Video Transcript
Lily s’entraîne au gymnase. Sur le tapis de course, elle court 250 mètres pendant la première minute et la distance qu’elle court décroît de 10 pour cent à chaque minute qui suit. Quelle est la distance qu’elle parcourt en 10 minutes ? Donnez votre réponse au mètre près.
Récapitulons ce qui se passe ici. La première minute, Lily court sur 250 mètres. Pendant la deuxième minute, le nombre de mètres qu’elle a couru diminue de 10 pour cent. Nous prenons donc le nombre de mètres qu’elle a couru pendant la première minute et nous en calculons 10 pour cent, 10 pour cent s’écrit sous forme décimale comme 0.10. 250 fois 0.10 est égal à 25. Lily a couru 25 mètres de moins pendant la deuxième minute. Cela signifie que nous devons prendre 250 et en soustraire 25, ce qui nous donne 225 mètres. Ainsi, Lily a couru 225 mètres pendant la deuxième minute. Le calcul de la distance qu’elle a parcourue pendant la deuxième minute se fait donc de cette manière, en deux étapes. D’abord, vous devez trouver la valeur de 10 pour cent, puis vous devez la soustraire.
Il existe en fait un moyen plus simple de calculer cette distance et ce en une seule étape. Une diminution de 10 pour cent signifie que Lily conserve 90 pour cent de sa vitesse. Cela signifie que nous pouvons en fait prendre les 250 mètres qu’elle a couru pendant la première minute et le multiplier par les 90 pour cent qu’elle maintient. Ensuite, nous écrivons ceci sous forme décimale comme 0.90 et 250 fois 0.90 nous donne 225 mètres. Cela donne une façon permettant de calculer la distance en une seule étape. Bien, revenons maintenant à nos distances. Pendant la troisième minute, Lily a couru 90 pour cent de la distance qu’elle a couru pendant la deuxième minute. Rappelez-vous que 90 pour cent de ce qu’elle a couru pendant la deuxième minute indique une diminution de 10 pour cent. 90 pour cent de 225 est égal à 202.5.
Nous pourrions en fait continuer avec ce processus jusqu’à la 10ème minute. Nous aurions besoin de faire 10 calculs différents, puis d’additionner ensemble leur résultat. Je me demande si nous pouvons reconnaître ici un autre modèle. Rappelez-vous que 225 était égal à 90 pour cent de 250. Remplaçons donc 225 par 90 pour cent de 250. Ainsi, si, pendant la deuxième minute, nous avons 250 fois 0.90, nous pouvons écrire que pendant la troisième minute nous avons 250 fois 0.90 fois 0.90, soit 250 fois 0.90 au carré. De cette façon, pendant la deuxième minute, nous avons 250 fois 0.90 à la puissance un. Nous pourrions même dire que pendant la première minute, nous avons 250 fois 0.90 à la puissance zéro. N’importe quelle valeur à la puissance zéro est égale à un. Ainsi, 250 fois 0.90 à la puissance zéro est égal à 250.
Maintenant, nous voulons regarder le lien entre l’exposant et la minute. Pour la deuxième minute, nous avons un exposant égal à un. Pour la troisième minute, nous avons un exposant de deux. À quelle équation devrions-nous nous attendre pour le calcul de la distance parcourue par Lily pendant la quatrième minute ? Pendant la quatrième minute, Lily a couru 250 fois 0.90 au cube en mètres. Ce type de modèle devrait nous faire penser à une suite géométrique. Dans une suite géométrique, le terme 𝑎 indice 𝑛 est égal au premier terme 𝑎 indice un fois 𝑟 à la puissance 𝑛 moins un, où 𝑟 est le taux de variation et 𝑛 est un entier supérieur ou égal à un.
Comment ceci nous aide-t-il maintenant ? Bien, en soi, cela n’aide pas réellement. Cependant, nous connaissons une formule pour calculer la somme des 𝑛 premiers termes d’une suite géométrique. La somme des 𝑛 premiers termes est égale à 𝑎 indice un fois un moins 𝑟 à la puissance 𝑛 le tout sur un moins 𝑟, tant que le taux n’est pas égal à un. Essayons d’utiliser cette formule. Nous cherchons la somme des 10 premières valeurs avec 𝑎 indice un représentant la distance parcourue par Lily pendant la première minute, soit 250. Puis, nous avons un moins le taux. Ce taux de variation sera égal à 90 pour cent, que nous allons élever à la puissance 10 le tout sur un moins 0.90.
Si nous saisissons ceci dans notre calculatrice, nous obtenons 1628.3039. Si nous voulons arrondir au mètre près, nous devons regarder le chiffre à droite de la virgule. Dans ce cas, nous avons un trois. Puisque ce nombre inférieur à cinq, nous arrondirons à l’unité inférieure, ce qui signifie que le huit à la place des unités sera conservé. Ainsi, nous concluons que Lily a couru 1628 mètres en 10 minutes. Cela dit, était ce nécessaire pour répondre à cette question de reconnaître que nous avions une suite géométrique ? Pas vraiment. Si vous ne l’aviez pas fait, voici ce que vous auriez pu faire.
Revenons à notre méthode du tableau de valeurs. Pendant la première minute, Lily a couru 250 mètres. La deuxième minute, vous multiplieriez 0.90 fois 250 pour obtenir 225. Si vous utilisez une calculatrice, vous pouvez utiliser la fonction résultat pour trouver la distance parcourue pour la troisième minute, car vous diriez que cela revient à faire 0.90 fois le résultat. Ceci va calculer 0.90 fois le résultat précédent à savoir 225, ce qui vous donne 202.5. Encore une fois, vous pouvez continuer ce processus à l’aide de la calculatrice en multipliant simplement 0.90 par le résultat précédent. Une fois que vous avez calculé ces 10 valeurs, vous allez les additionner ensemble. Leur somme sera de 1628.3039 que nous pourrions arrondir ensuite à 1628 mètres.
