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Trouvez la limite lorsque 𝑥 tend vers zéro de sinus au carré de deux 𝑥 divisé par quatre 𝑥.
La question nous demande d’évaluer la limite lorsque 𝑥 tend vers zéro du quotient du carré d’une fonction trigonométrique et d’une fonction linéaire. La première chose que nous devons faire quand on nous demande d’évaluer une limite de cette forme est de poser la question, est-ce que nous pouvons l’évaluer par substitution directe ? Nous savons que nous sommes autorisés à évaluer la limite des fonctions trigonométriques par substitution directe. Et nous sommes également autorisés à évaluer la limite des fonctions linéaires par substitution directe. Et nous pouvons également évaluer le carré d’une fonction trigonométrique par substitution directe.
Cependant, nous nous retrouvons avec un problème lorsque nous essayons d’évaluer le quotient de ces deux fonctions par substitution directe. Lorsque nous substituons 𝑥 est égal à zéro, nous obtenons le sinus carré de deux fois zéro divisé par quatre fois zéro. Et en évaluant cette expression, nous obtenons la forme indéterminée zéro divisé par zéro. Donc, nous ne pouvons pas évaluer cette limite en utilisant la substitution directe. Nous devrons utiliser une méthode différente. Nous pouvons nous rappeler d’une limite similaire que nous savons évaluer. Nous savons que la limite lorsque 𝑥 tend vers zéro du sinus de 𝑥 divisé par 𝑥 est égal à un. Nous voulons donc réécrire la limite qui nous a été donnée dans la question en fonction de limites que nous savons évaluer. Donc, nous allons essayer de réécrire le sinus au carré de deux 𝑥 divisé par quatre 𝑥 en fonction de sinus 𝑥 divisé par 𝑥.
Cependant, nous voyons dans notre fonction que nous prenons le sinus de deux 𝑥, pas le sinus de 𝑥. Et nous pourrions résoudre ce problème en utilisant la formule de duplication, et cela fonctionnerait. Cependant, il existe en fait une méthode plus simple. Nous allons simplement réécrire la limite que nous savons évaluer en fonction de deux 𝑥. Ainsi, nous savons que la limite lorsque deux 𝑥 tend vers zéro du sinus de deux 𝑥 divisé par deux 𝑥 est également égale à un. Nous devons être prudents ici puisque la limite que nous essayons d’évaluer a 𝑥 tend vers zéro. Cependant, notre limite a deux 𝑥 tendant vers zéro. Cependant, si deux 𝑥 tend vers zéro, alors 𝑥 tend aussi vers zéro. Donc, nous pouvons simplement écrire cette limite lorsque 𝑥 approche de zéro.
Maintenant que nous le savons, essayons de prendre un facteur du sinus de deux 𝑥 divisé par deux 𝑥 de notre fonction sinus au carré de deux 𝑥 divisé par quatre 𝑥. Notre numérateur est le sinus au carré de deux 𝑥, nous avons donc besoin d’un autre facteur du sinus de deux 𝑥 dans notre numérateur. Et nous pouvons voir que, dans notre dénominateur, nous avons besoin d’un facteur supplémentaire de deux. Nous pouvons maintenant diviser cette limite de produit en un produit de limites. Ce faisant, nous obtenons la limite lorsque 𝑥 tend vers zéro du sinus de deux 𝑥 divisé par deux 𝑥 multiplié par la limite lorsque 𝑥 tend vers zéro du sinus de deux 𝑥 divisé par deux.
Et nous pouvons réellement évaluer ces deux limites. Nous savons que la limite lorsque 𝑥 tend vers zéro du sinus de deux 𝑥 divisé par deux 𝑥 est égal à un. Et nous pouvons évaluer la limite lorsque 𝑥 tend vers zéro du sinus de deux 𝑥 divisé par deux en utilisant la substitution directe. Donc, nous substituons 𝑥 est égal à zéro. Cela nous donne le sinus de deux fois zéro divisé par deux. Et nous savons que le sinus de zéro est égal à zéro. Par conséquent, nous avons montré que la limite lorsque 𝑥 tend vers zéro de sinus au carré de deux 𝑥 divisé par quatre 𝑥 est égale zéro.
