Transcription de la vidéo
Utilisez le triangle de Pascal pour développer l’expression 𝑥 plus un sur 𝑥, à la puissance quatre.
On peut utiliser le triangle de Pascal pour déterminer les coefficients du développement d’un binôme. Comme son nom l’indique, le triangle de Pascal a la forme d’un triangle. Pour déterminer une des lignes du triangle, on additionne deux nombres de la ligne précédente, comme indiqué ici. Un plus deux est égal à trois, et six plus quatre est égal à 10.
Comme notre binôme est élevé à la puissance quatre, notre expression développée comprendra cinq termes. Ce qui signifie que l’on utilise la ligne un, quatre, six, quatre, un. On peut aussi trouver ces nombres en utilisant la touche 𝑛 𝐶 𝑟 (𝑟 parmi 𝑛) de notre calculatrice. Zéro parmi quatre est égal à un. Un parmi quatre est égal à quatre. Deux parmi quatre est égal à six, et ainsi de suite.
Si on note les deux termes de notre binôme 𝑎 et 𝑏, alors le premier coefficient est multiplié par 𝑎 puissance quatre fois 𝑏 puissance zéro. Le deuxième coefficient est multiplié par 𝑎 puissance trois fois 𝑏 puissance un. La puissance de 𝑎 diminue de un à chaque fois, tandis que la puissance de 𝑏 augmente de un.
Dans chacun des termes, la somme des exposants est égale à quatre. Quatre plus zéro est égal à quatre. Trois plus un est égal à quatre. Et deux plus deux est égal à quatre. En remplaçant par nos valeurs, on trouve que notre premier terme est égal à un fois 𝑥 puissance quatre fois un sur 𝑥 puissance zéro. Le deuxième terme est égal à quatre fois 𝑥 au cube fois un sur 𝑥 puissance un. Les troisième, quatrième et cinquième termes sont les suivants.
Élever une expression à la puissance zéro donne toujours un. Donc un sur 𝑥 puissance zéro est égal à un et 𝑥 puissance zéro est égal à un. Le carré de un sur 𝑥 est égal à un sur 𝑥 au carré. Nous pouvons élever au carré le numérateur et le dénominateur. De la même manière, le cube de un sur 𝑥 est égal à un sur 𝑥 au cube. Et le dernier terme, un sur 𝑥 le tout à la puissance quatre, est égal à un sur 𝑥 puissance quatre.
Le premier terme se simplifie en 𝑥 puissance quatre. Le deuxième terme se simplifie en quatre 𝑥 au cube fois un sur 𝑥. On peut simplifier par 𝑥. Le terme devient alors quatre 𝑥 au carré. Le troisième terme est six 𝑥 au carré fois un sur 𝑥 carré. On peut éliminer les 𝑥 au carré. Le terme devient alors six fois un, ce qui est égal à six.
Le terme suivant est égal à quatre 𝑥 fois un sur 𝑥 au cube. À nouveau, on peut simplifier par 𝑥 pour obtenir quatre sur 𝑥 au carré. Le dernier terme est égal à un sur 𝑥 puissance quatre.
La forme développée réduite de 𝑥 plus un sur 𝑥, le tout à la puissance quatre, est 𝑥 puissance quatre plus quatre 𝑥 au carré plus six plus quatre sur 𝑥 carré plus un sur 𝑥 puissance quatre.
