutes les valeurs de 𝑦 ou 𝑓 de 𝑥. Nous pouvons voir sur notre graphique que le sommet ou le point minimum est en moins un, un. L’ensemble image de la fonction 𝑓 est donc l’intervalle fermé à gauche, ouvert à droite, allant de un à l’∞.

Le cercle plein ou point en moins un, un signifie que nous utiliserons l’intervalle fermé car la valeur de un est incluse dans notre intervalle. La fonction 𝑓 de 𝑥 qui est la valeur absolue de moins 𝑥 moins un plus un a comme ensemble de définition toutes les valeurs réelles et comme ensemble image l’intervalle allant de un à l’∞.

Dans nos deux prochaines questions, nous calculerons l’ensemble de définition et l’ensemble image sans graphique donné par l’énoncé.

Étant donné que 𝑎 est une constante, quel est l’ensemble de définition de la fonction 𝑓 de 𝑥 égal valeur absolue de 𝑥 plus 𝑎 ?

Commençons par rappeler à quoi ressemble le graphique de la fonction valeur absolue de 𝑥. C’est un graphique en forme de V avec un minimum ou sommet en zéro, zéro. Nous rappelons que l’ensemble de définition est l’ensemble des valeurs d’entrée ou des valeurs de 𝑥. Cela signifie que l’ensemble de définition de 𝑔 de 𝑥, la fonction valeur absolue de 𝑥, est constitué de toutes les valeurs réelles. Bien qu’il ne soit pas mentionné dans cette question, l’ensemble image est l’ensemble des valeurs de 𝑦 ou de sortie. Comme les valeurs 𝑦 de 𝑔 de 𝑥 sont toutes supérieures ou égales à zéro, l’ensemble image de 𝑔 de 𝑥 est l’intervalle fermé à gauche, ouvert à droite allant de zéro à l’∞.

Considérons maintenant notre fonction 𝑓 de 𝑥, qui est égale à la valeur absolue de 𝑥 plus 𝑎. La fonction 𝑓 de 𝑥 est une translation horizontale de 𝑔 de 𝑥 𝑎 unités vers la gauche. Si 𝑎 est un nombre positif, le graphique se décale ou se translate 𝑎 unités vers la gauche. À l’inverse, si 𝑎 est un nombre négatif, le graphique se déplace ou se translate vers la droite. Comme le graphique se déplace seulement horizontalement, l’ensemble image et l’ensemble de définition n’ont pas changé. L’ensemble de définition de la fonction 𝑓 de 𝑥 qui est égale à la valeur absolue de 𝑥 plus 𝑎 est l’ensemble de toutes les valeurs réelles. Cela pourrait également être écrit comme l’ensemble des valeurs de moins l’∞ à l’∞.

Déterminer l’ensemble de définition et l’ensemble image de la fonction 𝑓 de 𝑥 égale à moins quatre fois la valeur absolue de 𝑥 moins cinq moins un.

Commençons par examiner à quoi ressemble la fonction générale valeur absolue de 𝑥. Il s’agit d’un graphique en forme de V avec un point minimum ou un sommet en zéro, zéro. Nous allons maintenant considérer les transformations qui sont faites pour obtenir la fonction 𝑓 de 𝑥. Commençons par considérer la valeur absolue de 𝑥 moins cinq. Il s’agit d’une translation de cinq unités vers la droite. Cette fonction aurait donc un point minimum ou sommet en cinq, zéro. La multiplication de la valeur absolue de 𝑥 moins cinq par moins quatre donne une dilatation de facteur moins quatre. Cela signifie que le graphique devient quatre fois plus pentu et est également reflété par rapport à l’axe des 𝑥.

Enfin, nous devons soustraire un à cette fonction. Cela entraîne une translation d’une unité vers le bas dans la direction 𝑦. La fonction 𝑓 de 𝑥 qui est égale à moins quatre fois la valeur absolue de 𝑥 moins cinq moins un est indiquée en vert. Nous allons maintenant supprimer certains des autres graphiques du repère. Le sommet ou le point maximal de 𝑓 de 𝑥 a pour coordonnées cinq, moins un. Nous savons que l’ensemble de définition de toute fonction est l’ensemble des valeurs de 𝑥 ou d’entrée. Comme nous pouvons prendre n’importe quelle valeur en entrée dans cette fonction 𝑓 de 𝑥, l’ensemble de définition est l’ensemble de toutes les valeurs réelles de moins l’∞ à l’∞.

L’ensemble image est l’ensemble de toutes les valeurs de sortie ou 𝑦. Sur le graphique, nous pouvons voir que ce sont toutes des valeurs inférieures ou égales à moins un. L’ensemble image de 𝑓 de 𝑥 est donc égal à l’ensemble des valeurs de l’intervalle ouvert à gauche, fermé à droite allant de moins l’∞ à moins un.

Dans la dernière question de cette vidéo, nous évaluerons une fonction valeur absolue par substitution directe.

Un corps se déplace avec une vitesse uniforme de cinq centimètres par seconde du point 𝐴 au point 𝐶 passant par le point 𝐵 sans s’arrêter. La distance entre le corps et le point 𝐵 est donnée par 𝑑 de 𝑡 est égal à cinq fois la valeur absolue de huit moins 𝑡, où 𝑡 est le temps en secondes et 𝑑 est la distance en centimètres. Déterminer la distance entre le corps et le point 𝐵 après cinq secondes et après 11 secondes.

On nous donne un schéma qui montre le corps qui est sur le point de se déplacer du point 𝐴 au point 𝐶 via le point 𝐵 avec une vitesse de cinq centimètres par seconde. Bien qu’il y ait beaucoup d’informations dans cette question, le point clé est que la fonction 𝑑 de 𝑡 est égale à cinq multipliée par huit moins 𝑡. 𝑑 de 𝑡 est la distance entre le corps et le point 𝐵 après un temps donné. Nous devons calculer cette distance après cinq secondes et aussi après 11 secondes. Après cinq secondes, 𝑡 est égal à cinq. Par conséquent, nous devons calculer 𝑑 de cinq.

Cela équivaut à cinq fois la valeur absolue de huit moins cinq. Huit moins cinq est égal à trois, nous devons donc multiplier cinq par la valeur absolue de trois. Comme la valeur absolue d’un nombre est sa distance à zéro, la valeur absolue de trois est trois. Comme cinq multiplié par trois est égal à 15, la distance entre le corps et le point 𝐵 après cinq secondes est de 15 centimètres.

Nous devons répéter ce processus lorsque 𝑡 est égal à 11. Cela signifie que nous devons calculer la valeur de 𝑑 de 11. Cela équivaut à cinq fois la valeur absolue de huit moins 11. Huit moins 11 est égal à moins trois. Comme la valeur absolue d’un nombre est sa distance à zéro, la valeur absolue de moins trois est également trois. En fait, la valeur absolue d’un nombre quelconque est toujours positive. En multipliant cinq par trois encore une fois, nous voyons que la distance entre le corps et le point 𝐵 après 11 secondes est également de 15 centimètres.

En ce qui concerne notre schéma, nous pouvons voir qu’après cinq secondes et 11 secondes, le corps est à la même distance du point 𝐵. Après cinq secondes, il est toujours en train de s’approcher du point 𝐵 venant du point 𝐴. Et après 11 secondes, il a passé le point 𝐵 et il se dirige vers le point 𝐶.

Nous allons maintenant résumer les points clés de cette vidéo. Dans cette vidéo, nous avons vu que la valeur absolue d’un nombre est sa distance à zéro. Cela signifie que la valeur absolue d’un nombre ne peut jamais être négative. L’ensemble de définition de toute fonction est l’ensemble des valeurs de 𝑥 ou des valeurs d’entrée. Nous avons vu que lorsqu’il s’agissait de la valeur absolue des fonctions linéaires de la forme 𝑚𝑥 plus 𝑏, l’ensemble de définition était égal à toutes les valeurs réelles de l’intervalle ouvert allant de moins l’∞ à l’∞. L’ensemble image d’une fonction est l’ensemble des valeurs de 𝑦 ou de sortie. Si 𝑓 de 𝑥 est égal à la valeur absolue de 𝑚𝑥 plus 𝑏, alors l’ensemble image sera l’intervalle fermé à gauche, ouvert à droite allant de zéro à l’∞. L’ensemble image comprendra toutes les valeurs de 𝑦 supérieures ou égales à zéro.

Nous avons également vu dans cette vidéo que les transformations de la valeur absolue des fonctions linéaires modifient parfois l’ensemble image mais ne modifient jamais l’ensemble de définition. Nous avons vu que la fonction 𝑔 de 𝑥 qui est égale à 𝑓 de 𝑥 moins ℎ translate la fonction 𝑓 de 𝑥 égale à la valeur absolue de 𝑥 horizontalement. Elle décale le graphique ℎ unités vers la droite. 𝑓 de 𝑥 plus ℎ déplacerait le graphique ℎ unités vers la gauche. De même, la fonction 𝑔 de 𝑥 qui est égale à 𝑓 de 𝑥 plus 𝑘 translate la fonction 𝑓 de 𝑥 égale à la valeur absolue de 𝑥 verticalement. Cette translation décale le graphique 𝑘 unités vers le haut. Comme avec l’exemple précédent, 𝑓 de 𝑥 moins 𝑘 cette fois déplacerait le graphique 𝑘 unités vers le bas.

Enfin, nous avons vu que la fonction 𝑔 de 𝑥 qui est égale à 𝑎 multiplié par 𝑓 de 𝑥 dilate la fonction 𝑓 de 𝑥 égale à la valeur absolue de 𝑥. La valeur de 𝑎 est le facteur d’échelle de la dilatation. Et si 𝑎 est un nombre négatif, le graphique est reflété aussi par l’axe des 𝑥. Cela signifie qu’elle s’ouvre vers le bas plutôt que vers le haut. Le graphique en forme de V est maintenant à l’envers. Les deux dernières transformations ont un impact sur l’ensemble image de la fonction valeur absolue.