Vidéo de la leçon: Résoudre des équations à l’aide de fonctions trigonométriques inverses Mathématiques

Transcription de la vidéo

Dans cette vidéo, nous allons apprendre à résoudre des équations en utilisant des fonctions trigonométriques inverses dans le premier quadrant.

Avant de parler des fonctions trigonométriques réciproques, rappelons ce que nous savons des fonctions trigonométriques. Pour ce faire, considérons cette figure. Nous avons un triangle rectangle avec un côté vertical de longueur 𝑦 et un côté horizontal de longueur 𝑥. Notez que la distance entre l’origine et 𝑥, 𝑦 est un. Cela signifie que le triangle est inscrit dans un cercle de rayon un. Le cercle dont le centre est à l’origine et le rayon vaut un est connu sous le nom de cercle trigonométrique. Donc, ce que nous voyons ici, c’est un triangle rectangle inscrit dans le cercle trigonométrique. Et nous parlerons du sinus, du cosinus et de la tangente par rapport à ce triangle rectangle dans le cercle trigonométrique. La valeur 𝑥 représente la longueur du côté adjacent. La valeur 𝑦 représente la longueur du côté opposé. Et puis, nous avons une hypoténuse de longueur un, la distance à l’origine au point 𝑥, 𝑦.

Étant donné ce triangle d’angle 𝜃, le sinus de 𝜃 est égal au côté opposé divisé par l’hypoténuse. Le cosinus de 𝜃 est égal au côté adjacent divisé par l’hypoténuse et la tangente de 𝜃 est égal au côté opposé divisé par le côté adjacent. De ces informations, nous obtenons un principe très important. Pour les fonctions trigonométriques, la valeur d’entrée ou l’ensemble de définition sera une mesure d’angle et la sortie sera un rapport de longueurs de côtés. Nous entrons une valeur de 𝜃 et la sortie sera un rapport. En utilisant ces informations et ce que nous savons des fonctions réciproques, nous pouvons dire que la sortie des fonctions trigonométriques, l’ensemble image, doit devenir l’ensemble de définition de sa fonction réciproque, et l’entrée des fonctions trigonométriques, son ensemble de définition, deviendra l’ensemble image des fonctions trigonométriques réciproques.

Pour le sinus réciproque, vous entrez un rapport, opposé divisé par l’hypoténuse, et la sortie est une mesure d’angle. Pour le cosinus réciproque, nous saisissons le rapport du côté adjacent sur l’hypoténuse et nous obtenons une mesure d’angle. La même chose est vraie pour la tangente. Ce que nous souhaitons dire, c’est que pour une fonction trigonométrique réciproque, les valeurs que nous entrons dans la fonction seront des rapports de longueurs de côtés et la sortie sera une mesure d’angle. La sortie peut être en degrés ou en radians. Mais avant d’aller plus loin, nous devons faire quelques distinctions.

Parce que les trois fonctions trigonométriques ne sont pas des fonctions bijectives, elles ne vérifient pas le théorème des valeurs intermédiaires. Lorsque nous travaillons avec elles, nous devons restreindre leur ensemble de définition. Et cela signifie que, pour utiliser les réciproques des fonctions trigonométriques, nous devrons également utiliser des ensembles de définitions restreints. Dans ce cas, nous n’irons que de zéro degré à 90 degrés ou de zéro radian à 𝜋 sur deux radians. Nous allons nous limiter à travailler avec les fonctions réciproques dans le premier quadrant. Si vous travaillez avec des réciproques dans une calculatrice, elles vous donneront automatiquement les réponses dans le premier quadrant. A présent, considérons comment utiliser ces fonctions trigonométriques réciproques pour résoudre des équations.

Soit 𝐴 un angle aigu tel que sinus 𝐴 est égal à 0,8193, déterminez la mesure de l’angle 𝐴 au dixième de degré près.

Nous savons que le sinus d’un angle inconnu 𝐴 est égal à 0,8193. Concernant cette fonction trigonométrique, la valeur 𝜃 en entrée est une mesure d’angle et elle est égale à un certain rapport de longueurs de côtés. Si nous connaissons le rapport des longueurs de côtés et que nous voulons connaître la mesure de l’angle, nous avons besoin d’une fonction qui peut inverser le processus de la fonction sinus, ce serait le sinus réciproque de sin 𝜃. Nous devrons prendre le sinus réciproque de sinus 𝐴. Donc, nous le ferons des deux côtés de l’équation. Le sinus réciproque de sinus 𝐴 est juste égal à 𝐴 et le réciproque sinus de 0,8193 peut être trouvé avec une calculatrice. Assurez-vous que votre calculatrice est définie en degrés, car nous souhaitons cette mesure d’angle en degrés.

Lorsque nous faisons cela, nous obtenons 55,0147 etc degrés. Nous allons arrondir cela au dixième près et nous trouvons que la mesure de l’angle 𝐴 est de 55,0 degrés. On nous dit que 𝐴 est un angle aigu et nous ne sommes donc intéressés que par la plus petite valeur possible de 𝐴, qui est de 55 degrés.

Avant de continuer, nous devons connaître les différentes notations des fonctions trigonométriques réciproques. Nous avons déjà vu le sinus avec l’exposant moins un, que nous lisons sinus réciproque. Mais ceci est aussi parfois écrit comme arcsin et ces deux notations signifient exactement la même chose. L’arcsin renvoie l’angle dont le sinus est un nombre donné. De même, le cosinus réciproque peut être écrit comme arccos et la tangente réciproque comme arctan. Voyons un autre exemple où nous devons utiliser une fonction trigonométrique réciproque pour résoudre une équation.

Trouvez la valeur de 𝑋 sachant que la tangente de 𝑋 sur quatre est égal à la racine carrée de trois, où 𝑋 sur quatre est un angle aigu.

Nous savons que nous ne traiterons que des angles situés dans le premier quadrant. Nous savons également que la tangente de 𝜃 est égale au côté opposé divisé par le côté adjacent. Cela signifie que pour un certain angle 𝜃, la tangente de 𝜃 est égale à ce rapport. Et pour nous, cet angle est 𝑋 sur quatre, et le rapport est la racine carrée de trois. Lorsque nous voyons que cette tangente d’un angle est égal à la racine carrée de trois, nous pouvons reconnaître que c’est un angle particulier. Nous savons que la tangente de 60 degrés est égale à la racine carrée de trois. Et si nous savons que tangente de 60 degrés est égal à la racine carrée de trois, alors nous pouvons écrire que 𝑋 sur quatre égal 60 degrés. Ensuite, nous multiplions les deux côtés de l’équation par quatre et constatons que 𝑋 doit être égal à 240 degrés.

Vous pourriez tout à coup vous demander: «Attendez! Je pensais que l’on devait trouver un angle aigu. » Mais il faut faire attention ici car 𝑋 sur quatre est un angle aigu ; cela ne signifie pas que 𝑋 lui-même doit être inférieur à 90 degrés. 𝑋 sur quatre mesure 60 degrés, ce qui est un angle aigu et 𝑋 mesure 240 degrés.

Mais maintenant, vous vous demandez peut-être quoi faire si vous ne vous souvenez pas que la tangente de 60 degrés est égal à la racine carrée de trois? Dans ce cas, vous pouvez utiliser la fonction trigonométrique réciproque. Si vous prenez la tangente réciproque de tangente de 𝑋 sur quatre, vous obtenez juste 𝑋 sur quatre. Et si vous prenez la tangente réciproque de la racine carrée de trois dans une calculatrice, cela vous donnera 60 degrés. Attention, vous devez vous assurer que votre calculatrice fonctionne en degrés et non en radians lorsque vous entrez la tangente réciproque de la racine carrée de trois. Les deux méthodes montrent que 𝑋 doit être égal à 240 degrés pour que 𝑋 sur quatre soit égal à 60 degrés.

Maintenant, nous sommes prêts à traiter un autre exemple.

Trouvez la mesure de l’angle 𝑋 en degrés sachant que deux fois cos de 𝑋 est égal à tangente de 60 degrés, où 𝑋 est un angle aigu.

Puisque 𝑋 est un angle aigu, nous ne sommes intéressés que par les solutions du premier quadrant. Donc, jetons un œil à deux fois cos 𝑋 égal tangente de 60 degrés. Et la première chose que nous pouvons faire est de calculer tangente de 60 degrés, qui est égal à la racine carrée de trois. Parce que c’est un angle que nous mémorisons généralement, vous saviez peut-être déjà que la tangente de 60 degrés était la racine carrée de trois. Sinon, vous pouvez l’entrer dans votre calculatrice. Maintenant, nous avons deux fois cos de 𝑋 est égal à la racine carrée de trois. Notre objectif est de trouver 𝑋. Nous cherchons à obtenir 𝑋 tout seul. Donc, nous divisons par deux et nous voyons que le cos de 𝑋 doit être égal à la racine carrée de trois sur deux.

Et une des deux choses peut arriver ici. Vous vous souvenez peut-être que le cos de 30 degrés vaut racine carrée de trois sur deux. Ou vous pouvez reconnaître que nous pouvons trouver 𝑋 en prenant le cosinus réciproque des deux côtés de cette équation. Le cosinus réciproque du cos de 𝑋 est égal à 𝑋 et le cosinus réciproque de la racine carrée de trois sur deux peut être entré dans une calculatrice, qui renverra 30 degrés. Si vous saviez que le cosinus de 30 degrés était la racine carrée de trois sur deux, vous reconnaîtrez que 𝑋 doit être égal à 30 degrés. Mais les deux méthodes le prouvent.

Maintenant, nous sommes prêts à traiter un dernier exemple.

Trouvez la mesure de l’angle 𝐸 étant donné que la tangente de 𝐸 est égal à 18,5845 et que l’angle 𝐸 est un angle aigu. Donner la réponse à la seconde près.

Puisque nous savons que l’angle 𝐸 est un angle aigu, nous savons qu’il ne s’agira que de valeurs dans le premier quadrant. Nous savons que tan de 𝐸 est égal à 18,5845. Nous savons que la tangente d’un angle est égale à un rapport de longueurs de côté. Et nous savons également que si l’on nous donne un rapport de longueurs de côtés pour une tangente, en utilisant la tangente réciproque, nous pouvons trouver la mesure de l’angle. Et cela signifie que nous voulons prendre la tangente réciproque des deux côtés de cette équation. La tangente réciproque de tan de 𝐸 est égale à 𝐸. Et avant de trouver la tangente réciproque de 18,5845, nous devons nous demander «Avons-nous affaire à des radians ou des degrés?» Nous devons arrondir cette valeur à la seconde près. Une seconde est une fraction de minutes, et une minute est une fraction de degré. Cela signifie que nous devrons utiliser cette tangente réciproque en degrés.

En nous assurant que notre calculatrice est définie en degrés, nous obtenons que 𝐸 est égal à 86,91998286 etc degrés. Cela signifie que 𝐸 a 86 degrés entiers et un autre degré partiel. Pour que nous puissions transformer ce degré partiel en minutes et en secondes, nous devons nous rappeler qu’un degré est égal à 60 minutes. Et cela signifie que pour savoir à combien de minutes 0,91998286 etc degrés correspondent, nous multiplions par 60. Et lorsque nous faisons cela, nous obtenons 55,19897132 etc minutes, 55 minutes entières et une minute partielle.

Notre dernière étape sera de convertir cette minute partielle en secondes. Et pour cela, il faut savoir qu’une minute équivaut à 60 secondes. Donc, nous avons 86 degrés, 55 minutes et ensuite nous aurons 0,19897132 minutes fois 60, ce qui nous donne 11,93827 etc secondes. Pour arrondir à la seconde près, nous arrondissons le 11,9 à 12. Et nous dirons que la mesure de l’angle 𝐸 est égale à 86 degrés, 55 minutes et 12 secondes.

Maintenant, nous sommes prêts à revoir les points clés. Pour une valeur sinus 𝜃, cosinus 𝜃 ou tangente 𝜃 avec 𝜃 un angle aigu, nous pouvons utiliser les fonctions trigonométriques réciproques pour trouver l’angle manquant 𝜃. Nous pouvons représenter cela par le sinus réciproque de sin 𝜃 sera égal à 𝜃, le cosinus réciproque de cos 𝜃 est égal à 𝜃 et la tangente réciproque de tan 𝜃 sera égale à 𝜃.