Vidéo de la leçon: Applications des suites et des séries géométriques Mathématiques

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Applications des suites et des séries géométriques

Dans cette leçon, nous allons étudier plusieurs problèmes concrets impliquant des suites et des séries géométriques. Nous allons appliquer toutes nos connaissances à leur sujet pour essayer de résoudre ces problèmes de la vie courante. Nous verrons comment déterminer la raison et la valeur de termes spécifiques de ces suites, ainsi que la somme d’un nombre donné de termes de la suite.

Avant de nous attaquer à des exemples de problèmes, commençons par rappeler tout ce que nous savons sur les suites et les séries géométriques. Nous savons tout d’abord que les suites géométriques commencent par une valeur initiale, que l’on désigne généralement par 𝑎. Nous savons ensuite que le quotient entre deux termes successifs d’une suite géométrique est constant, on appelle ce quotient la raison et on la désigne par la lettre q. De manière équivalente, on peut dire que l’on obtient le terme suivant de la suite en multipliant le terme précédent par q.

Il existe de plus quelques formules pouvant nous aider à trouver des informations sur des suites et des séries géométriques. Si on définit 𝑢 𝑛 comme le terme de rang 𝑛 d’une suite géométrique de valeur initiale 𝑎 et de raison q, alors 𝑢 𝑛 est égal à 𝑎 fois q puissance 𝑛 moins un. Parce qu’il suffit de multiplier la valeur initiale par q puissance 𝑛 moins un pour obtenir le terme de rang 𝑛 de la suite.

Nous savons également que l’on peut calculer la raison d’une suite géométrique en calculant le quotient de deux termes successifs. q est égal à 𝑢 𝑛 plus un divisé par 𝑢 𝑛, à condition bien sûr que 𝑛 soit supérieur ou égal à un. On peut également calculer la somme des 𝑛 premiers termes d’une suite géométrique. On la note 𝑆 𝑛. La somme des 𝑛 premiers termes de cette suite géométrique est alors égale à 𝑎 fois un moins q puissance n divisé par un moins q. Et quelques points méritent d’être soulignés au sujet de cette formule. Tout d’abord, cette formule n’est pas valide lorsque q est égale à un, car on diviserait par zéro. Mais si q est égal à un, la suite géométrique est en fait simplement la suite constante égale à 𝑎 pour tous les termes. Il est donc rare qu’on l’étudie en tant que suite géométrique.

Il existe également une formule équivalente que l’on peut obtenir en multipliant le numérateur et le dénominateur par moins un, qui est 𝑎 fois q puissance 𝑛 moins un sur q moins un. Ces deux formules donnent la bonne réponse pour toute valeur de q différente de un. On utilise en général la première version lorsque la valeur de q est inférieure à un et la deuxième version lorsque q est supérieure à un. Mais vous pouvez choisir celle que vous préférez.

Enfin, on peut additionner un nombre infini de termes de la suite géométrique. On note généralement cette somme 𝑆 infini. Et nous savons qu’elle est égale à 𝑎 sur un moins q si la valeur absolue de la raison q est strictement inférieure à un. Et si la valeur absolue de q est supérieure ou égale à un, la série infinie sera divergente. Il y a cependant un petit point d’attention ici. Nous devons vérifier que la valeur de 𝑎 est non nulle car la suite est sinon la suite constante à zéro. Mais on ne l’étudie généralement pas en tant que suite géométrique.

Voyons maintenant quelques exemples d’application de toutes ces définitions et formules pour déterminer des informations dans des problèmes concrets.

Chloé a rejoint une entreprise avec un salaire d’entrée à 28 000 dollars. Elle a reçu une augmentation de salaire de 2,5 pour cent après chaque année passée dans l’entreprise. Le montant total que Chloé a gagné en 𝑛 années est une série géométrique finie. Quel est la raison de cette série finie ? Établissez une formule de 𝑆 𝑛, le montant total en dollars que Chloé a gagné en 𝑛 années dans cette société. Après 20 ans dans la société, Chloé décide de démissionner. Utilisez votre formule pour calculer le montant total qu’elle a gagné dans cette entreprise.

Et nous répondrons plus tard à une dernière question de ce problème. Ce problème de la vie courante implique le montant d’argent que Chloé a gagné dans une entreprise pendant une période donnée. On nous dit que Chloé avait un salaire d’entrée de 28 000 dollars et qu’elle a reçu une augmentation de salaire de 2,5 pour cent après chaque année passée dans l’entreprise. Ces informations sont en fait suffisantes pour déterminer que le montant qu’elle a gagné en 𝑛 années est une série géométrique finie. Et cette déduction est confirmée dans l’énoncé.

Nous devons alors calculer la raison de cette série géométrique finie. On rappelle pour cela que lorsque l’on parle de la raison d’une série géométrique finie, on fait en fait référence à la raison de la suite géométrique qui compose cette série géométrique finie. Et rappelez-vous que dans une suite géométrique, on doit multiplier le terme précédent par la raison q pour obtenir le terme suivant. On désigne par 𝑎 la valeur initiale de la suite et sa raison par q. Lorsque l’on additionne ensuite les termes d’une suite géométrique, on calcule ce que l’on appelle une série géométrique finie.

Et rappelez-vous que l’énoncé indique que le montant total que Chloé a gagné en 𝑛 années dans cette entreprise est une série géométrique finie. Par conséquent, chaque terme de cette série finie correspond au salaire que Chloé a gagné chaque année. Il existe différentes façons de calculer la raison. Et une méthode consiste à calculer le quotient de deux termes successifs. Essayons donc de trouver deux de ces termes successifs. On peut trouver la valeur initiale en déterminant le salaire que Chloé a gagné la première année dans cette entreprise. Et l’énoncé nous fournit cette information : il est égal à 28 000 dollars.

Nous souhaitons ensuite calculer combien d’argent elle a gagné la deuxième année. À ce stade, elle avait déjà passé une année entière dans son entreprise donc elle a eu une augmentation de salaire de 2,5 pour cent. Et on peut calculer ce nouveau salaire de plusieurs façons. On pourrait par exemple l’écrire comme 28 000 dollars plus 2,5 pour cent de 28 000 dollars. Mais cela est en fait équivalent à 28 000 dollars fois 1,025.

Et cela est suffisant pour calculer la raison. Une chose mérite alors d’être soulignée ici. On peut faire exactement la même chose pour calculer le montant qu’elle a gagné la troisième année. Elle a à nouveau eu une augmentation de salaire de 2,5 pour cent pour avoir travaillé une autre année entière, ce qui signifie que l’on doit augmenter le montant gagné la deuxième année de 2,5 pour cent. Ce qui reviendrait à multiplier encore une fois par 1,025. Et cela est bien sûr vrai pour toutes les années. C’est la raison pour laquelle son salaire forme une suite géométrique.

Il y à présent a plusieurs façons de calculer la raison q. On pourrait par exemple diviser le salaire de la deuxième année par le salaire de la première année. Mais on peut également remarquer que l’on multiplie simplement par 1,025 à chaque fois. Et cela suffit pour répondre à la question. La raison de cette suite géométrique q est donc 1,025.

La deuxième question nous demande ensuite d’établir une formule de 𝑆 𝑛, le montant total en dollars que Chloé a gagné en 𝑛 années dans cette entreprise. Nous pourrions ici répondre directement à la question en appliquant la formule de la somme des termes d’une suite géométrique. Mais montrons tout d’abord pourquoi cette formule correspond bien à notre scénario. 𝑆 𝑛 est ici le montant total en dollars que Chloé a gagné en 𝑛 années dans cette entreprise. Pour trouver cette valeur, il suffit d’additionner le montant qu’elle a gagné la première année, le montant qu’elle a gagné la deuxième année et ainsi de suite jusqu’au montant qu’elle a gagné la n-ième année.

La première année, nous avons déjà montré qu’elle a gagné 28 000 dollars. La deuxième année, elle a eu une augmentation de salaire de 2,5 pour cent. Donc, elle a gagné 28 000 fois 1,025. Additionner ces deux valeurs donne le montant qu’elle a gagné en deux ans dans cette entreprise. Et, bien sûr, nous pouvons continuer ce modèle pour un nombre d’années quelconques, par exemple jusqu’au montant qu’elle a gagné la n-ième année. À cette date, elle avait travaillé 𝑛 moins une années complètes dans l’entreprise. Elle a donc obtenu une augmentation de salaire de 2,5 pour cent 𝑛 moins une fois. Par conséquent, le montant qu’elle a gagné la 𝑛-ième année est de 28 000 dollars fois 1,025 puissance 𝑛 moins un.

Et comme nous l’avons montré précédemment, il s’agit d’une suite géométrique de valeur initiale 𝑎 égale à 28 000 dollars et de raison q égale à 1,025. Et nous connaissons une formule permettant de calculer la somme des 𝑛 premiers termes d’une suite géométrique. 𝑆 𝑛 est égale à 𝑎 fois q puissance n moins un sur q moins un. On remplace donc 𝑎 par 28 000 dollars et q par 1,025 dans cette formule pour obtenir 𝑆 𝑛 égale 28 000 dollars fois 1,025 puissance n moins un sur 1,025 moins un.

Et tout ce qu’il nous reste à faire est de simplifier cette expression ; au dénominateur, on a 1,025 moins un, ce qui fait 0,025. On divise ensuite 28 000 par 0,025. Et en calculant cela, on obtient 1 120 000, ce qui nous donne notre réponse finale. 𝑆 𝑛, le montant total en dollars que Chloé a gagné en 𝑛 années dans cette entreprise, est égal à 1 120 000 fois 1,025 puissance n moins un dollars.

La troisième question nous demande ensuite de calculer le montant total d’argent que Chloé a gagné si elle quitte son entreprise après 20 ans. Et nous devons pour cela utiliser notre formule. On aurait en effet également pu calculer les montants gagnés chaque année puis les additionner. Il est cependant beaucoup plus facile et efficace d’utiliser la formule de 𝑆 𝑛. Puisque nous cherchons le montant qu’elle a gagné après 20 ans dans l’entreprise, notre valeur de 𝑛 sera 20.

On remplace donc 𝑛 par 20 dans la formule de 𝑆 𝑛 que nous avons établie dans la question précédente. On obtient 𝑆 20 égale 1 120 000 fois 1,025 puissance 20 moins un dollars. En évaluant cette expression et en arrondissant notre réponse au centime le plus proche, on obtient 715 250 dollars et 41 centimes.

Mais ce problème comporte une dernière question donc faisons un peu de place.

La dernière question nous demande d’expliquer pourquoi le montant qu’elle a réellement gagné est différent du montant calculé en utilisant la formule. (A) Elle a dépensé une partie de l’argent pendant ces 20 ans. (B) La valeur du dollar varie avec le temps. (C) Le montant réel est calculé avec un pourcentage différent de celui utilisé dans la formule. (D) Le montant réel a une valeur initiale différente de celle utilisée dans la formule. Ou (E) Lorsque c’était nécessaire, le nouveau salaire annuel a été arrondi.

Cette dernière question est intéressante. Si Chloé calculait le montant qu’elle aurait dû gagner en utilisant notre formule, elle obtiendrait une réponse différente du montant qu’elle a effectivement gagné. La question propose cinq options pour expliquer d’où vient cette différence. Nous pourrions en réalité répondre directement à la question sur la base de notre raisonnement précédent. Mais passons tout de même en revue les cinq options proposées.

L’option (A) suppose qu’elle a dépensé une partie de l’argent pendant les 20 ans. Bien ce cela soit vrai car elle a probablement dépensé une partie de l’argent au cours des 20 ans, cela n’affecte pas le montant total qu’elle a gagné au cours de ces 20 ans. Cela affecte uniquement le montant total qu’il lui reste. Donc l’option (A) n’est pas la bonne réponse.

L’option (B) suppose que le montant total qu’elle a gagné en 20 ans est différent parce que la valeur du dollar varie avec le temps. Il est bien sûr vrai que la valeur du dollar varie avec le temps. Mais pendant les 20 ans où Chloé a travaillé pour cette entreprise, elle a uniquement été payée en dollars. La valeur du dollar n’a donc à aucun moment affecté le montant total de l’argent qu’elle a gagné, car elle a toujours été payée en dollars. Donc l’option (B) n’est pas vraie. Cela ne change pas le montant total d’argent qu’elle a gagné. Vous pourriez cependant soulever que cela changerait la valeur du montant d’argent qu’elle a gagné, mais pas le total en dollars.

L’option (C) suggère que nous aurions dû utiliser un pourcentage différent dans la formule pour le calcul. Encore une fois, nous savons que cela n’est pas vrai car l’énoncé indique que son salaire a augmenté de 2,5 pour cent tous les ans et nous avons utilisé cette valeur tout du long. L’option (C) ne peut donc pas être correcte parce que nous savons que son salaire a augmenté de 2,5 pour cent chaque année.

L’option (D) indique que nous aurions dû utiliser une valeur initiale différente dans la formule. Nous savons également que ce n’est pas correct car l’énoncé précise que son salaire d’entrée est de 28 000 dollars. Après une année complète dans l’entreprise, elle a gagné 28 000 dollars. Il s’agit donc bien de la valeur initiale. Donc, l’option (D) ne peut pas non plus être correcte.

Il nous reste donc l’option (E), qui suppose que le nouveau salaire annuel a été arrondi lorsque c’était nécessaire. Essayons de voir pourquoi cela pourrait changer le montant réel qu’elle a gagné. Et pour mettre cela en évidence, nous allons calculer le montant d’argent qu’elle aurait dû gagner chaque année. Commençons par la première année. Évidemment, pendant la première année, elle a gagné son salaire d’entrée de 28 000 dollars. La deuxième année, elle a gagné 28 000 dollars plus son augmentation de salaire de 2,5 pour cent. Cela fait donc 28 000 fois 1,025. Et en calculant cette valeur, on obtient 28 700 dollars exactement.

Faisons de même pour les années trois et quatre. La troisième année, elle a gagné 28 000 fois 1,025 au carré et la quatrième année, 28 000 dollars fois 1,025 au cube. En évaluant ces expressions, on trouve que son salaire de la troisième année est de 29 417 dollars et 50 centimes. Et la quatrième année, on obtient 30 152 dollars et 93 centimes. Mais nous obtenons également un supplément de 0,75 centimes. Et c’est là que le problème commence à émerger car l’entreprise ne peut pas lui donner 0,75 centimes. Il est donc très probable que la société ait arrondi et lui ai donné 30 152 dollars et 94 centimes.

La formule que nous avons établie additionne cependant les montants exacts de chaque année, alors que le montant réel qu’elle a gagné est basé sur le montant exact qu’elle a reçu. Et cet arrondi peut rendre notre formule incorrecte dans ce cas. Il convient de souligner que cela n’est vrai que parce que cette situation implique des dollars et des centimes, et qu’il n’est pas possible de donner 0,75 centimes. Mais ce n’est pas toujours le cas. Si le problème concernait par exemple des longueurs, nous pourrions utiliser des valeurs aussi précises que nous le souhaitons. C’est pourquoi, il est très important de connaître les unités concernées lorsque l’on travaille sur un problème de la vie courante.

Nous avons ainsi montré que le montant qu’elle a effectivement gagné est différent du montant que nous avons calculé en utilisant la formule pour la raison (E) : le nouveau salaire annuel a été arrondi lorsque nécessaire.

Étudions maintenant un autre exemple de problème de la vie courante impliquant des suites et des séries géométriques finies.

Une mine d’or a produit 2 257 kilogrammes la première année, mais sa production a ensuite diminué de 14 pour cent par an. Calculez la quantité totale d’or produite la troisième année et la quantité totale produite pendant les trois années. Donnez vos réponses au kilogramme près.

Cette question nous donne des informations à propos d’une mine d’or. On nous dit que la première année de production, la mine d’or a produit 2 257 kilogrammes. Mais il est indiqué que cette quantité a ensuite diminué de 14 pour cent par an. Nous devons alors calculer deux choses. Tout d’abord, la quantité d’or produite la troisième année de production, et ensuite la quantité totale produite au cours des trois premières années. Et nous devons donner ces deux réponses au kilogramme près.

Il y a deux façons de répondre à cette question. La première consiste à calculer directement ces valeurs à partir des informations fournies dans la question. La question indique que la première année, la mine d’or a produit 2 257 kilogrammes d’or. On peut calculer la quantité d’or produite la deuxième année en rappelant que cette quantité a diminué de 14 pour cent par an. Il existe différentes façons d’évaluer une diminution de 14 pourcents.

On peut notamment multiplier par un moins 0,14. Et il convient de souligner ici que l’on soustrait 0,14 car il s’agit d’une diminution. Et que la valeur que l’on soustrait est 0,14 car le pourcentage est de 14 et qu’on doit le diviser par 100. Cela revient à dire qu’une diminution de 14 pour cent équivaut à multiplier la quantité initiale par 0,86. Par conséquent, la quantité d’or produite dans la mine la deuxième année est égale à 2 257 fois 0,86 kilogrammes. Cela donne une valeur exacte de 1941,02 kilogrammes. Nous ne devons cependant pas arrondir notre réponse avant la fin de la question, nous pouvons donc la laisser telle quelle.

On fait ensuite exactement la même chose pour la troisième année. Une fois de plus, on sait d’après l’énoncé que la mine a produit 14 pour cent d’or en moins la troisième année par rapport à la deuxième année. On pourrait donc multiplier la quantité d’or que nous avons obtenue la deuxième année par 0,86. Mais il est plus facile de multiplier cette expression par 0,86. En faisant cela et en simplifiant, on obtient 2 257 fois 0,86 au carré kilogrammes. Et la valeur exacte de cela est 1 669,2772 kilogrammes.

Nous pouvons maintenant utiliser ces trois valeurs pour répondre aux questions. On détermine d’abord la quantité d’or produite la troisième année en arrondissant ce nombre au kilogramme près. Cela nous donne 1 669 kilogrammes. On peut ensuite calculer la quantité totale d’or produite en trois ans en additionnant ces trois valeurs. Cela nous donne 2 257 kilogrammes plus 1 941,02 kilogrammes plus 1 669,2772 kilogrammes. Et si on évalue cela, on obtient 5 867,2972 kilogrammes. Pour arrondir au kilogramme près, comme la première décimale est deux, on arrondit par défaut et on obtient 5 867 kilogrammes.

Mais comment ferions-nous si nous devions calculer les productions d’un nombre supérieur d’années ? On peut voir que cette méthode n’a fonctionné que parce que nous avions à calculer les trois premières années seulement. Si on nous demandait calculer les productions d’autres années, nous devrions remarquer quelque chose d’intéressant. Chaque année, on multiplie la production par une constante, 0,86. Et on rappelle que dans une suite, si on multiplie le terme précédent par une constante pour obtenir le terme suivant, alors il s’agit d’une suite géométrique.

Par conséquent, la production d’or de la mine chaque année forme une suite géométrique de valeur initiale 𝑎 égale à 2 257 kilogrammes et de raison q égale à 0,86. Nous pouvons ensuite utiliser nos connaissances sur les suites géométriques pour trouver la quantité d’or produite la 𝑛-ième année et la quantité totale d’or produite après 𝑛 années. Il suffit de substituer 𝑛 égale trois et les valeurs de 𝑎 et q dans les deux formules pour calculer leur valeur. Après arrondir, on obtient les mêmes réponses que précédemment. 𝑎 trois est égal à 1 669 kilogrammes et 𝑆 trois à 5 867 kilogrammes.

Passons maintenant en revue les points clés de cette vidéo. Nous avons tout d’abord vu que de nombreux problèmes de la vie courante impliquent des suites et des séries géométriques. Si on peut traduire un problème concret en un problème impliquant une suite ou une série géométrique, alors on peut utiliser toutes les définitions et les formules des suites ou des séries géométriques pour le résoudre. Il faut enfin toujours vérifier que les réponses sont adaptées à la situation de la vie courante étudiée. Il est par exemple possible que des calculs aboutissent à des valeurs non entières pour une population. Et il faut toujours se préoccuper de la manière dont cela pourrait affecter le résultat final.