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Fiche explicative de la leçon : Applications sur les suites et les séries géométriques Mathématiques

Dans cette fiche explicative, nous allons apprendre à résoudre des exercices d'applications concrets avec des suites et séries géométriques;on trouvera la raison, la formule explicite du 𝑛-ième terme, l’ordre et la valeur d’un terme particulier de la suite ainsi que la somme d’un nombre donné de termes.

Considérons une suite où chaque terme est trouvé en multipliant le terme précédent par une constante. Par exemple, la suite 2;6;18;54;162;486,.

On appelle ce facteur constant la raison. Une autre façon de décrire la suite serait de dire que chaque terme de la suite est égal au terme précédent multiplié par la raison.

On appelle cela une suite géométrique;dans le cas considéré, le premier terme vaut 2 et la raison vaut 3. Si la suite contient, par exemple, six termes seulement (ou n'importe quel autre nombre particulier de termes) alors, on parle de suite géométrique finie, car elle comporte un nombre fini de termes. Si la suite poursuit ce schema multiplicatif sans s’arrêter, comme l’indiquent les points de suspension, alors on parle de suite géométrique infinie.

Définition : Suite géométrique

Une suite est géométrique si le rapport entre deux termes consécutifs est une constante 𝑟 que l'on appelle la raison. On note 𝑇 ou 𝑇 le premier terme, 𝑇 le second terme, 𝑇 le troisième terme et ainsi de suite. Le 𝑛-ième terme est noté 𝑇.

Chaque terme est obtenu en multipliant le terme précédent par la raison:𝑇=𝑇,𝑇=𝑇×𝑟,𝑇=𝑇×𝑟,,𝑇=𝑇×𝑟.

On peut aussi exprimer cela avec un produit du premier terme par des puissances de la raison:𝑇=𝑇,𝑇=𝑇𝑟,𝑇=𝑇𝑟, de sorte que le 𝑛-ième terme est défini par 𝑇=𝑇𝑟.

En revenant à notre suite géométrique initiale ci-dessus, si l'on connaît les valeurs de la suite, on peut calculer la raison en divisant la valeur d’un terme par la valeur du terme précédent. Comme la raison est la même pour toutes les paires successives de termes, peu importe la paire que l'on choisit pour le calcul.

Le rapport des deux premiers termes est 6÷2=3, le rapport des deuxième et troisième termes de la suite est 18÷6=3 et ainsi de suite.

Définition : La raison

Puisqu'on multiplie chaque terme par la raison pour obtenir le terme suivant, on peut généraliser ce résultat sous la forme suivante:𝑇=𝑇×𝑟, et en divisant les deux côtés de l’équation par 𝑇, on obtient 𝑟=𝑇𝑇.

Ou encore, partant de la définition selon laquelle tout terme est le produit du terme précédent et de la raison, on trouve que 𝑟=𝑇𝑇.

On appelle série la somme des termes d'une suite. Étant donnée la suite géométrique (2;6;18;54;162;486;1458;4374;13122;39366;), la série géométrique correspondante peut être représentée comme suit:2+6+18+54+162+486+1458+4374+13122+39366+.

Dans ce cas, si l'on additionne les 10 premiers termes de la suite, on peut voir que la somme de ces termes vaut 59‎ ‎048.

Nous allons maintenant trouver une formule pour la somme des 𝑛 premiers termes d'une suite géométrique.

Considérons une suite géométrique de premier terme 𝑇 et de raison 𝑟. Les 𝑛 premiers termes peuvent s’écrire sous la forme 𝑇,𝑇𝑟,𝑇𝑟,,𝑇𝑟, donc la somme des 𝑛 premiers termes d’une suite géométrique peut s’écrire comme suit:

𝑆=𝑇+𝑇𝑟+𝑇𝑟++𝑇𝑟+𝑇𝑟.(1)

Si l’on multiplie les deux côtés de notre équation par 𝑟, on a

𝑟𝑆=𝑇𝑟+𝑇𝑟+𝑇𝑟++𝑇𝑟+𝑇𝑟.(2)

Lorsque l’on soustrait les termes de l’équation (2) aux termes de l’équation (1), tous les termes s'annulent sauf les termes 𝑇 et 𝑇𝑟:𝑆=𝑇+𝑇𝑟+𝑇𝑟++𝑇𝑟+𝑇𝑟,𝑟𝑆=𝑇𝑟+𝑇𝑟+𝑇𝑟++𝑇𝑟+𝑇𝑟.

Ainsi, 𝑆𝑟𝑆=𝑇𝑇𝑟.

En factorisant par 𝑆 dans le membre de gauche et par 𝑇 dans le membre de droite, cela nous permet de trouver une expression pour 𝑆:𝑆(1𝑟)=𝑇(1𝑟)𝑆=𝑇(1𝑟)1𝑟.

On aurait aussi pu soustraire (1) à l’équation (2) et obtenir la formule 𝑆=𝑇(𝑟1)𝑟1.

Définition : Somme des termes d’une suite géométrique

La somme des 𝑛 premiers termes d’une suite géométrique de premier terme 𝑇 et de raison 𝑟, est notée 𝑆:𝑆=𝑇(1𝑟)1𝑟𝑆=𝑇(𝑟1)𝑟1.ou

En règle générale, on utilise la première expression lorsque 𝑟<1 et la seconde lorsque 𝑟>1.

Si 𝑟=1, tous les termes de la suite géométrique sont les mêmes, alors il suffit de multiplier le premier terme par le nombre de termes:𝑆=𝑇×𝑛.

Nous allons maintenant voir comment appliquer les formules ci-dessus afin de résoudre des problèmes concrets impliquants des suites et séries géométriques.

Exemple 1: Résoudre un problème d'application à l’aide de suites géométriques

Adélaïde a rejoint une entreprise avec un salaire de départ de 28‎ ‎000 $. Elle reçoit une augmentation de son salaire de 2,5% après chaque an complète à son poste.

  1. Le montant total qu'Adélaïde gagne pendant 𝑛ans est une série géométrique. Quelle est la raison de cette série géométrique?
  2. Écrivez une formule pour 𝑆, le montant total en dollars qu’Adélaïde gagne en 𝑛ans dans l’entreprise.
  3. Après 20 ans dans cette entreprise, Adélaïde démissionne. Utilisez la formule trouvée à la question précédente pour calculer le montant total qu’elle a gagné dans l'entreprise.
  4. Expliquez pourquoi, à partir des points suivants, le montant réel qu’elle a gagné sera différent du montant calculé à l’aide de la formule.
  1. Elle a dépensé une partie de l’argent pendant les 20 ans.
  2. La valeur du dollar varie avec le temps.
  3. Si nécessaire, le nouveau salaire annuel est arrondi.
  4. Le montant réel vient d’un pourcentage d’augmentation différent de celui utilisé pour calculer le montant à l’aide de la formule.
  5. Le montant réel vient d’une valeur initiale différente de celle utilisée pour calculer le montant à l’aide de la formule.

Réponse

Il y a quatre parties dans cette question et nous allons les traiter individuellement.

Partie 1

D'après l'énoncé, Adélaïde a un salaire de départ de 28‎ ‎000 $ et elle reçoit une augmentation de salaire 2,5% après chaque an complète de travail. Ceci est une information suffisante pour déterminer que le montant qu’elle gagne en 𝑛ans correspondra à une série géométrique. La première partie de cette question demande de calculer la raison de cette série.

Lorsque l'on parle de la raison d’une série géométrique, on fait référence à la raison de la suite géométrique correspondante.

Toute suite géométrique peut être écrite sous la forme 𝑇,𝑇𝑟,𝑇𝑟,,𝑇𝑟, 𝑇 est le premier terme et 𝑟 est la raison. On peut trouver la raison en calculant le rapport de deux termes successifs:𝑟=𝑇𝑇.

On sait que l’ an1, Adélaïde gagne 28‎ ‎000 $. L' an 2, elle reçoit une augmentation de salaire de 2,5%. On peut donc calculer le montant d’argent qu’Adélaïde gagne l' an 2 en calculant 2,5% de 28‎ ‎000 $ puis en ajoutant cette valeur au salaire initial.

Une autre méthode consiste à utiliser une seule multiplication. Puisque le salaire d’Adélaïde augmente de 2,5%, il faut multiplier son salaire par 1,025.

L' an 2, elle gagne 28000$×1,025=28700$.

Cela suffit pour trouver la raison car, en effet, on peut voir que le premier terme vaut 𝑇=28000$ et que la raison vaut 𝑟=1,025.

On peut cependant prolonger ce schéma afin de voir combien d’argent Adélaïde gagne l’ an 3, l' an 4, et ainsi de suite:

  • Année1=28000$
  • Année2=28000$×1,025
  • Année3=28000$×1,025×1,025=28000$×1,025
  • Année4=28000$×1,025×1,025×1,025=28000$×1,025
  • ...

Cela signifie que la 𝑛-ièmean, Adélaïde gagne 28000$×1,025, car l’exposant (ou la puissance) vaut toujours le nombre d' ans moins 1.

Cela correspond à l'expression générale du 𝑛-ième terme d’une suite géométrique 𝑇=𝑇𝑟.

La raison de la suite est 1,025.

Partie 2

Dans la deuxième partie de la question, il faut écrire une formule pour 𝑆, le montant total en dollars qu’Adélaïde gagne en 𝑛ans à l’entreprise.

On sait que la somme des 𝑛 premiers termes d’une suite géométrique, notée 𝑆, peut être déterminée à partir de la formule suivante:𝑆=𝑇(𝑟1)𝑟1.

En remplaçant 𝑇=28000 et 𝑟=1,025, on a 𝑆=28000(1,0251)1,0251𝑆=28000(1,0251)0,025𝑆=1120000(1,0251).

La formule pour 𝑆, le montant total en dollars qu’Adélaïde gagne en 𝑛ans à l’entreprise, est 𝑆=1120000(1,0251).

Partie 3

Afin de calculer le montant qu’Adélaïde aura gagné après 20 ans dans l’entreprise, il faut remplacer 𝑛=20 dans notre réponse précédente:𝑆=11200001,0251𝑆=715250,41.

Lorsqu’Adélaïde quitte l’entreprise après 20 ans, elle aura gagné 715‎ ‎250,41 $, au cent près.

Partie 4

La dernière partie de l'énoncé nous demande pourquoi le montant réel qu’elle a gagné est différent du montant calculé en utilisant la formule. Il y a cinq réponses possibles à cette partie de la question.

C’est un problème intéressant et nous allons examiner chaque possibilité l'une après l'autre.

S’il est vrai qu’Adélaïde a probablement dépensé une partie de son argent pendant la période de 20 an, cela n’affecte pas le montant d’argent qu’elle a gagné, seulement le montant d’argent qu’il lui reste. Par conséquent, l’option A n’est pas la bonne réponse.

Il est vrai que la valeur du dollar change au cours du temps;cependant, comme Adélaïde est toujours payée en dollars tout au long de cette période, la valeur du dollar n’a aucun impact sur le montant qu’Adélaïde gagne. L’option B est également incorrecte.

La troisième option présente un problème intéressant que nous rencontrons régulièrement en mathématiques:quand faut-il arrondir nos réponses?Lorsque l’on utilise la formule pour calculer le montant total qu’Adélaïde a gagné, on utilise des valeurs exactes pour les ans 1 à 20 et on arrondit seulement la réponse à la fin. Cependant, en réalité, le salaire est arrondi chaque an. Par exemple, l' an 4, Adélaïde gagne 28000$×1,025=30152,9375$. Cela serait arrondi au cent près, alors, Adélaïde a réellement gagné 30‎ ‎152,94 $ cette année-là. Par conséquent, lorsque l'on additionne ces valeurs arrondies, on obtient une valeur légèrement différente de celle que l'on obtient par la formule. Cela vaut pour tout exercice impliquant des sommes monétaires, car les valeurs doivent être arrondies au centième près.

Les options D et E suggèrent qu’il y a un pourcentage d’augmentation différent et une valeur de départ différente;cependant, aucune de ces affirmations n’est vraie car le pourcentage d’augmentation du salaire est toujours 2,5% et le salaire de départ est bien 28‎ ‎000 $. Ces deux réponses sont donc incorrectes.

Le montant réel qu’Adélaïde gagne est différent du montant calculé à l’aide de la formule car, si nécessaire, chaque nouveau salaire annuel est arrondi. La bonne réponse est l’option C.

Exemple 2: Modéliser et résoudre un problème concret à l’aide d’une suite géométrique

Une mine produit 2‎ ‎257 kg d’or pendant la première an, mais la production diminue de 14% chaque année. Déterminez la quantité d’or produite pendant la troisième an et en tout pendant les 3 ans. Donnez les réponses au kilogramme près.

Réponse

Il faut calculer la quantité d’or produite la 3e an et la quantité totale produite pendant les trois ans. Une façon de faire serait de trouver directement ces valeurs à partir des informations données dans la question.

D'après l'énoncé, la quantité d’or produite la première an vaut 2‎ ‎257 kg.

La seconde an, il y a une diminution de 14%. On peut calculer 14% de 2‎ ‎257 kg puis soustraire cette valeur à 2‎ ‎257 kg. Ou sinon, on peut aussi multiplier 2‎ ‎257 kg par (10,14), puisque 14%, écrit sous forme décimale, vaut 0,14. Cela nous donne un facteur de 0,86.

Ces méthodes ne fonctionnent vraiment que lorsqu'il faut calculer sur un petit nombre d' ans.

S'il faut calculer sur une plus longue période de temps, on peut utiliser nos connaissances sur les suites géométriques. On sait que toute suite géométrique a un premier terme 𝑇 et une raison 𝑟.

La quantité d’or produite par la mine forme une telle suite, où 𝑇=2257 et 𝑟=0,86. On sait que la raison 𝑟 vaut 0,86 car c’est la constante par laquelle on multiplie chaque terme de la suite pour obtenir le terme suivant.

On peut calculer le terme général d’une suite géométrique 𝑇 à l’aide de la formule 𝑇=𝑇𝑟. En substituant par nos valeurs, on a 𝑇=2257(0,86)=2257(0,86)=1669,2772.

On voit que la quantité d’or produite la troisième an est égale à 1‎ ‎669 kg, arrondi au kilogramme près.

La somme des 𝑛 premiers termes d’une suite géométrique 𝑆 peut être calculée à l’aide de la formule 𝑆=𝑇(1𝑟)1𝑟. En substituant par nos valeurs, on a 𝑆=225710,8610,86𝑆=225710,860,14𝑆=5867,2972.

La quantité totale d’or produite pendant les trois ans est égale à 5‎ ‎867 kg, arrondi au kilogramme près.

Dans l’exemple suivant, nous allons examiner une situation où un montant d’argent est investi dans un compte d’épargne avec un taux d’intérêt fixe sur l’année, composé mensuellement.

Exemple 3: Résoudre un problème financier où les intérêts sont composés mensuellement, à l’aide de séries géométriques

Rémi met 20 $ de côté au total chaque mois sur un compte qui offre un taux d’intérêt annuel de 4%, composé mensuellement.

  1. Combien y aura-t-il sur le compte de Rémi après 4 ans d'épargne régulière?Donnez la réponse au cent près.
  2. Si l’intérêt était composé trimestriellement, combien d’argent y aurait-il sur le compte après 4 ans?

Réponse

Il y a deux parties dans cette question qui peuvent être modélisées en utilisant des suites géométriques.

Partie 1

Dans le premier cas, le compte offre un taux d’intérêt annuel de 4% composé mensuellement, de sorte que le taux mensuel peut être calculé en divisant 4% par 12:tauxdintérêtmensuel=0,0412=1300.

Le facteur multiplicatif est donc égal à 1+1300=301300, ainsi, la raison vaut 𝑟=301300.

Rémi met 20 $ de côté au total chaque mois, de sorte que le premier terme de la suite géométrique est 𝑇=20$.

Au cours de la période de quatre an, il y a 4×12=48 paiements mensuels, ce qui signifie qu’il y a 48 termes dans la suite géométrique, donc 𝑛=48.

La somme des 𝑛 premiers termes d’une suite géométrique 𝑆 peut être calculée à partir de la formule 𝑆=𝑇(𝑟1)𝑟1. En substituant par nos valeurs, on a 𝑆=2011𝑆=1039,1920.

En arrondissant cela au centième près, on en conclut qu’il y a 1‎ ‎039,19 $ sur le compte de Rémi après 4 ans.

Partie 2

Dans le deuxième cas, le compte offre un taux d’intérêt annuel de 4% composé trimestriellement, de sorte que le taux trimestriel peut être calculé en divisant 4% par 4:tauxdintérêttrimestriel=0,044=1100.

Le facteur multiplicatif est donc égal à 1+1100=101100, ainsi, la raison vaut 𝑟=101100.

Rémi met 20 $ de côté au total chaque mois, donc chaque trimester, il aura mis de côté 3×20$=60$ par conséquent, le premier terme de la suite géométrique est 𝑇=60$.

Au cours de la période de quatre an, il y a 16 paiements trimestriels, ce qui signifie qu’il y a 16 termes dans la suite géométrique, donc 𝑛=16.

La somme des 𝑛 premiers termes d’une suite géométrique 𝑆, peut être calculée à partir de la formule 𝑆=𝑇(𝑟1)𝑟1. En substituant par nos valeurs, on a 𝑆=6011𝑆=1035,4718.

En arrondissant cela au centième près, on en conclut qu’il y a 1‎ ‎035,47 $ dans le compte de Rémi après 4 ans.

On en conclut que si l’intérêt est composé mensuellement plutôt que trimestriellement, alors Rémi gagne plus d’intérêts sur les quatre an.

Dans notre dernier exemple, nous allons résoudre un autre problème concret impliquant des suites géométriques.

Exemple 4: Résoudre un problème physique impliquant un volume, à l’aide de suites géométriques

Un réservoir d’eau contient 1‎ ‎778 litres d’eau. Le volume d’eau diminue respectivement de 14, 28 et 56 litres au cours des trois jours suivants. Combien de temps faudra-t-il pour que le réservoir soit vide sachant que le volume d’eau continue de diminuer selon la même progression?

Réponse

On remarque que les valeurs 14;28;56, forment une suite géométrique de premier terme 𝑇=14 et de raison 𝑟=2. Pour vérifier cela, on divise chaque terme par le terme qui précède:56÷28=28÷14=2.

La somme des 𝑛 premiers termes d’une suite géométrique 𝑆 peut être calculée à l’aide de la formule 𝑆=𝑇(𝑟1)𝑟1.

Étant donné que la quantité totale d’eau dans le réservoir est 1‎ ‎778 litres, alors 𝑆=1778 et on cherche la période de temps 𝑛, en jours.

En substituant par nos valeurs, on a 1778=14(21)211778=14(21)(14)127=21(1)128=2.endivisantdesdeuxcôtésparenajoutantdesdeuxcôtés

On sait que 128 est une puissance de 2, donc 𝑛 est une valeur entière.

En fait, 2 vaut 128 donc 𝑛=7.

Notons que l'on peut trouver ce résultat en utilisant la fonction logarithme, bien que cela dépasse le cadre de cette fiche explicative.

Par conséquent, le réservoir d’eau sera vide après 7 jours.

On peut vérifier cette réponse en calculant à la main la quantité d’eau dans le réservoir à la fin de chaque journée en soustrayant 14;28;56, au fur et à mesure.

Fin du jour 1:177814=1764

Fin du jour 2:176428=1736

Fin du jour 3:173656=1680

Fin du jour 4:1680112=1568

Fin du jour 5:1568224=1344

Fin du jour 6:1344448=896

Fin du jour 7:896896=0

Cela confirme que le réservoir d’eau sera vide après 7 jours.

Nous terminons cette fiche explicative en récapitulant certains points clés.

Points clés

  • De nombreux problèmes concrets impliquent des suites et séries géométriques. Les définitions suivantes peuvent nous aider à résoudre ces problèmes.
  • Une suite géométrique finie a la forme 𝑇,𝑇𝑟,𝑇𝑟,,𝑇𝑟, 𝑇 est le premier terme, 𝑟 est la raison et 𝑛 est le nombre de termes dans la suite.
  • Le 𝑛-ième terme d’une suite géométrique est 𝑇=𝑇𝑟.
  • La raison 𝑟 d’une suite géométrique de 𝑛-ième terme 𝑇 est donnée par 𝑟=𝑇𝑇 ou 𝑟=𝑇𝑇.
  • La somme des termes d'une suite est appelée série.
  • La somme des 𝑛 premiers termes d’une suite géométrique de premier terme 𝑇 et de raison 𝑟, est notée 𝑆, 𝑆=𝑇(1𝑟)1𝑟𝑆=𝑇(𝑟1)𝑟1.ou

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