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Trouvez le produit des coefficients des termes dans le développement de un moins 𝑥 au cube.
Comme notre un moins 𝑥 est seulement à la puissance trois, on pourrait le réécrire sous la forme un moins 𝑥 fois un moins 𝑥 fois un moins 𝑥, développer pour faire apparaître les coefficients, et enfin les multiplier. Mais on peut aussi remarquer que notre binôme est presque de la forme 𝑎 plus 𝑏 à la puissance 𝑛. Et quand on a une expression comme celle-ci et que la valeur de 𝑛 est relativement petite, on peut utiliser le triangle de Pascal pour la développer. Dans le triangle de Pascal, on commence par écrire 𝑛 égale zéro et la valeur un au sommet du triangle. Puis, pour 𝑛 égale un, on a la ligne un, un. Pour 𝑛 égale deux, on a la ligne un, deux, un. Et pour 𝑛 égale trois, on a la ligne un, trois, trois, un.
Attention cependant, c’est le cas lorsque le binôme est de la forme 𝑎 plus 𝑏. Si notre binôme est de la forme 𝑎 moins 𝑏, on peut aussi utiliser le triangle de Pascal, mais il faut savoir que les signes des nombres alternent. Ainsi, pour 𝑛 égale un, on a une valeur positive et une valeur négative. Pour 𝑛 égale deux, on a une valeur positive, une négative et une positive. Et pour 𝑛 égale trois, on a une valeur positive, une négative, une positive et une négative. On a donc un triangle de Pascal modifié pour 𝑎 moins 𝑏 à la puissance 𝑛. Dans le cas de notre binôme un moins 𝑥, 𝑛 est égal à trois, donc nos coefficients vont être un, moins trois, trois et moins un.
Notre objectif est de déterminer le produit de ces coefficients, donc on calcule un fois moins trois fois trois fois moins un et on obtient neuf.
