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Sachant que deux puissance 𝑥 est égal à 18 et que 𝑥 est strictement compris entre 𝑛 et 𝑛 plus un, où 𝑛 est un entier relatif, déterminez la valeur de 𝑛.
Pour résoudre ce type de problème, on se sert généralement du lien qui existe entre les logarithmes et les exponentielles. Nous utiliserons cette méthode dans un second temps. Mais tout d’abord, puisqu’on nous dit que 𝑛 est un entier, on peut utiliser nos connaissances sur les puissances de deux pour calculer la réponse. On sait que deux au cube est égal à huit, car deux multiplié par deux multiplié par deux est égal à huit. Ce qui signifie que deux puissance quatre est égal à 16. En multipliant cela par deux, on peut voir que deux puissance cinq est égal à 32. On veut que deux élevé à une certaine puissance soit égal à 18, valeur située entre 16 et 32. Ce qui signifie que 𝑥 doit se trouver entre les entiers quatre et cinq. Et puisque 𝑛 est l’entier inférieur à 𝑥, on en conclut que 𝑛 est égal à quatre.
Comme mentionné précédemment, on pourrait aussi résoudre ce problème en utilisant les logarithmes. On sait que si 𝑎 puissance 𝑏 est égal à 𝑐, alors 𝑏 est égal au logarithme de base 𝑎 de 𝑐. Dans cette question, on nous dit que deux puissance 𝑥 est égal à 18. Cela signifie que 𝑥 est égal au logarithme de base deux de 18. En saisissant cela dans notre calculatrice, on obtient que 𝑥 est égal à 4,169925 et ainsi de suite. Cette valeur est strictement comprise entre les entiers quatre et cinq. Une fois de plus, nous avons prouvé que la valeur de 𝑛 est quatre.
