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Calculez cos de 𝐴 sachant que 𝐴𝐵𝐶 est un triangle rectangle en 𝐶, tel que 𝐴𝐵 est égal à 10 centimètres et 𝐵𝐶 est égal à six centimètres.
Cette question nous demande de trouver le cos ou le cosinus d’un angle 𝐴. La définition du cosinus ou cos d’un angle 𝜃 dans un triangle rectangle est le rapport entre le côté adjacent et l’hypoténuse du triangle. Rappelons ce que signifient ces termes.
L’hypoténuse dans tout triangle rectangle est le côté directement opposé à l’angle droit. C’est aussi le côté le plus long du triangle. Le côté opposé à l’angle qui nous intéresse - dans ce cas, c’est l’angle 𝐴 - est appelé l’opposé. Le troisième côté du triangle qui se trouve entre l’angle qui nous intéresse et l’angle droit est appelé l’adjacent. Cela signifie que dans notre triangle cos de l’angle 𝐴 est égal à 𝐴𝐶, le côté adjacent, divisé par 𝐴𝐵, l’hypoténuse.
On nous a donné la longueur de l’hypoténuse qui est de 10 centimètres. Nous avons donc que cos de l’angle 𝐴 est égal à 𝐴𝐶 sur 10. Afin de trouver le cos de l’angle 𝐴, nous devons calculer la longueur de 𝐴𝐶. Notez que l’on nous a donné la longueur des deux autres côtés du triangle. Et comme le triangle est rectangle, nous pouvons appliquer le théorème de Pythagore pour calculer la longueur du troisième côté.
Le théorème de Pythagore nous dit que dans un triangle rectangle, la somme des carrés des deux côtés les plus courts est égale au carré de l’hypoténuse. Dans ce triangle, cela signifie que 𝐴𝐶 au carré plus 𝐵𝐶 au carré est égal à 𝐴𝐵 au carré. 𝐵𝐶 est de longueur six centimètres et 𝐴𝐵 de longueur 10 centimètres. Nous avons donc l’équation 𝐴𝐶 au carré plus six au carré est égal à 10 au carré. Et nous pouvons résoudre cette équation pour trouver la longueur de 𝐴𝐶.
Six au carré est égal à 36 et 10 au carré est égal à 100. Nous avons donc que 𝐴𝐶 au carré plus 36 est égal à 100. En soustrayant 36 de chaque membre de l’équation, nous avons que 𝐴𝐶 au carré est égal à 64. Pour trouver la valeur de 𝐴𝐶, nous devons prendre la racine carrée. 64 est un nombre carré parfait. Donc, sa racine carrée est simplement huit.
Maintenant, vous avez peut-être pu trouver ceci sans passer par tout le travail avec le théorème de Pythagore si vous êtes familier avec vos triplets pythagoriciens, car six, huit, 10 en est un exemple. Un triplet pythagoricien est un triangle rectangle dans lequel les longueurs des trois côtés sont des entiers. En fait, le triangle six, huit, 10 n’est qu’un agrandissement du triangle trois, quatre, cinq, qui est probablement le triplet pythagoricien le plus connu.
Que vous le trouviez tout de suite ou à travers un travail de calcul, nous savons maintenant que la longueur du côté adjacent 𝐴𝐶 est de huit centimètres. Donc, pouvons remplacer par ceci dans notre formule du cos de 𝐴. Nous avons que cos de 𝐴 est égal à huit sur 10. Cette fraction peut être légèrement simplifiée car le numérateur et le dénominateur sont des multiples de deux. Donc, en les divisant tous deux par deux, nous avons que cos de 𝐴 est égal à quatre cinquièmes.
