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Sachant que 𝑥 est un angle aigu et que quatre fois le cosinus de 𝑥 est égal à deux fois la racine de trois, déterminez la valeur en radians de 𝑥.
Il est précisé que 𝑥 est un angle aigu, ce qui signifie qu’il est compris entre zéro et 90 degrés. Mais on note que dans cette question, on doit donner notre réponse en radians. On rappelle que 180 degrés est égal à 𝜋 radians. Ce qui signifie que 90 degrés est égal à 𝜋 sur deux radians, et donc que 𝑥 est compris entre zéro et 𝜋 sur deux. Pour résoudre l’équation qui nous est donnée, on commence par isoler le cosinus de 𝑥 sur un côté de l’équation. Pour cela, on divise les deux membres de l’équation par quatre. Le membre de gauche se simplifie alors en cosinus de 𝑥. Diviser le numérateur et le dénominateur du côté droit par deux nous donne racine de trois sur deux. Le cosinus de 𝑥 est égal à racine de trois sur deux.
On peut ensuite résoudre cette équation en utilisant nos connaissances sur les fonctions trigonométriques réciproques. On sait que pour tout angle aigu 𝜃, l’arc cosinus du cosinus de 𝜃 est égal à 𝜃. On applique l’arc cosinus (la fonction réciproque du cosinus) de chaque côté de notre équation et on obtient que l’arc cosinus du cosinus de 𝑥 est égal à l’arc cosinus de racine de trois sur deux. Et comme 𝑥 est un angle aigu, on en déduit que 𝑥 est égal à l’arc cosinus de racine de trois sur deux.
On peut maintenant utiliser la calculatrice pour obtenir la valeur du membre de droite. On pense à vérifier que notre calculatrice est bien réglée en mode radian et on obtient que 𝑥 est égal à 𝜋 sur six. Ainsi, si 𝑥 est un angle aigu et que quatre fois le cosinus de 𝑥 est égal à deux fois la racine de trois, alors 𝑥 est égal à 𝜋 sur six radians. Notons qu’on aurait aussi pu utiliser nos connaissances sur les angles remarquables pour résoudre la dernière étape. On peut en effet rappeler que le cosinus de 30 degrés est égal à racine de trois sur deux. Ce qui signifie que le cosinus de 𝜋 sur six radians est lui aussi égal à racine de trois sur deux. En appliquant la fonction réciproque du cosinus de chaque côté de cette équation, on voit que 𝜋 sur six est égal à l’arc cosinus de racine de trois sur deux. Cela confirme que notre valeur de 𝑥 est la bonne et que notre réponse est correcte.
