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𝐴𝐵 est une barre de longueur 120 centimètres et de poids 12 newtons, agissant en un point situé à 15 centimètres de 𝐴. Sachant que la barre repose sur un support en son milieu, déterminez la réaction du support 𝑅 et déterminez le poids 𝑃 qui devrait être suspendu à l’extrémité 𝐵 pour que la barre soit en équilibre en position horizontale.
Les forces agissant sur un objet en équilibre remplissent deux conditions. La première condition est que la somme de toutes les forces, c’est-à-dire la force résultante agissant sur l’objet, soit nulle. Et la seconde est que le moment total des forces, c’est-à-dire la somme de tous les moments individuels, est également nul. Le moment d’une force autour d’un point de référence est donné par la valeur de la force multipliée par la distance entre le point où la force agit et le point de référence. En particulier, on utilise cette formule lorsque la ligne d’action de la force est perpendiculaire à la ligne reliant le point d’action de la force et le point de référence.
En outre, telles forces peuvent avoir une orientation dans le sens des aiguilles d’une montre ou dans le sens inverse des aiguilles d’une montre autour du point de référence. Lorsque l’on trouve le moment total de la force, on additionne tous les moments des forces avec une orientation et soustrayons tous les moments des forces avec l’orientation opposée. Le choix de l’orientation qui correspond à des moments positifs ou négatifs est arbitraire tant que nous sommes cohérents.
D’accord, maintenant que l’on a les équations dont nous aurons besoin, dessinons un schéma pour organiser les informations que l’on a sur les forces et leurs points d’action. Ici, on a dessiné une barre 𝐴𝐵 avec une longueur de 120 centimètres et le support situé à son milieu, qui est à 60 centimètres de chaque côté. Les forces agissant sur la barre sont le poids de 12 newtons, qui agit à 15 centimètres de 𝐴. Il est intéressant de noter que parce que le poids n’agit pas au milieu de la barre, on sait que la barre n’est pas uniforme même si cela n’est pas explicitement dit.
Les autres forces agissant sur la barre sont la réaction de son support, que nous appellerons 𝐹 indice 𝑅, qui agit verticalement au milieu de la barre. Cette force de réaction est l’une des grandeurs que l’on cherche. Finalement, il y a aussi le poids inconnu 𝑊 agissant sur le point 𝐵, qui est l’autre grandeur que l’on cherche. Une fois que l’on a organisé nos informations, utilisons les conditions d’équilibre pour déterminer les valeurs des grandeurs inconnues.
On a deux inconnues, 𝐹 indice 𝑅 et 𝑊, et deux équations que l’on peut établir, ce qui devrait être suffisant pour calculer les deux inconnues. On peut en fait les écrire de manière stratégique pour trouver immédiatement l’une des deux inconnues. Notez que si une force agit au point de référence du moment de la force, alors la distance dans la formule du moment de la force est nulle. En d’autres termes, le moment de toute force qui agit sur le point de référence est zéro. Donc, si l’on choisit stratégiquement un point de référence comme étant le milieu de la barre ou l’extrémité de la barre 𝐵, alors l’inconnue 𝐹 indice 𝑅 ou l’inconnue 𝑊 aura un moment nul autour de ce point de référence. Et donc on va pouvoir calculer l’autre inconnue directement.
Pour voir cela concrètement, on va choisir comme point de référence pour les moments de forces le milieu de la barre. Ensuite, le moment de 𝐹 indice 𝑅 autour du point de référence est zéro, et les deux seules forces qui contribuent à des moments non nuls sont le poids de 12 newtons de la barre et le poids supplémentaire 𝑊 en 𝐵. Choisissons arbitrairement le moment 𝑊 comme positif. 𝑊 est à 60 centimètres du point de référence, son moment est donc plus 𝑊 fois 60 centimètres. Le poids de 12 newtons est à 15 centimètres de 𝐴, et 𝐴 est à 60 centimètres du milieu. Ainsi, le poids de 12 newtons est à 60 moins 15 ou 45 centimètres du milieu.
Eh bien, puisque le poids de 12 newtons et le poids en 𝐵 pointent dans le même sens mais sont situés sur les côtés opposés du point de référence, ils ont des orientations opposées par rapport au point de référence. Ainsi, puisque le moment de 𝑊 est positif, le moment du poids de 12 newtons doit être négatif, c’est-à-dire moins 12 newtons fois 45 centimètres. Donc, cette expression nous donne le moment de force totale autour du milieu de la barre, et on sait par la condition d’équilibre que ce moment total est nul.
Maintenant, on a une équation avec une seule inconnue, et on peut calculer 𝑊. On ajoute d’abord 12 fois 45 des deux côtés, puis on observe que 60 est cinq fois 12 et 45 est cinq fois neuf. Vu que l’on a cinq fois 12 des deux côtés et que le seul facteur qui reste sur le côté gauche est 𝑊 et que le seul facteur qui reste sur le côté droit est neuf, on obtient que 𝑊 est neuf newtons.
Pour trouver 𝐹 indice 𝑅, on peut utiliser la condition pour les moments de force une seconde fois ou bien utiliser la condition pour la somme des forces parce que 𝑊 est connu. Pour trouver la somme des forces, on additionne toutes les forces pointant dans un sens et soustrayons toutes les forces pointant dans le sens opposé. On a donc 𝐹 indice 𝑅 moins 12 moins neuf égal à zéro. En ajoutant 12 et neuf des deux côtés et en rappelant que 12 plus neuf est 21, on obtient la force de réaction du support comme 21 newtons.
Voilà on a trouvé qu’un poids de neuf newtons agissant en 𝐵 maintiendrait la barre en équilibre dans une position horizontale. Et la force de réaction résultante du support au milieu sera de 21 newtons.
