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Déterminez la plus petite mesure positive d’un angle vérifiant à la fois deux fois cosinus de 𝜃 moins racine de deux égale zéro et tangente de 𝜃 moins un égale zéro.
Commençons par résoudre chacune de ces deux équations. Nos deux équations sont deux fois cosinus de 𝜃 moins racine de deux égale zéro et tangente de 𝜃 moins un égale zéro. Pour déterminer 𝜃 dans notre première équation, on commence par ajouter racine carrée de deux des deux côtés de l’équation. On obtient deux fois cosinus de 𝜃 à gauche et racine de deux à droite. On va ensuite diviser par deux de chaque côté. Cela nous donne cosinus de 𝜃 égale racine de deux sur deux. Ensuite, on pourrait appliquer l’arc cosinus (la fonction réciproque du cosinus) des deux côtés de l’équation. On obtiendrait alors l’équation 𝜃 égale arc cosinus de racine de deux sur deux.
Toutefois, racine de deux sur deux est le cosinus d’un angle remarquable. Ainsi, on devrait savoir par cœur que le cosinus de 45 degrés est égal à racine de deux sur deux. Et puisque dans notre cas cosinus de 𝜃 est égal à racine de deux sur deux, alors 𝜃 est égal à 45 degrés. À présent, si on se remémore ce qu’on sait de la fonction cosinus, la première chose qui pourrait nous venir à l’esprit est qu’elle est périodique. Mais elle est aussi symétrique par rapport à la droite d’équation 𝑥 égale 180. On en déduit qu’il existe une autre solution dans l’intervalle de zéro à 360 degrés. Cette autre solution est égale à 360 moins 45 degrés, soit 315 degrés. Et puisque le cosinus est une fonction périodique qui se répète tous les 360 degrés, on pourrait trouver davantage de solutions en additionnant des multiples de 360 degrés à nos deux solutions. Cependant, on cherche à trouver le plus petit angle positif permettant de vérifier nos deux équations, donc l’une de nos deux solutions suffira peut-être.
Passons à la résolution de la seconde équation. Cela va demander moins d’étapes que pour la première. On commence par additionner un des deux côtés. On obtient l’équation tangente de 𝜃 égale un. Comme précédemment, on pourrait maintenant appliquer la fonction réciproque de la tangente des deux côtés de l’équation, ce qui nous donnerait 𝜃 égale arc tangente de un. Cependant, il s’agit là aussi d’un angle remarquable qu’on doit connaître. La tangente de 45 degrés est égale à un, donc 𝜃 est égal à 45 degrés. On constate qu’il aurait effectivement été inutile de chercher davantage de solutions à la première équation. On a montré que 𝜃 égale 45 degrés vérifie ces deux équations.
Pour s’assurer qu’il s’agit bien du plus petit angle positif permettant de vérifier nos deux équations, on peut se remémorer la forme du graphe de la fonction tangente pour 𝜃 supérieur à zéro. Sur l’intervalle 0 à 360 degrés, on peut visualiser notre solution de 45 degrés, ainsi qu’une seconde solution qui est effectivement supérieure à 45 degrés. Cette autre solution est égale à 180 plus 45 degrés, soit 225 degrés. Par conséquent, le plus petit angle positif permettant de vérifier nos deux équations est 45 degrés.
