Dans cette fiche explicative, nous allons apprendre à résoudre des équations à l'aide des fonctions trigonométriques réciproques dans le premier quadrant.
Le premier quadrant signifie que l’on ne considère que les angles aigus , où ou en radians.
Les fonctions trigonométriques réciproques ont un certain nombre d’applications de la vie courante dans de nombreuses disciplines incluant l’ingénierie, la navigation, la physique et la géométrie. Par exemple, si vous faites de la menuiserie et que vous voulez vous assurer que l’extrémité d’un morceau de bois est coupée selon un angle particulier, vous pouvez le faire en mesurant les côtés et en utilisant une fonction trigonométrique réciproque pour déterminer l’angle. Ou si vous souhaitez monter en haut d’une une montagne mais que vous ne souhaitez pas monter une pente supérieure à un angle particulier, vous pouvez mesurer la distance horizontale à la montagne à partir de votre position de départ et la distance parcourue sur votre chemin vers la montagne et utiliser des fonctions trigonométriques réciproques pour vous assurer de ne pas dépasser votre angle d’élévation maximal, ou pour déterminer quelle montagne monter si vous souhaitez atteindre le sommet.
Avant de parler des fonctions trigonométriques réciproques, commençons par rappeler les fonctions trigonométriques dont nous allons examiner les réciproques dans cette fiche explicative. On considère le triangle rectangle ci-dessous.
Les fonctions trigonométriques peuvent être exprimées en fonction du rapport des côtés du triangle comme suit :
Ces fonctions vérifient les identités trigonométriques suivantes :
L’ensemble de définition (l’ensemble des valeurs d’entrée possibles) et l’ensemble image (l’ensemble des valeurs de sortie possibles) des fonctions trigonométriques sortent du cadre de cette fiche explicative. Nous ne considérerons que les valeurs d’entrée dans le premier quadrant pour les angles aigus pour les fonctions trigonométriques.
Les valeurs trigonométriques remarquables en degrés et radians sont indiquées dans le tableau suivant.
| Angle | |||
|---|---|---|---|
| 1 |
On peut les retenir grâce aux triangles rectangles spéciaux suivants.
On peut voir l’utilité des fonctions trigonométriques réciproques en considérant la question suivante. On suppose qu’une échelle de 14 m est placée contre un mur. Si le bas de l’échelle est à 7 m de la base du mur, quel est l’angle que fait le bas de l’échelle avec le sol ?
Pour ce problème, la longueur de l’hypoténuse vaut 14 m et la longueur du côté adjacent à l’angle vaut 7 m. Comme le cosinus est le rapport entre les longueurs de l’hypoténuse et du côté adjacent dans un triangle rectangle, on a
Afin de déterminer l’angle aigu , on peut regarder les valeurs trigonométriques remarquables pour voir quelle valeur de vérifie cette équation pour . Par conséquent, l’angle formé par le bas de l’échelle avec le sol est donné par
Dans ce problème, on a simplement trouvé l’angle en examinant différentes valeurs de pour la fonction cosinus. On peut alors se demander : et si n’est pas une valeur trigonométrique remarquable que l’on peut déduire en faisant le processus à l’envers ? C’est à ce moment que nous pouvons nous tourner vers les fonctions trigonométriques réciproques qui nous permettent essentiellement de trouver .
Les fonctions trigonométriques sinus, cosinus et tangente sont des fonctions périodiques. Leurs ensembles de définitions doivent être limités à un sous-ensemble particulier pour pouvoir définir des fonctions réciproques. Ce n’est pas un problème dans cette fiche explicative car nous limitons l’ensemble de définition au premier quadrant, en radians ou en degrés.
Définition : Fonctions trigonométriques réciproques
Les fonctions trigonométriques réciproques notées , et sont les fonctions réciproques des fonctions trigonométriques , et . Cela signifie qu’elles fonctionnent en sens inverse ou qu’elles « font marche arrière » par rapport aux fonctions trigonométriques habituelles. Pour les angles aigus, en radians ou en degrés, elles sont définies par
Elles peuvent également être écrites comme , et .
Par exemple, si on a , alors cela équivaut à (La réciproque d’une fonction peut aussi être notée , donc si , alors , et inversement. Cela sera traité plus en détail dans une autre fiche explicative sur les fonctions réciproques en général.)
D’après la définition de la fonction réciproque et pour les angles aigus en radians ou en degrés, les fonctions trigonométriques réciproques vérifient les propriétés
Les valeurs d’entrée et de sortie sont échangées pour les fonctions trigonométriques réciproques par rapport aux fonctions trigonométriques habituelles. Pour les fonctions trigonométriques réciproques, on ne considère que les valeurs de sortie dans le premier quadrant pour les angles aigus, correspondant aux valeurs d’entrée des fonctions trigonométriques que l’on a mentionnées plus tôt.
On peut aussi exprimer l’angle dans le triangle rectangle en fonction des côtés donnés en utilisant les fonctions trigonométriques réciproques : et de même pour les autres expressions :
Pour le problème de l’échelle, on aurait pu utiliser la fonction cosinus réciproque pour déterminer l’angle de manière similaire :
En inversant le tableau des valeurs trigonométriques, on peut également créer un tableau de valeurs trigonométriques réciproques remarquables comme suit.
| 1 | |||
|---|---|---|---|
Ces types de problèmes peuvent être résolus pour n’importe quel angle aigu et pas seulement pour les valeurs remarquables. On suppose que l’on souhaite résoudre l’équation pour déterminer l’angle aigu au degré près. On commence par réarranger l’équation pour trouver :
On applique maintenant la fonction sinus réciproque pour trouver :
On a obtenu la valeur de en utilisant la fonction sur une calculatrice définie en mode degrés. Par conséquent, au degré près, on a
On suppose maintenant que l’on souhaite résoudre l’équation ci-dessous pour un angle aigu mesuré en radians
On souhaite trouver la valeur de en radians qui vérifie cette équation. On commence par réarranger l’équation et par utiliser une identité trigonométrique pour réécrire l’expression en fonction de :
Enfin, on applique la fonction tangente réciproque pour trouver et chercher la valeur appropriée dans le tableau des angles remarquables ou en utilisant la fonction sur une calculatrice définie en mode radians :
Nous allons maintenant étudier quelques exemples pour pratiquer et approfondir notre compréhension.
Pour le premier exemple, nous allons appliquer la fonction sinus réciproque pour déterminer un angle particulier en degrés au dixième de degré près.
Exemple 1: Utiliser les fonctions trigonométriques réciproques pour résoudre une équation trigonométrique
Sachant que est un angle aigu et que , déterminez au dixième de degré près.
Réponse
Dans cet exemple, on souhaite déterminer un angle en utilisant la fonction sinus réciproque, au dixième de degré près.
En particulier, on va utiliser la propriété du sinus pour les angles aigus, :
On commence par appliquer la fonction sinus réciproque aux deux membres de l’équation :
On a obtenu la valeur de en utilisant la fonction sur une calculatrice définie en mode degrés.
Par conséquent, au dixième de degré près,
Dans le prochain exemple, nous allons utiliser la fonction cosinus réciproque pour déterminer un angle particulier en radians.
Exemple 2: Utiliser les fonctions trigonométriques réciproques pour résoudre des équations trigonométriques impliquant des angles remarquables
Sachant que est un angle aigu et que , déterminez la valeur de en radians.
Réponse
Dans cet exemple, on souhaite déterminer la valeur d’un angle en utilisant la fonction cosinus réciproque en radians.
En particulier, on va utiliser la propriété du cosinus pour les angles aigus, :
On commence par réarranger l’équation pour trouver :
Maintenant, on applique la fonction cosinus réciproque aux deux membres de l’équation et on utilise le tableau des angles remarquables ou la fonction sur une calculatrice, définie en mode radians pour déterminer la valeur de :
Dans le prochain exemple, nous allons à nouveau utiliser la fonction cosinus réciproque pour déterminer un angle particulier, mais cette fois en degrés en utilisant la connaissance de la tangente d’un angle remarquable.
Exemple 3: Utiliser les fonctions trigonométriques réciproques pour résoudre des équations trigonométriques impliquant des angles remarquables
Déterminez la mesure de en degrés sachant que où est un angle aigu.
Réponse
Dans cet exemple, on souhaite déterminer un angle en utilisant la fonction cosinus réciproque.
En particulier, on va utiliser la propriété du cosinus pour les angles aigus, :
On remarque d’abord que . On commence par réarranger l’équation pour trouver :
On applique maintenant la fonction cosinus réciproque aux deux membres de l’équation et on utilise le tableau des angles remarquables ou la fonction sur une calculatrice définie en mode degrés pour déterminer la valeur de :
Dans le prochain exemple, nous allons utiliser la fonction tangente réciproque pour déterminer un angle particulier et donner notre réponse à la seconde près.
Exemple 4: Utiliser les fonctions trigonométriques réciproques pour résoudre des équations trigonométriques
Trouvez sachant que et que est un angle aigu. Donnez votre réponse à la seconde près.
Réponse
Dans cet exemple, on souhaite déterminer un angle à la seconde près en utilisant la fonction tangente réciproque.
En particulier, on va utiliser la propriété de la tangente pour les angles aigus, :
On commence par appliquer la tangente réciproque aux deux membres de l’équation :
On a obtenu la valeur de en utilisant la fonction sur une calculatrice définie en mode degrés.
On convertit maintenant cet angle sous la forme correcte en l’exprimant comme
Par conséquent, à la seconde près, on a
Dans le prochain exemple, nous allons utiliser les fonctions tangente réciproque et cosinus réciproque pour résoudre deux équations impliquant des fonctions trigonométriques.
Exemple 5: Résoudre des équations trigonométriques impliquant plusieurs fonctions trigonométriques et des angles remarquables
Déterminez le plus petit angle positif qui vérifie et .
Réponse
Dans cet exemple, on souhaite résoudre un système d’équations en utilisant les fonctions cosinus réciproque et tangente réciproque.
Comme on recherche le plus petit angle positif vérifiant ces équations, on commence par chercher des solutions aigües. En particulier, on va utiliser la propriété du cosinus et de la tangente pour les angles aigus, :
On commence par réarranger la première équation pour trouver :
On peut maintenant appliquer la fonction cosinus réciproque aux deux membres de l’équation et utiliser le tableau des angles remarquables ou la fonction sur une calculatrice définie en mode degrés pour déterminer la valeur de :
On vérifie maintenant que cela satisfait à la deuxième condition en substituant dans la deuxième équation, ou on détermine directement l’angle à partir de la deuxième équation. Pour la deuxième option, on commence par réarranger l’équation pour trouver :
Ensuite, on applique la fonction tangente réciproque aux deux membres de l’équation et on utilise le tableau des angles remarquables ou la fonction sur une calculatrice définie en mode degrés pour déterminer l’angle :
Par conséquent, le plus petit angle positif qui vérifie et est
Dans le prochain exemple, nous allons utiliser la fonction cosinus réciproque pour déterminer un angle particulier différent des angles remarquables en radians.
Exemple 6: Utiliser les fonctions trigonométriques réciproques pour résoudre des équations trigonométriques impliquant des angles remarquables
Sachant que est un angle aigu et que , déterminez la valeur de en radians.
Réponse
Dans cet exemple, on souhaite déterminer la valeur d’un angle aigu en utilisant la fonction cosinus réciproque en radians.
En particulier, on va utiliser la propriété du cosinus pour les angles aigus, :
On commence par réarranger l’équation pour trouver :
On applique maintenant la fonction tangente réciproque aux deux membres de l’équation et on utilise la fonction sur une calculatrice définie en mode radians pour déterminer l’angle :
Dans le dernier exemple, nous allons utiliser la fonction tangente réciproque pour déterminer un angle particulier.
Exemple 7: Utiliser les fonctions trigonométriques réciproques pour résoudre des équations trigonométriques impliquant des angles remarquables
Déterminez la valeur de sachant que où est un angle aigu.
Réponse
Dans cet exemple, on souhaite déterminer un angle en utilisant la fonction tangente réciproque.
En particulier, on va utiliser la propriété de la tangente pour les angles aigus, :
On commence par appliquer la tangente réciproque aux deux membres de l’équation et on utilise le tableau des angles remarquables ou la fonction sur une calculatrice définie en mode degrés pour déterminer l’angle aigu :
Par conséquent, la valeur de est donnée par
Points clés
- On peut utiliser les fonctions trigonométriques réciproques , et pour résoudre des équations trigonométriques.
- Pour certaines valeurs de , ou , où est un angle aigu, on peut utiliser les fonctions trigonométriques réciproques pour trouver l’angle inconnu en degrés ou en radians.
- Les propriétés clés pour résoudre ces problèmes pour des angles aigus en degrés ou en radians sont
