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Un tuyau d’incendie a une longueur de 15 mètres et une section transversale de 2,4 fois 10 à la puissance moins quatre mètres carrés. Le tuyau débite 1,6 kilogrammes d’eau qui a une densité de 1 025 kilogrammes par mètre cube par seconde. Quel est l’intervalle de temps s’écoulant entre le moment où l’eau entre dans une extrémité du tuyau et sort par l’extrémité opposée?
Dans cette question, on a un tuyau qui a une longueur de 15 mètres, que l’on appelle L majuscule. Le tuyau a une section transversale de 2,4 fois 10 puissance moins quatre mètres carrés, que l’on appelle 𝐴 majuscule. L’eau s’écoule à travers le tuyau, et on nous dit qu’à chaque seconde, 1,6 kilogrammes d’eau sort du tuyau. Donc, si on plaçait une sorte de récipient, tel qu’un seau, au bout du tuyau, puis que l’on attendait une seconde, on récolterait 1,6 kilogrammes d’eau dans ce seau. Et on appelle cette masse 𝑚. On appelle également le temps pendant lequel on a récolté cette eau en sortie 𝑇 majuscule. La dernière information donnée dans la question est la densité de l’eau, qui est de 1025 kilogrammes par mètre cube. On l’appelle 𝜌.
La question nous demande de trouver quel est l’intervalle de temps s’écoulant entre le moment où l’eau entre dans une extrémité du tuyau et quitte l’extrémité opposée. Si on appelle cet intervalle de temps 𝑇 indice ℎ, notre objectif est de calculer 𝑇 indice ℎ. Pour ce faire, on peut considérer la vitesse de l’eau, que l’on appelle 𝑉. On sait que le temps mis par un objet pour parcourir une certaine distance est égal à cette distance divisée par la vitesse à laquelle il se déplace. Ou, dans notre cas, l’intervalle de temps, 𝑇 indice ℎ, est égal à la longueur du tuyau, 𝐿, divisée par la vitesse à laquelle l’eau s’écoule, 𝑉. Par conséquent, pour calculer cet intervalle de temps, il nous faut d’abord calculer la vitesse de l’eau. Pour l’instant, on met de côté notre équation pour 𝑇 indice ℎ ici à droite.
On peut calculer la vitesse de l’eau en utilisant son débit massique. Le débit massique d’un liquide correspond à la masse de liquide qui traverse une section transversale par unité de temps. Et rappelons que cela est égal à la densité du liquide multipliée par l’aire de la section transversale qu’il traverse multipliée par la vitesse du liquide. Dans notre cas, on connait dèjà les valeurs de 𝑚, 𝑇, 𝜌 et 𝐴. Donc, si on souhaite trouver la vitesse de l’eau, tout ce que l’on a à faire est de réorganiser cette équation pour isoler 𝑉. Pour ce faire, on va prendre notre équation du débit massique et diviser les deux côtés par la densité de l’eau 𝜌. Et on constate que ces 𝜌 à droite s’annulent.
Ensuite, on divise les deux côtés par la section du tuyau 𝐴. Et on constate que les 𝐴 à droite s’annulent également. Et cela nous donne une équation pour la vitesse de l’eau. Écrivons cela un peu plus proprement. Ainsi, la vitesse de l’eau, 𝑉, est égale à la masse de l’eau, 𝑚, qui a traversé le tuyau pendant un certain temps, divisée par la densité de l’eau, 𝜌, multipliée par la section transversale du tuyau, 𝐴 majuscule, multipliée par l’intervalle de temps pendant lequel s’est produite la chute d’eau, 𝑇 majuscule. On peut à présent remplacer les valeurs de 𝑚, 𝜌, 𝐴 et 𝑇 dans cette équation. Et cela nous donne que 𝑉 est égal à 1,6 kilogrammes divisé par 1,025 kilogrammes par mètre cube multiplié par 2,4 fois 10 à la puissance moins quatre mètres carrés multipliés par une seconde.
Avant de continuer, examinons rapidement les unités impliquées dans ce calcul. Au numérateur, on a des kilogrammes. Et au dénominateur, on a des kilogrammes par mètre cube multipliés par des mètres carrés multipliés par des secondes. On peut simplifier cela en multipliant le numérateur et le dénominateur par des mètres cubes, où les mètres cubes au dénominateur s’annulent avec les mètres cubes contenus dans les kilogrammes par mètre cube. Ensuite, on observe que les kilogrammes au numérateur et au dénominateur s’annulent également.
Ensuite, si on se rappelle que les mètres cubes sont égaux à des mètres fois des mètres fois des mètres et que les mètres au carré sont égaux à des mètres fois des mètres, alors on peut annuler deux des termes de mètres au numérateur et au dénominateur, ce qui nous donne finalement des unités de mètres par seconde, ce qui est exactement ce à quoi on peut s’attendre pour une vitesse. En calculant cette expression de la vitesse de l’eau, on obtient que 𝑉 est égale à 6,51 mètres par seconde.
Maintenant que l’on a calculé la vitesse de l’eau s’écoulant à travers le tuyau, on peut utiliser cette vitesse ainsi que la valeur connue de la longueur du tuyau pour déterminer le temps nécessaire à l’eau pour traverser complètement le tuyau. En commençant par notre équation de 𝑇 indice ℎ égal à 𝐿 divisé par 𝑉, on peut remplacer les valeurs connues de 𝐿 et 𝑉, ce qui nous donne 𝑇 indice ℎ est égal à 15 mètres divisé par 6,51 mètres par seconde. En calculant cela, on obtient que 𝑇 indice ℎ est égal à 2,3 secondes avec une décimale. Il s’agit du temps que met l’eau pour traverser complètement le tuyau.
Ainsi, l’intervalle de temps s’écoulant entre le moment où l’eau entre dans une extrémité du tuyau et sort par l’extrémité opposée est de 2,3 secondes.
