Video Transcript
Un galvanomètre a une résistance de 12 milliohms. Une résistance multiplicatrice est connectée en série avec le galvanomètre pour le transformer en voltmètre. La valeur de la résistance multiplicatrice est de 1,1 kiloohms. Quel pourcentage de la tension maximale mesurable par le voltmètre correspond à la tension aux bornes du galvanomètre? Répondez à quatre décimales près.
Dans cet exercice, on a un galvanomètre connecté en série avec une résistance. Le galvanomètre a sa propre résistance ; on l’appelle 𝑅 indice G. Et la résistance connectée en série avec le galvanomètre s’appelle une résistance multiplicatrice. On l’appelle donc 𝑅 indice m. En combinant la résistance multiplicatrice avec un galvanomètre comme celui-ci, on créé alors un voltmètre. Pour ce faire, on prend le courant mesuré par le galvanomètre, que l’on note 𝐼 indice G, et on multiplie ce courant par la résistance totale du circuit, qui est égale à 𝑅 indice G plus 𝑅 indice m.
La loi d’Ohm nous dit que le produit du courant dans un circuit 𝐼 et de la résistance du circuit 𝑅 est égal à la tension dans le circuit 𝑉. Ainsi, de façon indirecte, en mesurant le courant dans le circuit et en connaissant la résistance totale du circuit, on peut mesurer la tension dans le circuit. La question est la suivante : quel pourcentage de la tension maximale mesurable par le voltmètre correspond à la tension aux bornes du galvanomètre? Ici, cette tension mesurée correspond à la tension totale dans le circuit. On souhaite la comparer à la tension ou à la différence de potentiel aux bornes du galvanomètre du circuit. Ici, on peut à nouveau appliquer la loi d’Ohm. Si on prend le courant dans le galvanomètre et qu’on le multiplie par la résistance propre du galvanomètre, alors d’après la loi d’Ohm, ce produit est égal à la tension aux bornes du galvanomètre. On l’appellera 𝑉 indice G.
Ainsi, lorsque la question demande : « Quel pourcentage de la tension maximale mesurable par le voltmètre correspond à la tension aux bornes du galvanomètre? », elle nous demande de trouver 𝑉 indice G divisée par 𝑉 multipliée par 100 pour cent. Ainsi, notre réponse sera un pourcentage.
Effectuons une vérification rapide de cette équation. Disons que 𝑉 vaut 100 volts et 𝑉 indice G vaut un volt. Dans ce cas, cette fraction nous donne un volt divisé par 100 volts, ou un centième de volt. Et si on multiplie cela par 100 pour cent, on obtient un pour cent. Et en effet, un volt correspond à un pour cent de 100 volts. Pour nous aider à trouver la solution, notons que la tension totale dans le circuit est égale à la somme de la tension aux bornes du galvanomètre et de la tension aux bornes de la résistance multiplicatrice. On connait déjà l’expression de la tension aux bornes du galvanomètre. On peut établir une équation similaire pour la tension aux bornes de la résistance multiplicatrice. On l’appellera 𝑉 indice m. Elle est égale au courant dans le circuit, noté 𝐼 indice G, le courant mesuré par le galvanomètre, multiplié simplement par la valeur de la résistance multiplicatrice.
En considérant ces deux équations, on s’aperçoit que 𝐼 indice G apparaît dans chacune d’entre-elles. Cela signifie que l’on pourrait, par exemple, diviser les deux côtés de la deuxième équation par la résistance multiplicatrice 𝑅 indice m, qui annule ce facteur à gauche, ce qui nous donne une expression pour 𝐼 indice G que l’on pourrait alors substituer à 𝐼 indice G dans l’autre équation de sorte que l’on ait ainsi une expression pour 𝑉 indice G, la différence de potentiel aux bornes du galvanomètre, exprimée en fonction de la différence de potentiel aux bornes de la résistance multiplicatrice, ainsi que des résistances du galvanomètre et de la résistance multiplicatrice.
À présent, on rappelle que ceci est l’expression que l’on souhaite calculer et que 𝑉, la différence de potentiel dans tout le circuit, est égale à la différence de potentiel aux bornes du galvanomètre, plus la différence de potentiel aux bornes de la résistance multiplicatrice. Ainsi, on constate que l’on a maintenant une expression exprimée en fonction de de 𝑉 indice m pour la tension aux bornes du galvanomètre 𝑉 indice G. On peut alors prendre tout le côté gauche de cette équation et le substituer à 𝑉 indice G. Cela nous donne ce long résultat.
Cependant, on peut noter que la tension aux bornes de la résistance multiplicatrice 𝑉 indice m peut être factorisée au dénominateur, et comme on multiplie et divise alors par 𝑉 indice m, on peut donc l’annuler. Cela nous laisse avec une expression entièrement exprimée en fonction des résistances de nos deux composants du circuit. Si on multiplie le numérateur et le dénominateur de cette fraction par 𝑅 indice m, notre résistance multiplicatrice, alors 𝑅 indice m s’annule au numérateur. Et on se retrouve avec cette expression largement simplifiée. Mathématiquement, cela équivaut à l’expression que l’on avait à l’origine. On l’a simplement réorganisée pour qu’elle soit exprimée en fonction des valeurs connues. D’après l’énoncé du problème, le galvanomètre a une résistance de 12 milliohms, qui correspond à 𝑅 indice G. Et la valeur de la résistance multiplicatrice est donnée comme étant de 1,1 kiloohms. Elle correspond à 𝑅 indice m.
En ce qui concerne ces préfixes milli- et kilo-, on sait que milli- indique 10 puissance moins trois soit un millième d’une unité, alors que kilo- indique 10 puissance trois ou 1000. Ainsi, pour 12 milliohms, si on divise 12 par 1000, cela nous donne 0,012 ohms. Et pour 1,1 kiloohms, si on multiplie par 1000, cela nous donne 1100 ohms. Lorsque l’on calcule cette expression avec une calculatrice et que l’on arrondit la réponse à quatre décimales près, on obtient un résultat de 0,0011 pour cent. Il s’agit de la tension aux bornes du galvanomètre, exprimée en pourcentage, de la tension maximale mesurable par le voltmètre. On constate alors que l’ajout de cette résistance multiplicatrice à notre circuit a considérablement augmenté la tension maximale mesurable par le voltmètre. Et en effet, plus la valeur de la résistance multiplicatrice est grande, plus la plage de mesure du voltmètre est étendue.
