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Simplifiez cosinus 𝜃 fois cosécante 90 degrés moins 𝜃 moins tangente 𝜃 fois tangente 90 degrés moins 𝜃.
Chaque fois que vous voyez quelque chose comme cosécante 90 degrés moins 𝜃 ou tangente 90 degrés moins 𝜃 ou cosinus 90 degrés moins 𝜃, soit une fonction trigonométrique évaluée en 90 degrés moins 𝜃, vous devriez penser à des identités de cofonction. Nous les avons toutes ici.
Cette identité nous dit que nous pouvons réécrire cosécante 90 degrés moins 𝜃 comme sécante 𝜃. Ainsi, en réalisant cette substitution, nous obtenons cosinus 𝜃 fois sécante 𝜃 moins tangente 𝜃 fois tangente 90 degrés moins 𝜃.
Cette identité nous dit que nous pouvons remplacer tangente 90 degrés moins 𝜃 par cotangente 𝜃. Alors maintenant, nous avons cosinus 𝜃 fois sécante 𝜃 moins tangente 𝜃 fois cotangente 𝜃.
Nous pouvons utiliser la définition des fonctions trigonométriques inverses pour écrire cette expression en fonction de sinus, cosinus et tangente seuls. Par exemple, nous pouvons remplacer sécante 𝜃 par un sur cosinus 𝜃 pour obtenir cosinus 𝜃 fois un sur cosinus 𝜃 moins tangente 𝜃 fois cotangente 𝜃. Nous pouvons utiliser la définition de cotangente 𝜃 : cotangente 𝜃 est égal à un sur tangente 𝜃.
Maintenant, nous avons une expression, qui est écrite uniquement en fonction de cosinus 𝜃 et tangente 𝜃. Nous pouvons voir qu’il faut simplifier davantage. Nous avons cosinus 𝜃 fois un sur cosinus 𝜃, donc ces cosinus s’annulent.
De même, nous avons tangente 𝜃 fois un sur tangente 𝜃, donc les tangente s’annulent. Cela nous laisse simplement avec un moins un. Ainsi, la réponse est zero ; cosinus 𝜃 fois cosécante 90 degrés moins 𝜃 moins tangente 𝜃 fois tangente 90 degrés moins 𝜃 est égal à zéro.
