Dans cette fiche explicative, nous allons apprendre à déterminer la valeur d’une fonction valeur absolue, à la représenter graphiquement, et à déterminer son ensemble de définition et son ensemble image.
On rappelle que la valeur absolue d’un nombre réel est sa distance à 0 sur la droite numérique. Par exemple, dans l’expression (qui peut être lue comme « la valeur absolue de »), le nombre est noté entre deux barres qui sont les symboles de la valeur absolue. Comme est situé à 5 unités de 0 sur la droite numérique, la valeur de l’expression est 5. La valeur de l’expression (qui peut être lue comme « la valeur absolue de 5 ») vaut 5 aussi, car 5 est également situé à 5 unités de 0 sur la droite numérique.
Une distance n’est jamais négative, donc la valeur absolue d’un nombre est toujours positive ou nulle. Au delà des nombres, on peut placer des expressions algébriques entre les symboles de valeur absolue pour définir des fonctions. Ces types de fonctions sont appelées fonctions de valeur absolue.
Définition : Fonction de valeur absolue
Une fonction de valeur absolue est une fonction dont la définition contient une expression algébrique à l’intérieur des symboles de valeur absolue. Un exemple de fonction de valeur absolue est , où .
Une façon de représenter graphiquement une fonction de valeur absolue consiste à entrer des valeurs dans la fonction puis à enregistrer les valeurs de sortie résultantes dans un tableau de valeurs. Pour la fonction , un tel tableau est indiqué ci-dessous :
| 0 | 1 | 2 | 3 | ||||
| 3 | 2 | 1 | 0 | 1 | 2 | 3 |
En représentant ces points dans le plan muni d’un repère orthonormé puis en traçant les droites passant par ces points, on peut créer la représentation graphique en forme de V de ci-dessous :
On peut voir que la représentation graphique se situe uniquement au-dessus de l’axe des abscisses . Les flèches indiquent qu’elle s’étend indéfiniment vers le haut sur la gauche et sur la droite. Cela signifie que bien que la fonction puisse avoir n’importe quelle valeur d’entrée, ses valeurs de sortie ne sont que des nombres positifs. On peut aussi voir que la représentation graphique est décroissante à gauche de l’axe des ordonnées avant de toucher l’origine, puis elle devient croissante à droite de l’axe des ordonnées . Les deux demi-droites situées à gauche et à droite de l’axe des ordonnées sont symétriques l’une à l’autre. Rien qu’en observant, nous pouvons interpréter diverses propriétés relatives à la courbe et à la fonction correspondante.
Propriétés : Fonction valeur absolue 𝑔 (𝑥) = | 𝑥 | et sa représentation graphique
- Sommet :
- Axe de symétrie :
- Ensemble de définition : , également noté
- Ensemble image : , également noté
- Intersection avec l’axe des abscisses : 0
- Ordonnée à l’origine : 0
Toutes les fonctions de valeur absolue qui ont une expression affine entre les symboles de valeur absolue ont des représentations graphiques en forme de V. Cependant, les autres propriétés de ces fonctions peuvent différer. Transformer la représentation graphique de la fonction en la translatant, en la dilatant ou en la contractant, ou en prenant son symétrique par rapport à un axe nous permet de tracer plus facilement la représentation graphique d’une fonction de valeur absolue de forme différente afin de pouvoir identifier l’ensemble de définition et l’ensemble image de la fonction.
Définition : Transformations de la représentation graphique de la fonction valeur absolue 𝑔 (𝑥) = | 𝑥 |
- La représentation graphique de est une translation horizontale de la représentation graphique de . Si est positif, la translation est de unités vers la droite. Si est négatif, la translation est de unités vers la gauche. L’ensemble de définition et l’ensemble image de sont les mêmes que ceux de .
- La représentation graphique de est une translation verticale de la représentation graphique de . Si est positif, la translation est de unités vers le haut. Si est négatif, la translation est de unités vers le bas. L’ensemble de définition de est le même que celui de , mais son ensemble image est .
- La représentation graphique de est une dilatation verticale de la représentation graphique de par un facteur d’échelle quand et une contraction verticale par un facteur d’échelle quand . Si est négatif, on prend également le symétrique de la représentation graphique de par rapport à l’axe des abscisses , ce qui signifie que la représentation graphique de s’ouvrira vers le bas plutôt que vers le haut.
- La représentation graphique de est une contraction horizontale de la représentation graphique de par un facteur d’échelle quand et une dilatation horizontale par un facteur d’échelle quand . Si est négatif, on prend également le symétrique de la représentation graphique de par rapport à l’axe des ordonnées .
Dans les problèmes qui suivent, nous allons étudier plusieurs exemples de fonctions de valeur absolue sous diverses formes, ainsi que leurs représentations graphiques.
Exemple 1: Déterminer l’ensemble image d’une fonction de valeur absolue à l’aide d’une représentation graphique
Déterminez l’ensemble image de la fonction .
Réponse
On voit que la représentation graphique a un sommet en , un axe de symétrie en , une intersection avec l’axe des abscisses de , et une ordonnée à l’origine de 2. En entrant des valeurs de dans la fonction et en observant les valeurs de sortie, on peut confirmer la validité de la représentation graphique .
On utilise alors la représentation graphique pour déterminer l’ensemble de définition et l’ensemble image de . On rappelle que l’ensemble de définition d’une fonction est l’ensemble de toutes les valeurs d’entrée possibles, tandis que l’ensemble image est l’ensemble de toutes les valeurs de sortie possibles. Une autre façon de le dire est que l’ensemble de définition correspond à toutes les valeurs possibles de la variable indépendante, tandis que l‘ensemble image correspond à toutes les valeurs possibles de la variable dépendante.
Les flèches indiquent que la représentation graphique s’étend indéfiniment vers la gauche et la droite, donc on sait que l’ensemble de définition doit être l’ensemble de tous les nombres réels, soit . Les flèches indiquent également que la représentation graphique s’étend indéfiniment vers le haut, mais on peut voir qu’elle se situe uniquement sur ou au-dessus de l’axe des abscisses . En d’autres termes, la plus petite valeur de est 0, mais il n’y a pas de plus grande valeur. On sait donc que l’ensemble image est , soit . Toute fonction de valeur absolue sous la forme a cet ensemble image.
Étudions maintenant la représentation graphique d’une autre fonction de valeur absolue et déterminons son ensemble de définition et son ensemble image. Cette fois, nous allons considérer la représentation graphique de la fonction comme une transformation de la représentation graphique de .
Exemple 2: Déterminer l’ensemble de définition et l’ensemble image d’une fonction de valeur absolue à l’aide de sa représentation graphique
Déterminez l’ensemble de définition et l’ensemble image de la fonction .
Réponse
On sait que l’ensemble de définition et l’ensemble image de restent les mêmes après une translation horizontale vers la gauche ou la droite, donc l’ensemble de définition de est l’ensemble des nombres réels, ou , et l’ensemble image est , ou . Cependant, bien que l’ensemble de définition de reste le même après une translation verticale vers le haut ou vers le bas, ce n’est pas le cas de son ensemble image. L’ensemble image de est , ou .
Ici, on peut voir que la représentation graphique est une translation horizontale de 1 unité vers la gauche et une translation verticale de 1 unité vers le haut de la représentation graphique de . C’est-à-dire . Par conséquent, l’ensemble de définition de la fonction est et son ensemble image est , ou .
Remarque
On arriverait aux mêmes réponses pour l’ensemble de définition et l’ensemble image de la fonction en utilisant le fait que l’ensemble de définition est l’ensemble de toutes les valeurs d’entrée possibles et que l’ensemble image est l’ensemble de toutes les valeurs de sortie possibles. Les flèches indiquent que la représentation graphique s’étend indéfiniment vers la gauche et la droite, donc, à nouveau, on sait que l’ensemble de définition de la fonction est l’ensemble de tous les nombres réels, ou . Les flèches indiquent également que la courbe s’étend indéfiniment vers le haut, on peut aussi voir que les points de la courbe ont une valeur supérieure ou égale à 1 au niveau de leur ordonnée . C’est-à-dire que la plus petite valeur de est 1 mais qu’il n’y a pas de plus grande valeur. Par conséquent, on peut à nouveau voir que l’ensemble image de la fonction est , ou .
Étudions maintenant comment trouver l’ensemble de définition d’une fonction de valeur absolue sans sa représentation graphique. Nous allons tracer la représentation graphique de la fonction en considérant sa relation avec celle de .
Exemple 3: Déterminer l’ensemble de définition d’une fonction de valeur absolue
Sachant que est une constante, quel est l’ensemble de définition de la fonction ?
Réponse
Comme on peut le voir sur les figures ci-dessous, la représentation graphique de est une translation horizontale de la représentation graphique de . Si est positive, la translation est de unités vers la gauche, et si est négative, la translation est de unités à droite.
On rappelle que pour et , l’ensemble de définition est , et l’ensemble image est , ou . En d’autres termes, l’ensemble de définition et l’ensemble image de sont les mêmes que ceux de , que la translation horizontale soit vers la gauche ou vers droite, et quel que soit le nombre d’unités. Cela signifie que l’ensemble de définition de la fonction doit être l’ensemble de tous les nombres réels, ou .
Remarque
On sait que l’ensemble de définition d’une fonction est l’ensemble de toutes les valeurs d’entrée possibles, ou toutes les valeurs possibles de la variable . Pour déterminer l’ensemble de définition de la fonction , on peut se demander : « Quelles valeurs de peut-on entrer dans la fonction ? » Pour répondre à cette question, on examine quelle serait la fonction pour différentes valeurs de la constante .
On commence par considérer une valeur négative de . On suppose que . Lorsque c’est le cas, la fonction devient . On entre maintenant quelques valeurs dans la fonction et on observe si la valeur de sortie est définie ou non :
On peut voir que toutes les valeurs d’entrée donnent une valeur de sortie correspondante. On étudie maintenant ce qui se passe lorsque . Dans ce cas, la fonction devient :
Encore une fois, on peut voir que toutes les valeurs d’entrée donnent une valeur de sortie correspondante. Enfin, on considère une valeur positive de en étudiant la fonction lorsque . La fonction devient maintenant :
Comme précédemment, il existe une valeur de sortie pour chacune des valeurs d’entrée. En fait, comme la fonction valeur absolue est définie pour tous les nombres réels , quelle que soit la constante , on peut toujours entrer toute valeur dans la fonction et obtenir une valeur de sortie. C’est-à-dire que la valeur de sortie n’est jamais indéfinie. Par conséquent, on voit à nouveau que l’ensemble de définition de la fonction est l’ensemble des nombres réels, ou .
Dans l’exemple qui suit, nous allons tracer la représentation graphique d’une autre fonction de valeur absolue pour nous aider à déterminer son ensemble de définition et son ensemble image. Cette fois, nous allons non seulement utiliser des translations de la représentation graphique de pour tracer la fonction, mais également une dilatation et une symétrie de .
Exemple 4: Déterminer l’ensemble de définition et l’ensemble image d’une fonction de valeur absolue
Déterminez l’ensemble de définition et l’ensemble image de la fonction .
Réponse
Pour déterminer l’ensemble de définition et l’ensemble image de la fonction, on commence par tracer sa représentation graphique. Soit , on sait que la définition de la fonction est sous la forme , où , et . On peut donc obtenir la représentation graphique de en dilatant verticalement la courbe de d’un facteur d’échelle 4, en prenant son symétrique par rapport à l’axe des abscisses , en la translatant de 5 unités vers la droite, puis en la translatant de 1 unité vers le bas comme ci-dessous :
On peut vérifier que la représentation graphique est correcte en entrant trois valeurs de dans la fonction et en observant les valeurs de sortie résultantes. Cela n’est pas nécessaire tant que l’on effectue les transformations avec soin, mais cela est utile pour des fonctions plus compliquées comme celle-ci. Les valeurs de que l’on choisit rendent respectivement la valeur de l’expression à l’intérieur des symboles de valeur absolue négative, nulle et positive :
On obtient les couples ordonnés , et . En traçant ces points dans un repère orthonormé du plan, et en se référant aux propriétés des fonctions de valeur absolue, on peut à nouveau créer la représentation graphique de pour la fonction ci-dessous :
Les flèches sur la représentation graphique indiquent que la représentation graphique s’étend indéfiniment à gauche et à droite, donc on sait que l’ensemble de définition de doit être l’ensemble de tous les nombres réels, ou . Les flèches indiquent également que la représentation graphique s’étend indéfiniment vers le bas, mais on peut voir qu’elle se situe uniquement sur ou au-dessous de pour . En d’autres termes, la plus grande valeur de est , mais il n’y a pas de plus petite valeur. Cela signifie que l’ensemble image de la fonction est , ou .
Étudions maintenant un dernier exemple impliquant un problème réel.
Exemple 5: Résoudre un problème impliquant une fonction de valeur absolue
Un corps se déplace avec un vecteur vitesse uniforme de norme 5 cm/s à partir du point au point en passant par le point sans s’arrêter. La distance entre le corps et le point est donnée par , où est le temps en secondes, et est la distance en cm. Déterminez la distance entre le corps et le point après 5 secondes et après 11 secondes.
Réponse
Afin de déterminer la distance entre le corps et le point après 5 secondes et après 11 secondes, on doit évaluer la fonction pour et pour . En d’autres termes, on doit substituer 5 et 11 dans la fonction de et calculer la valeur résultante de .
On rappelle que la valeur absolue d’un nombre est toujours positive : que la valeur de l’expression entre les symboles de valeur absolue soit positive ou négative, sa valeur absolue sera donc positive. Cela garantit que la distance donnée par la fonction est positive, car le produit de 5 et d’un autre nombre positif est toujours positif. Tout d’abord, on calcule :
D’après les calculs, on sait qu’après 5 secondes, la distance entre le corps et le point est 15 centimètres.
Maintenant, on calcule :
Les calculs montrent que la distance entre le corps et le point est aussi 15 centimètres après 11 secondes. Remarquez que les deux distances sont identiques. Cela indique qu’après 5 secondes, l’objet n’a pas encore atteint le point et qu’après 11 secondes, il doit avoir déjà passé le point .
Terminons maintenant par récapituler quelques points clés.
Points clés
- Une fonction de valeur absolue est une fonction avec une définition qui contient une expression algébrique entre deux barres qui est le symbole de valeur absolue.
- L’ensemble de définition de toutes les fonctions de valeur absolue qui sont sous la forme est l’ensemble des nombres réels, ou , alors que l’ensemble image est , ou .
- La représentation graphique de est une translation horizontale de la représentation graphique de . Si est positif, la translation est de unités vers la droite. Si est négatif, la translation est de unités vers la gauche. L’ensemble de définition et l’ensemble image de sont les mêmes que ceux de .
- La représentation graphique de est une translation verticale de la représentation graphique de . Si est positif, la translation est de unités vers le haut. Si est négatif, la translation est de unités vers le bas. L’ensemble de définition de est le même que celui de , mais son ensemble image est .
- La représentation graphique de est une dilatation verticale de la représentation graphique de par un facteur d’échelle quand et une contraction verticale par un facteur d’échelle quand . Si est négatif, on prend également le symétrique de la représentation graphique de par rapport à l’axe des abscisses , ce qui signifie que la représentation graphique de s’ouvrira vers le bas plutôt que vers le haut.
- La représentation graphique de est une contraction horizontale de la représentation graphique de par un facteur d’échelle quand et une dilatation horizontale par un facteur d’échelle quand . Si est négatif, on prend également le symétrique de la représentation graphique de par rapport à l’axe des ordonnées .
